kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Динамическая геометрия. Компьютерные программы по геометрии

Нажмите, чтобы узнать подробности

В современном образовании в процессе обучения математике, пришел на помощь компьютер, особенно перспективным в этом направлении является использование программ динамической геометрии. Программы динамической геометрии позволяют с незначительными усилиями создавать качественные чертежи и добиваться наилучшего расположения их элементов, не перерисовывая чертеж заново.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Динамическая геометрия. Компьютерные программы по геометрии»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»



Физико-математический факультет


Кафедра информатики и вычислительной техники









Дисциплина «Системы компьютерной математики»

Реферат на тему:

«Динамическая геометрия. Компьютерные программы по геометрии»




Выполнила:

студентка группы МДМ-116

Д. В. Толстова

Проверил:

доцент кафедры информатики и

вычислительной техники

Т. В. Кормилицына





Саранск 2020



Содержание



Введение 3

1 История программ динамической геометрии 4

2 GeoGebra как инструмент обучения 6

2.1 Характеристики программы GeoGebra 6

2.2 Применение программы GeoGebra в школьном курсе 8

2.3 Решение задач с параметрами в среде «GeoGebra» 9

3 Характеристики программы «The Geometer's Sketchpad» или «Живая геометрия» 12

4 Характеристики программы Poly 15

5 Характеристики программы Geometric Constructions 17

Заключение 18

Список используемых источников 19





Введение



Для нынешнего периода, когда в образование внедряются компьютерные технологии, наиболее важным является то, чтобы использование компьютера стало движущей силой в эффективности процесса обучения, если его использовать не как инструмент передачи знаний, а как инструмент познания.

В современном образовании в процессе обучения математике, пришел на помощь компьютер, особенно перспективным в этом направлении является использование программ динамической геометрии. Программы динамической геометрии позволяют с незначительными усилиями создавать качественные чертежи и добиваться наилучшего расположения их элементов, не перерисовывая чертеж заново. Кроме того, динамически меняя чертеж, можно выделить те его свойства, которые сохраняются при вариации, например, легко отследить равенство отрезков, параллельность или перпендикулярность прямых. Благодаря этому свойству, можно говорить о том, что геометрические модели, созданные в такой среде, становятся инструментом для открытий, и отличным педагогическим средством: смоделировав эксперимент заранее, учитель может подвести учеников к самостоятельному открытию способа решения той или иной задачи.

На данный момент существуют различные обучающие программы динамической геометрии.





1 История программ динамической геометрии


Динамическая геометрия – это программная среда, с помощью которой можно делать геометрические построения на компьютере так, что при движении первоначальных объектов, весь чертёж сохраняется. Чертёж, созданный в среде динамической геометрии, – это модель, которая сохраняет результат построения, исходные данные и алгоритм. При этом все данные легко изменить (можно менять значения числовых данных, перемещать точки, варьировать длины отрезков и т. д.), и результат этих изменений сразу отразится на экране компьютера. Работу с динамическим чертежом может проводить как учитель, так и ученик непосредственно в процессе построения или после его окончания. Таким образом, в процессе обучения через такой чертеж можно организовать взаимодействие между учеником и учителем

Такие программы могут использоваться на уроках в школе, дома при подготовке домашних заданий или при работе по индивидуальной программе развития. Также они показывают, как современные технологии эффективно применяются для моделирования и визуализации математических понятий. Данные программы позволяют выполнять чертежи различной сложности в короткое время, к тому же такие чертежи обладают более высокой точностью. Но в то же время растет нагрузка на зрение и существует вероятность, что ученики будут не в состоянии выполнить данные построение без помощи компьютерных программ.

Идея динамической геометрии насчитывает уже около 30 лет. «Работа над динамической геометрией началась в 80-х годах с проекта Cabri (CAhier de BRouillon Informatique), который предполагал создание среды для работы с объектами дискретной математики (графами, булевыми функциями). В конце 80-х в США появилась программа The Geometer's Sketchpad» [20]. После этого появились десятки систем динамической геометрии. Наиболее известные из них: Cinderella (автор Ulrich Kortenkamp), Математический Конструктор (разработано 1С), GEONExT (автор Alfred Wassermann), «The Geometer's Sketchpad» (русифицирована Институтом Новых Технологий и распространялась в России вначале под названием «Живая геометрия», а затем «Живая математика»), программная среда Compass and Ruler (C.a.R) (автор Rene Grothmann), GeoGebra (автор Marcus Hohenwater, 2002 год). В настоящее время таких программ насчитывается более 40, остановимся на трех из них: GeoGebra, CaR, «Живая математика», поскольку данные программные среды относятся к категории свободно распространяемых.

