Векторы на плоскости

Содержание

Длина (модуль) ненулевого вектора АВ -это длина отрезка АВ.

АВ = 5см

АВ = 5 см ; а = 5 см СС = 0см; 0 = 0

Задание 1: Начертить вектор ЕD длина которого равна 3 см и

вектор КК длина которого 0 см.

1

0

2

3

Содержание

Содержание

Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на

одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается

коллинеарным любому вектору. Остальные векторы называются

неколлинеарными .

Векторы а, b, АВ, СD, ММ (вектор

ММ нулевой) коллинеарны, а

векторы АВ и EF ,а также CD и

EF неколлинеарны.

Виды векторов

Два коллинеарных вектора называются сонаправленными , если их концы

лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала, или от общего

начала.

Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными ,

если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их

начала, или от общего начала.

На рисунке представлены как сонаправлен-

ные, так и противоположно направленные

векторы: a b, а CD, a AB, b CD, b AB,

AB CD.

Виды векторов

Два вектора называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.

Все нулевые векторы считаются равными.

Два вектора называются неравными , если они сонаправлены и их длины

неравны.

Векторы а и b равны, если а b и

а = b . Равенство векторов а и b

обозначается так : а = b.

Виды векторов

Содержание

По правилу треугольника:

1) Отметить точку А.

2) Отложить АВ = а.

3) Отложить ВС = b.

4) Вектор суммы АС, направлен от

начала вектора а к концу

вектора b.

Правило треугольника:

Если А, В и С – произвольные точки,

то АВ + ВС = АС.

Правило параллелограмма.

Действия с векторами

По правилу параллелограмма:

1) Отметить точку А.

2) Отложить АВ = а

АС = b

3) Построить до

параллелограмма.

4) Вектор суммы АD = a + b

( диагональ параллелограмма ).

Законы сложения векторов:

Для любых векторов a, b и с справедливы равенства:

1°. a + b = b + a ( переместительный закон ).

2°. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( сочетательный закон )

Действия с векторами

Разностью векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с

вектором b равна вектору а.

Разность векторов а и b обозначается так: а - b.

1) Отметить точку А.

2) Отложить АВ = b

АС = a

3) Достроить до

треугольника.

4) Вектор разности BC направлен

от конца вычитаемого b

к концу уменьшаемого a.

Теорема: Для любых векторов a и b справедливо равенство a - b= a + ( -b ).

Доказательство

Доказательство:

По определению разности векторов ( a – b ) + b = a. Прибавив к обеим

частям этого равенства вектор ( -b ), получим: ( a – b ) + b + ( -b ) = a + ( -b ),

или ( a – b ) + 0 = a + ( -b ), откуда a – b = a + ( -b ).

Действия с векторами

Произведением ненулевого вектора a на число k называется

такой вектор b, длина которого равна l k l·l a l ,

• Если k › 0 , то a b.

2) Если k ‹ 0 , то а b.

3) Если k = 0 , то b= 0.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

b

b

a

b

Из определения вектора на число непосредственно следует, что:

1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2) для любого числа k и любого вектора a векторы a и ka

коллинеарны.

Умножение вектора на число имеет следующие основные

свойства .

Для любых чисел k, l и любых векторов a, b справедливы

равенства:

1°. ( kl ) a = k ( la ) – сочетательный закон.

2°. ( k + l ) a = ka + la – первый распределительный закон.

3°. k ( a + b ) = ka + kb – второй распределительный закон.

Действия с векторами

Векторы могут использоваться для решения геометрических задач и доказательства теорем. Для примера рассмотрим несколько задач.

Задача 1

Дано : АВ – отрезок;

С – середина АВ;

О – произвольная точка плоскости.

Доказать : ОС = ½ ( ОА + ОВ ).

Доказательство:

• ОС = ОА + АС, ОС = ОВ + ВС – по правилу треугольника. Складывая эти

равенства, получаем : 2 ОС = ОА + ОВ + ( АС + ВС ).

2) Т.к. С - середина АВ, то l AC l= l BC l и AC BC, значит АС + ВС = 0.

Таким образом, 2 ОС = ОА + ОВ, или ОС = ½ ( ОА + ОВ ).

Задача 2

Задача 2

Дано: ABCD- данная трапеция; M и N- середины

оснований BC и AD; О- точка пересечения прямых

AB и CD.

Доказать: О є MN.

Доказательство:

• ∆ OAD и ∆OBC подобны по первому признаку

подобия треугольников, поэтому OA/OB = OD/OC = k.

2) Т.к. OB OA и OC OD, то OA= k· OB, OD= k· OC . (1)

3) Точка M- середина отрезка ВС, поэтому OM= ½ (OB + OC).

Точка N- середина отрезка AD, поэтому ON= ½ (OA + OD).

Подставив в это равенство выражения (1) для OA и OD, получим:

ON= k· ½ ( OB + OC )= k· OM. (2)

4) Из (2) следует, что ON и OM коллинеарны, значит точка О є MN.

Содержание