События, вероятность, статистическая обработка данных

События. Вероятности. Статистическая обработка данных .

7-9 класс

Учитель математики МКОУ Могутовская СОШ Акчувашева Т.Н .

Элементы комбинаторики, статистики теории вероятностей

• Комбинаторика: Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения, дерево вариантов факториал, перестановки
• Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки.

Понятие и примеры случайных событий.

3. Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Учащиеся должны уметь :

• Извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы, графики
• Решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения
• Вычислять средние значения результатов измерений
• Находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные
• Находить вероятности случайных событий в простейших случаях

Правило умножения. Дерево вариантов

• На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может соком, кофе или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбрать?

Плю

шка

Кофе

Бутер

брод

Кофе,

Плюш

ка

Сок

Пря

ник

Сок,

плюшка

Кофе

Бутер

брод

кефир

Кофе,

пряник

кефир,

плюшка

кекс

Сок,

Бутер

брод

Сок

пряник

кефир ,

Бутер

брод

Кофе,

кекс

Сок

кекс

кефир,

пряник

кефир,

кекс

Правило умножения. Дерево вариантов

Ответить на этот вопрос можно тремя способами

1 способ : простым перебором;

2 способ: с помощью дерева вариантов;

3 способ: по правилу умножения (перестановками )

В таблице 3 строки и четыре столбца, они образуют 12 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоять один из возможных вариантов завтрака и, наоборот, любой вариант завтрака будет записан в одной клетке. Значит, всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице. Ответ:12

Правило умножения. Дерево вариантов

• Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В
• Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В
• Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В
• Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В
• Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В

Дерево вариантов

• Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9 ?
• Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9 ?

Ответ:15

• Ответ:15

факториал

• Произведение первых подряд идущих n натуральных чисел

обозначают n ! Знак n ! Читается как

«эн факториал», что в переводе с английского означает

«состоящий из n множителей»

n ! =1*2*3*…*( n -2)( n - 1) n

Например: 6!=1*2*3*4*5*6

перестановки

• N различным элементам можно присвоить номера от 1 до n ровно n ! различными способами. Каждый способ нумерации от 1 до n называют перестановкой данного n -элементного множества.
• Число перестановок множества из n элементов обозначают Р n

Р n = n !

n

перестановки

• Решите уравнение :

n !=7( n -1)!

n !\ ( n -1)!=7

n =7

Вычислите:

Выбор нескольких элементов. Сочетания.

1-я

1-я

2-я

2-я

3-я

3-я

4-я

4-я

5-я

5-я

6-я

6-я

7-я

7-я

Выбор нескольких элементов. Сочетания .

• В чемпионате участвовало 7 команд. Каждая команда играла один матч с каждой. Сколько всего было встреч?

Так как никакая команда не играла сама с собой, то клетки по диагонали надо закрасить, тогда в подсчете числа встреч будет участвовать ровно

7 2 -7=7(7-1)=42 клетки. В результате таблица разделилась на две половины, в них результаты встреч дублируются. Поэтому данное выражение делим на два

Выбор нескольких элементов. Сочетания

• В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если а) первый ученик должен решить задачу, второй сходить за мелом, третий идти в столовую дежурить б) им следует спеть хором?
• В первом случае важен порядок вызова учеников и применимо правило умножения. Один из 27 учеников идет решать задачу. Один из оставшихся 26 идет за мелом, а один из оставшихся 25 будет дежурить в столовой. Получается: 27*36*25=17550

Сочетания .

• Понятие «выбор» означает сам процесс, а «выборка»-это тот конкретный объект, который мы выбрали

Выбор нескольких элементов. Сочетания

• Число способов, при которых порядок выбора трех элементов из 27 не важен, в 3! раз меньше числа способов, при которых порядок выбора важен 3!=3*2*1=6

Сочетания .

• Определение: число всех выборов k элементов из n данных без учета порядка обозначают С k n
• Для числа сочетаний из n элементов по k c праведлива формула
• С k n =

Сочетания .

Сочетания .

• Для чисел С k n есть имеется очень красивый и удобный способ записи –в виде треугольной таблицы, ее называют треугольником Паскаля