Существует пять видов компьютерных программ по геометрии:

  • GeoGebra;

  • «Живая геометрия»;

  • Wingeom;

  • Poly;

  • Geometric Constructions.

Рассмотрим подробно каждую из них.





2 GeoGebra как инструмент обучения 2.1 Характеристики программы GeoGebra



  • Название программы: GeoGebra

  • Категория: геометрическое ПО

  • Размер: 11,6 МБ

  • Язык программирования: Java

  • Платформа (ОС): Windows, Linux, MacOS

  • Название компании: Macrovision

  • Лицензия: GPL (General Public License) свободно распространяемая лицензия

  • Авторы: Markus Hohenwarter (Австрия, США), Judith Hohenwarter,

  • Сайт: http://www.geogebra.org/

  • Язык интерфейса: русский

GeoGebra – это программная среда, которая благодаря своей динамической структуре, объединила в себе важные представления математических понятий: табличное, алгебраическое и геометрическое представления. GeoGebra позволяет создавать различные конструкции из точек, отрезков, векторов, прямых, окружностей, математических функций и других базовых элементов, а затем динамически изменять их и строить анимации. Благодаря тому, что в программе реализована возможность напрямую вводить уравнения и работать с координатами, можно наглядно строить графики функций,

После запуска программы рабочее окно программы имеет вид, напоминающий графический редактор (рисунок 1).

Рисунок 1. Рабочее окно программы


При запуске GeoGebra в области геометрических построений прорисовываются координатные оси, которые при желании можно отключить на панели Настройки стиля, которая расположена непосредственно под Панелью инструментов. На вкладке Сетка можно задать вид системы координат (декартова, изометрическая, полярная.

На Панели инструментов находятся различные инструменты, необходимые для геометрических построений, они разбиты на группы, о чем свидетельствует маленький треугольник в правом нижнем углу каждой кнопки на панели. При нажатии на него раскрывается выпадающее меню, из которого можно выбрать нужный инструмент.

Используя мышь, можно строить различные чертежи, для этого необходимо выбрать на Панели инструментов нужную кнопку. Одновременно с добавлением элемента в области построения соответствующие координаты автоматически появляются на Панели объектов.

Строка ввода служит для непосредственного ввода уравнений, команд, функций, синтаксис напоминает синтаксис таковых в Excel. После нажатия на клавишу Enter они появляются в Области построения и на Панели объектов. В правом нижнем углу располагается кнопка Помощь по строке ввода.

2.2 Применение программы GeoGebra в школьном курсе



Изучение объекта «числовая окружность», приводит к возникновению существенных затруднений у учащихся. На непривычном им объекте (числовой окружности) необходимо понять и усвоить непривычные же учащимся способы задания функций. Функцию «синус» надо рассматривать как ординату, а «косинус» — как абсциссу точки единичной числовой окружности.

В результате этого у учащихся возникают неразрешимые проблемы в учебно-познавательной деятельности, ведущие к снижению качества усвоения материала. Эти трудности преодолеваются, если использовать такую модель. При «клике» на выбранную точку на экране появляется соответствующее ей число, т. е. значение тригонометрической функции.



2.3 Решение задач с параметрами в среде «GeoGebra»

В курсе ОГЭ задание с параметром под номером 23, а в материалах ЕГЭ это задание под номером 18. При выполнении таких задач очень часто требуется построить график функции и провести его исследовании. Использование платформы GeoGebra позволит учащимся проконтролировать правильность хода решения задачи.

В качестве примера рассмотрим использование GeoGebra при решении задания № 18 из ЕГЭ.

Задача. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Перепишем уравнение в виде

и рассмотрим график левой и правой части. Количество решений исходного уравнения будет зависеть от количества точек пересечения графиков.

Найдем область определения функции D(y)=[-3;1].

И проведем некоторые преобразования с функцией.

Исходя из этого, можно сделать вывод, что графиком функции является полуокружность с центром в точке (-1;0) и радиусом 2.

