Старинные задачи через века и страны

СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ через века и страны

Авторы:

учащиеся 5 В

школы№2

Цели проекта :

• Изучение старинных задач разных

народов.

• Показать развитие математической мысли

с древнейших времен,

Задачи проекта

• Изучить литературу по данной теме.
• Выяснить происхождение старинных

задач, их авторов.

• Распределить задачи по группам

различных народов

• Выбрать более интересные задачи

и их решить.

• Изучить справочную литературу по

решению некоторых задач

• Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить ее.

Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового – возможно.

Где есть желание, найдется путь!

Пойя Д.

Задачи Древнего Египта

• Задача из папируса

Ахмеса

• У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?

• Решение
• 7;
• 7*7=49;
• 7*7*7=343;
• 7*7*7*7 = 2401;
• 7*7*7*7*7= 16807;
• 19 607.
• Эта задача-путешественница из древнего египетского папируса трансформировалась на Руси в старинную народную задачу и встречалась в различных формулировках

Из Акмимского папируса

Некто взял

из сокровищницы 1/13.

Из того, что осталось,

другой взял 1/17,

оставил же он

в сокровищнице 150.

Сколько было в сокровищнице первоначально?

Решение

• 1) 1-1/13=13/13-1/13=12/13 - осталось, после того как Некто забрал 1/13 сокровищ
• 2) 1/17*12/13=12/221 - взял сокровищ другой
• 3) 12/13-12/221=204/221-12/221=192/221 сокровищ осталось в сокровищнице
• 4) 150:192*221=17.265.625 - было сокровищ
• Ответ:  17.265.625 сокровищ было

Задачи Древнего Вавилона

• Задача на глиняной табличке

Площадь А, состоящая из суммы

площадей двух квадратов,

составляет 1000.

Сторона одного из квадратов

составляет уменьшенные

на 10 две трети стороны

другого квадрата. Каковы стороны квадратов?

Ответ: стороны квадратов равны 30 и 10.

Задача о делении прямого угла

•     Задача о делении прямого угла .

Требуется разделить его на три равные части. На стороне АВ этого угла построим равносторонний треугольник АВЕ. Тогда угол СBE будет составлять одну треть от данного прямого угла. Останется разделить пополам угол EBA и задача будет решена.

ЗАДАЧИ ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ

• Задачи Никомаха

из Герасы

Проверить справедливость правила для последовательного

суммирования одного, двух, трех,

... следующих друг за другом нечетных

чисел:

• 1=1 3 ,
• 3+5=2 3 ,
• 7+9+11=3 3 ,
• 13+15+17+19=4 3 ,
• ................

Задача о Музах

• Клио – богиня истории; Талия – комедии; Мельпомена – трагедии;

Эрато – поэзии;

Урания – астрономии;

Полимния – лирической поэзии; Каллиопа – эпоса и красноречия;

Терпсихора – танцев и хорового пения

Евтерна – богиня - покровительница музыки.

Задача

• Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио пятую долю взяла. Талия – долю восьмую. С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора. С частью седьмою Эрато от меня убежала. Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа. Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками. Только полсотни плодов оставили мне музы на долю.

Сколько яблок нес Эрот до встречи с музами?

• Решение:

НОК   (12,5,8,20,4,7) = 7*8*20*3 = 3360

Ответ: 3360 яблок.

Задача Метродора

• « Путник!

Под этим камнем покоится

прах Диофанта, умершего в

глубокой старости. Шестую часть долгой жизни он был ребёнком, двенадцатую – юношей, седьмую – провёл неженатым. Через пять лет после женитьбы у него родился сын, который прожил вдвое меньше отца. Через четыре года после смерти сына уснул вечным сном и сам Диофант, оплакиваемый его близкими. Скажи, сколько лет прожил Диофант?»

Решение

• Задачу можно решить по действиям:
• Часть жизни Диофанта, протекшая от его рождения до женитьбы, выразится суммой дробей:   
• 1/6 + 1/12 + 1/7 + 1/2  = 75/84 = 25/28
• часть его жизни от женитьбы до смерти выразится разностью
• 1 – 25/28 = 3/28
• и эта часть жизни от женить до смерти равна
• 5 + 4 = 9
• Получаем 9 : 3/28 = 84.

Задачи Бхаскары

Если некоторое число умножить на 5, от произведения отнять его треть, остаток разделить на 10 и прибавить к этому

последовательно ; и первоначального числа, то получится 68. Как велико это число?

Решение

• Предположим, что искомое число равняется 3, тогда по условию задачи 3 · 5 = 15, одна треть от 15 равна 5. Поскольку 15 – 5 = 10, то при делении 10 на 10 получим 1. Если теперь к 1 прибавить ; и от 3,

тогда получим 1 + 1 + + =

что меньше 68 в 16 раз. Следовательно, искомое число равно 3 · 16 = 48.

Ответ: 48

ЗАДАЧИ ДРЕВНЕГО КИТАЯ

• Задача Ло-шу

Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3х3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу 15.

4

3

9

2

5

8

7

1

6

ЗАДАЧИ ДРЕВНЕГО КИТАЯ

• В клетке находится неизвестное
• число фазанов и кроликов.
• Известно, что вся клетка содержит
• 35 голов и 94 ноги.
• Узнать число фазанов и число кроликов.

• Представим, что наверх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? — 70 (35·2 = 70). — Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные? — Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов. — Сколько их? — 24 (94 – 70 = 24). — Сколько же кроликов? — 12 (24:2 = 12). — А фазанов? — 23 (35 – 12 = 23).

Женственные и мужественные:

• В очень древнем китайском манускрипте (более 4000 лет до н.э.) четные числа назывались женственными , а нечетные – мужественными . Так вот, употребляя все однозначные числа от 1 до 9 по одному разу и применяя только действия сложения, вычитания, умножения и деления, составьте такое равенство, в котором все женственные числа оказались бы по одну сторону знака равенства, а все мужественные – по другую.

• Ответ: 3+5 – 7+9 :1 = 2 ∙ 4+8 - 6 ;

ЗАДАЧИ ДРЕВНЕЙ ИНДИИ

• «Красавица со сверкающими глазами,
• ты, знающая исход обращения,
• назови мне число, которое,
• умноженное на 3, сложенное
• с ¾ произведения, разделённое на 7,
• уменьшенное на 1/3 частного,
• умноженное на само себя, уменьшенное на 52
• после извлечения квадратного корня,
• прибавления 8 и деления на 10, будет равняться 2».

Правило обращения или правило инверсии

• Решение

• 2*10=20; 20-8=12; 12 =144; 144+52=196;

196=14; 14*3/2*7*4/7=84;

84:3=28.

28 и есть искомое число.

Задача Боше де Мезирака.

• «Трое имеют известную сумму

экю каждый.

Первый даёт из своих денег

двум другим столько, сколько

есть у каждого. После чего

второй даёт двум другим столько,

сколько каждый из них имеет. Наконец, и третий даёт двум другим столько, сколько есть у каждого. После этого у каждого оказывается по 8 экю. Спрашивается, сколько денег было у каждого сначала?»

Решение

Было у каждого

1-го

После 3-го раздела

8

После 2-го раздела

2-го

После 1-го раздела

3-го

8

4

Первоначально

4

2

8

14

13

16

8

7

4

• О, математика, ты вечна!
• Гордись, прекрасная, собой!
• Твоё величье бесконечно,
• Так предначертано судьбой!
• Всегда овеяна ты славой,
• О, светоч всех земных светил!
• Тебя царицей величавой
• Недаром Гаусс окрестил!

Спасибо за внимание!!!