Доклад :Уровневая дифференциация.

Уровневая дифференциация.

Под уровневой дифференциацией  мы понимаем обучения учащихся одного и того же класса на трех уровнях обучения: базовой, продвинутом и высоком. При этом мы выделяем в каждом классе три типологические группы, А, В, С. (С - самого высокого уровня, А – самого низкого).

Опишу основные этапы  моей работы  как учителя математики в условиях уровневой дифференциации обучения математики на примере изучения темы « Простые и составные числа» в 6 классе, исходя из своего опыта. При этом изучение темы укладывается в рамки тех часов, которые отводятся по программе.

1.   этап.  Выделения содержания каждого уровня знаний и умений по теме.

Базовый уровень -  определённый программой и учебником минимум знаний и умений, достижение которого обязательно учащимися всех типологических групп.

Продвинутый уровень – некоторые, выходящие за рамки программы и учебника дополнительные сведения и формирование прочных умений по применению этих знаний в различных ситуациях ( при решении задач разных типов и разной сложности), достижение которого обязательно учащимися типологических групп А и В.

Высокий уровень – дополнительные сведения, углубляющие знания учащихся по теме и формирующие умения решать задачи повышенной сложности, достижение которого обязательно для учащихся группы С.

Результаты анализа программы, учеников, дополнительной литературы по теме удобно представить в виде таблицы.

1.Базовый уровень знаний и умений.

Основные знания

Основные умения

Определение простого числа

Приводить пример простого числа

Определение составного числа

Приводить пример составного числа

Классификация натуральных чисел

Определять (пользуясь таблицей, признаками делимости чисел) является число простым или составным

Понятие разложения на множители

Доказывать, что число составное

Понятие разложения на простые множители

Разложить число на множители и на  простые множители

Решить задачи уровня А

Базовый уровень (теоретический материал и упражнения) достаточно полно раскрыт, например, в учебнике 5-го класса под ред. Т. Алдамуратова. При желании учителя его можно дополнить сведениями: 1) об истории возникновение простых чисел; 2) о бесконечности множества простых чисел; 3) о решете Эратосфена, так как базовый уровень должен содержать не только минимум знаний и умений по теме, но и формировать у учащихся определённый уровень  культуры. Можно предложить учащимся уровня  А индивидуальные задания по указанным вопросам в виде небольших докладов (сообщений) на уроке. При знакомстве решетом Эратосфена можно со всеми учащимися составить таблицу простых чисел до 100. При этом можно познакомить с разными способами составления решета Эратосфена.

2.Продвинутый уровень знаний и умений.

Основные знания

Основные умения

Понятие чисел - близнецов

Приводить примеры чисел близнецов

Закон распределения простых чисел (теорема Чебышева)

Применять теорему Чебышева

( на примерах)

Некоторые формулы простых чисел

Находить некоторые простые числа пол формулам

Проблема Гольдбаха

Представлять составное число в виде суммы двух или трех простых чисел

Составлять таблицу простых чисел от 100 до 500(пользуясь калькулятором признаками делимости)

Решать задачи уровней А и В

Если достижения базового уровня является обязательным для учащихся каждой группы, то достижение продвинутого уровня есть некоторый идеал для учащихся группы В и является обязательным для учащихся группы Аи В.

Теоретический и практический материал  для продвинутого и высокого уровня можно найти в литературе, указанной в конце статьи.

3. Высокий уровень знаний и умений.

Основные знания

Основные умения

Доказательство бесконечности простых чисел

Доказывать теорему о бесконечности простых чисел

Не которые формулы простых чисел

Находить простые числа по формулам

Не решённые  проблемы простых чисел

Составлять таблицу простых чисел от 500 до 1000(пользуясь калькулятором и признаками делимости чисел)

Решить задачи уровня  С

Аналогично высокий уровень является необходимым для достижения учащимся группы С и идеалом для учащимся группы В.

II  этап. Подбор и составление задач разных для каждого уровня по основным темам.

 Приведём примеры индивидуальных заданий для учащихся группы А, соответствующие базовому уровню знаний и умений.

1. Выпишите все делители числа 8, простое это число или простое?
2. Двузначное число оканчивается на 5.  Может ли это число быть простым?
3. Пользуясь таблицей, выпишите все простые числа, большие 40 и меньшие 75.
4. Разложите на простые множители числа 36,45,128.
5. Докажете, что число121-составное, а число 37 – простое.

Приведём примеры индивидуальных и дифференцированных задач для учащихся группы  В и С, соответствующих продвинутому уровню.