Уравнение задает семейство прямых, после преобразования получим: y=-a(x-4)+2. Можно заметить, что семейство проходит через точку (4;2) с угловым коэффициентом, который равен -a.

На основании изложенного можно сделать вывод о том, что уравнение имеет единственный корень, если прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.

Для наглядности построим динамический чертеж в программе GeoGebra. Для этого выполним следующую последовательность действий:

  • набираем в строке ввода функцию ;

  • при помощи инструмента «Ползунок» на панели инструментов добавляем ползунок, который может менять свое значение от –5 до 5, с шагом 0,001 (значения выбраны случайным образом и могут меняться в зависимости от решения);

  • набираем в строке ввода функцию

В результате получим рисунок 2.

Рисунок 2. Наглядное представление первой функции


Изменяя значение ползунка, мы видим, что касательная к полуокружности имеет угловой коэффициент, равный 0, а при a0 прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Возможен случай, когда прямая пересечет окружность в двух точках, если прямая будет проходить через точку (–3;0) и получим рисунок 3.

Рисунок 3. Наглядное представление задачи с параметром для конкретного случая


Подставим точку (-3;0) и получим, что коэффициент . Меняя значение ползунка, можно заметить, что уравнение будет иметь единственное решение до того момента, когда прямая будет проходить через точку (1;0). Подставим точку и получим, что .

Рисунок 4. Наглядное представление задачи с параметром для конкретного случая


Поэтому исходное уравнение будет иметь единственное решение при , а также при a=0.

Для того чтобы учащимся было более понятно решение данной задачи, то на этапе подготовки следует ввести решение таких заданий, используя пакет Geogebra для проверки правильности решения. Однако стоит отметить, что программа не должна заменить решение таких задач, а только помочь разобраться с материалом. В программе GeoGebra все чертежи «оживают», их легко можно изменить. Она позволяет отработать такие навыки как: построение графиков функций, нахождение области определения, а также она позволяет решать задачи с параметром не мысленно, а наглядно. Что касается задач с параметром, то обычно они трудны для учеников и требуют много времени, однако, если проводить построения с помощью приложения «GeoGebra», то построения становятся точными и быстрыми.

3 Характеристики программы «The Geometer's Sketchpad» или «Живая геометрия»


  • Название программы: The Geometer's Sketchpad (русская версия "Живая геометрия")

  • Тип: интерактивное геометрическое ПО

  • Размер: 1,99 МБ

  • Платформа (ОС): Mac OC X, Windows, Linux

  • Название компании: Key Curriculum Press Technologies

  • Лицензия: свободное пользование (русская версия)

  • Автор: Nicholas Jackiw

  • Разработчики: Nicholas Jackiw, Skott Steketee

  • Сайт: www.keypress.com

  • Язык интерфейса: русский

  • Описание: «Живая геометрия» - это набор инструментов, который предоставляет все необходимые средства для построения чертежей и их исследования. Она дает возможность «открывать» и проверять геометрические факты. Программа позволяет "оживлять" чертежи, плавно изменяя положение исходных точек.

Wingeom

  • Название программы: Wingeom (Wgeomru)

  • Категория: PEAnut Dynamic Geometry (динамическая геометрия)

  • Размер: 2,34 МБ

  • Платформа (ОС): Windows 95/98/ME/2K/XP/Vista/7

  • Название компании: PEAnut Software

  • Лицензия: Freeware 1985-2009 (свободное пользование)

  • Автор: Richard Parris

  • Сайт: http://math.exeter.edu/rparris

  • Язык интерфейса: русский

  • Описание: Wingeom является геометрической программой и предназначена для создания точных, аккуратных, перемещающихся чертежей (2D-моделирование), трехмерных моделей (3D-моделирование), моделей неевклидовой геометрии (сферической и гиперболической), мозаик-паркетов.

Программа Wingeom обладает возможностями:

1) создавать точные, аккуратные модели плоских и пространственных фигур:

а) с использованием координат точек (вершин) фигуры;

б) заданием готовых фигур;

в) удалением элементов из готовой фигуры;

г) добавлением элементов к готовой фигуре;

д) создание сечений пространственных фигур.

2) трансформировать готовые изображения:

а) способ изменения изображения (дискретный, непрерывный);

б) вид изображения пространственных фигур (в центральной проекции, параллельной проекции, ортогональной проекции);

в) перемещение фигуры (удаление, приближение, наклон, вращение, смещение);

г) анимация;

3)редактировать построенные модели:

а) выделять (толщина, цвет, стрелки, невидимые линии);

б) удалять элементы (точки, линейные элементы, криволинейные элементы);

4)производить необходимые измерения:

а) длина отрезка;

б) величина угла в градусах;

в) площадь многоугольника;

г) периметр многоугольника;

д) отношение длин отрезков;

е) координаты точки;

ж) величина двугранного угла;

з) величина (в стерадианах) многогранного угла;

и) длина дуги окружности;

к) длина окружности;

л) площадь круга;

м) площадь сечения многогранника;

н) радианная мера угла;

о) объем шара;

п) объем конуса;

р) вычисление значений выражения, составленного с помощью арифметических действий и стандартных функций;

5) применять геометрические преобразования:

а) параллельный перенос;

б) нормальный перенос;

в) поворот;

г) гомотетия;

д) зеркальная симметрия;

е) инверсия;

6) работать с текстом и обозначениями точек:

а) ввод и удаление текста и обозначений;

б) редактирование текста и обозначений (цвет, тип шрифта, размер шрифта);

в) привязка текста (к фигуре, к рамке);

7)сохранять историю создания модели;

8)показать построение модели в медленном режиме (презентация);

9)использовать макрос (макро-построения).



4 Характеристики программы Poly


  • Название программы: Poly

  • Версия: 1.11

  • Размер: 654 КБ

  • Платформа (ОС): Windows

  • Название компании: Pedagoguery Software

  • Лицензия: условно бесплатная

  • Сайт: http:// www.peda.com/poly

  • Язык интерфейса: английский

  • Описание: Poly - программа для того, чтобы исследовать многогранные поверхности. Программа может показать многогранные поверхности тремя главными способами:

• как трехмерное изображение,

• как плоская, двумерная развертка,

• как топологическое вложение в плоскость.

Трехмерные изображения могут в интерактивном режиме вращаться, сворачиваясь/разворачиваясь. Физические модели могут быть произведены, если распечатать плоские двумерные развертки, разрезать по периметру, свернуть по краям, и склеить лентой вместе соседние грани.

Poly является условно бесплатной программой для того, чтобы исследовать и строить. Pro Poly включает все особенности Poly и добавляет способность экспортировать многогранные модели, используя стандартные 3d форматы файлов (DXF, STL, 3DMF). С программой Pro Poly можно экспортировать вращающиеся многогранники как анимационные файлы GIF Статические изображения могут экспортироваться как GIF или PCX файлы.

Программа позволяет:

а) исследовать и строить различные многогранники и их развертки;

б) перемещать и вращать многогранные тела;

в) распечатать развертки, которые можно вырезать и сложить для получения трехмерных моделей;

г) создавать Платоновы тела (тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр), Архимедовы тела (усеченный тетраэдр, кубооктаэдр, усеченный куб, и многое другое), призмы и антипризмы (треугольные, пятиугольные, шестигранные и т.д.);

д) генерировать Джонсона тела и многое другое.







5 Характеристики программы Geometric Constructions


  • Название программы: Geometric Constructions

  • Категория: геометрические построения

  • Размер: 3,9 МБ

  • Платформа (ОС): Windows 98/Me/2000/XP

  • Лицензия: свободное пользование

  • Сайт: http://www.dekovsoft.com/ddekov/

  • Язык интерфейса: русский

  • Описание: Программа включает в себя 51 анимацию. Каждая анимация дает подробные пошаговые описания геометрических построений с помощью линейки и циркуля, изучаемые в элементарной геометрии. Все построения сгруппированы по пяти разделам: основные построения (15 построений), треугольники (10 построений), окружности и дуги (10 построений), алгебраические соотношения (8 построений), правильные многоугольники (8 построений).





Заключение



Внедрение новых информационных технологий и компьютерной техники в образовательный процесс позволяет изменять традиционную систему образования. Это относится и к математике, в которой, наряду с традиционными формами, методами и средствами обучения, заложены огромные возможности для применения компьютерных технологий и мультимедийных средств.