1. Проверьте теорему Чебышева на примере  n=150.
2. Используя формулу Эйлера n2+n+41,найдите простые числа при  n=0,1,…..,39.
3. Докажите, что при n=40 формула Эйлера даёт составное число.
4. Проверьте формулу Гольдбаха на примере всех четырех чисел первой сотни (кроме2)

Примеры индивидуальных заданий для учащихся группы  С для высокого уровня.

1. Придумайте сами какую-нибудь формулу простых чисел.
2. Докажите, что простых чисел бесконечное множество.
3. Расскажите о какой-нибудь нерешённой проблеме простых чисел.

III этап. Дифференциация домашних заданий для учащихся каждой типологической группы.

Дифференцированные домашние задания выделяются вначале изучения темы, они рассчитаны на весь период изучения темы. Дифференциация заданий может быть осуществлена по-разному. Приведём примеры дифференцированных заданий по теме

 « Простые и составные числа» отличающихся содержанием и уровнем сложности задач для каждой группы.

Вариант. А

1. Может ли сумма простого и составного чисел быть простым числом? Приведите примеры.
2. Верно ли, что сумма двух составных чисел есть число составное? Ответ обоснуйте. Приведите несколько примеров.
3. Запишите все натуральные числа, каждое из которых располагается на два одинаковых простых множителя.
4. Исключите лишнее слово: тир, сорок, два. Ответ поясните.
5. Не выполняя вычислений, установите, простым или составным будет число2*3*5*7+7. Ответ обоснуйте.
6. Поясните, простое или составное число 23*1; 4*7; 59*1.
7. При каких значениях a 19*а будет простым, а при каких составным?
8. Можно ли число 34 представить в виде суммы трёх простых чисел?
9. Если число оканчивается нулём, то какие простые делители оно обязательно будет иметь? Приведите пример.
10. Может ли площадь квадрата, длина стороны которого выражена натуральным числом, быть простым числом? Ответ поясните.

Вариант. В

1. Может ли сумма двух последовательных натуральных чисел быть простым числом? Ответ обоснуйте.
2. Верно ли, что разность двух простых чисел есть число составное? Ответ обоснуйте. Приведите примеры.
3. Запишите все натуральные числа первой сотни, каждое из которых распадается только на два разных простых множителя.
4. Исключите лишнее слово: 13, 33, 3, 23. Ответ поясните.
5. Не выполняя вычислений, установите простым или составным будет число2*3*5-2.Ответ обоснуйте.
6. Объясните, простым или составным будет число16*1;11*13; 1*216.
7. При каких значениях,  а число  71*а будет простым, а при каких составным?
8. Верно, ли простое число представить в виде суммы трех простых чисел. Приведите примеры.
9. Найдите все простые делители числа 1001.
10. Найдется ли прямоугольник, стороны которого выражены натуральными числами, а периметр есть простое число. Ответ обоснуйте.

Вариант С.

1. Может ли сумма трёх последовательных чисел быть простым числом? Ответ обоснуйте.
2. Верно, ли что произведение двух простых чисел есть число составное? Ответ обоснуйте.
3. Запишите все натуральные числа первой тысячи, каждое из которых распадается только на три одинаковых простых множителей.
4. Исключите лишнее слово: 17; 7; 77; 37. Ответ поясните.
5. Проверьте, истинно ли, что если  n – составное число и 2 < n≤ 15, то n представимо в виде произведения не более чем трёх простых множителей.
6. Простые числа имеют только два различных делителя. А какие числа имеют только три различных делителя? Приведите примеры.
7. Два двузначных числа получаются друг из друга перестановкой цифр, а из разность – полный квадрат. Какие это числа?
8. Среди чисел 31; 301; 3111; 31111 найдите наименьшее составное число. Ответ обоснуйте.
9. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, каждое из которых является произведением четырёх различных простых числе.
10. Один из городов нашей страны в этом веке отметит свой юбилей  (т.е. его возраст делятся на 25). При этом сумма цифр года основания в два раза меньше, чем сумма цифр года юбилея, а если записи каждой из этих дат разделит точкой с запятой, то получится четыре простых двузначных числа. О каком городе идёт речь?
11.  

1. Виноградов И.М. Математическая Энциклопедия. Т. 4 – М., - с.706-707.
2. Гарднер М. Математические досуги М., 1972.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе (7-8 классы).- М., просвещение 1982.
4. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. – М., - с. 90-94.
5. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. М., 1963. – с.202.
6. Утеева Р.А. Дифференцированные задания по математике. 6 класс. Пособие для учителя. – Тольятти, 1996. – с.53.
7. Ж.А.Караев « Педагогическая технология уровненной дифференциации обучения учащихся». Математика рабочая тетрадь для 6 класс. Алматы,2002г.