Следует отметить, что использование ИКТ дает учителю широкие возможности планировать свой урок, составлять конспект занятия, использовать кинофрагменты, электронные презентации и осуществлять контроль усвоения знаний. Школьник становится активным, заинтересованным, равноправным участником обучения. Он отходит от стандартного мышления, стереотипа действий, что позволяет развить стремление к знаниям, повышается мотивация к обучению. При сочетании ИКТ с традиционными и нетрадиционными методами и приемами обучения у детей развивается образное, систематическое и логическое мышление. Использование такого подхода в преподавании математики является важным средством для формирования личности, гуманного отношения ко всему живому, творческого воспитания и развития.

Таким образом, очевидно, что развитие познавательных способностей и творческой активности учащихся на уроках математики сегодня находятся в прямой зависимости от использования инновационных технологий в преподавании предмета.



Список используемых источников


  1. Далингер, В.А. Избранные вопросы информатизации школьного математического образования / В.А. Далингер ; ред. М.П. Лапчик. – 3-е изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 2016. – 150 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=83204 (дата обращения: 09.01.2021). – ISBN 978-5-9765-1159-0. – Текст : электронный.

  2. Инструментальные средства математического моделирования : учебное пособие / А.А. Золотарев, А.А. Бычков, Л.И. Золотарева, А.П. Корнюхин ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону : Южный федеральный университет, 2011. – 90 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=241127 (дата обращения: 09.01.2021). – библиогр. с: С. 88 – ISBN 978-5-9275-0887-7. – Текст : электронный.

  3. Информатика и программирование : учебное пособие / Р.Ю. Царев, А.Н. Пупков, В.В. Самарин, Е.В. Мыльникова ; Сибирский федеральный университет. – Красноярск : Сибирский федеральный университет (СФУ), 2014. – 132 с. : ил., табл., схем. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=364538 (дата обращения: 09.01.2021). – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-7638-3008-8. – Текст : электронный.

  4. Рагулина, М.И. Компьютерные технологии в математической деятельности педагога физико-математического направления / М.И. Рагулина. – 3-е изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 2016. – 118 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=83468 (дата обращения: 09.01.2021). – ISBN 978-5-9765-1168-2. – Текст : электронный.

  5. Соболева, М.Л. Информационные технологии: лабораторный практикум / М.Л. Соболева, А.С. Алфимова. – Москва : Прометей, 2012. – 48 с. : схем., ил., табл. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=437357 (дата обращения: 09.01.2021). – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-7042-2338-2. – Текст : электронный.

  6. Шпаков, П.С. Основы компьютерной графики : учебное пособие / П.С. Шпаков, Ю.Л. Юнаков, М.В. Шпакова ; Сибирский федеральный университет. – Красноярск : Сибирский федеральный университет (СФУ), 2014. – 398 с. : табл., схем. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=364588 (дата обращения: 09.01.2021). – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-7638-2838-2. – Текст : электронный.




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 7 класс

Скачать
Динамическая геометрия. Компьютерные программы по геометрии

Автор: Толстова Дарья Вячеславовна

Дата: 09.01.2021

Номер свидетельства: 569616

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(112) "Динамическая геометрия. компьютерные программы по геометрии"
    ["seo_title"] => string(72) "dinamichieskaia_ghieomietriia_komp_iutiernyie_proghrammy_po_ghieomietrii"
    ["file_id"] => string(6) "391386"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1487000702"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(113) "Динамическая геометрия. компьютерные программы по геометрии."
    ["seo_title"] => string(61) "dinamicheskaia_geometriia_kompiuternye_programmy_po_geometrii"
    ["file_id"] => string(6) "541693"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1583144709"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(137) "Презентация. ДИНАМИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КОМПЬЮТЕРНЫЕ ПРОГРАММЫ ПО ГЕОМЕТРИИ."
    ["seo_title"] => string(75) "prezentatsiia_dinamicheskaia_geometriia_kompiuternye_programmy_po_geometrii"
    ["file_id"] => string(6) "541696"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1583144899"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(171) "Использование информационно-коммуникационных технологий на уроках геометрии в 10 -11классах "
    ["seo_title"] => string(102) "ispol-zovaniie-informatsionno-kommunikatsionnykh-tiekhnologhii-na-urokakh-ghieomietrii-v-10-11klassakh"
    ["file_id"] => string(6) "215667"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1432749376"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(111) "Статья "Проблемы здоровьесбережения  на уроках информатики" "
    ["seo_title"] => string(65) "stat-ia-probliemy-zdorov-iesbieriezhieniia-na-urokakh-informatiki"
    ["file_id"] => string(6) "179826"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1425063744"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства