Решение задач на проценты из второй части ЕГЭ по математике.

МБОУ СОШ № 41

Данилина М. Ю.

Ручина Л. Г.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ ИЗ ВТОРОЙ ЧАСТИ ЕГЭ ПОЛУЧЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ.

Цель выступления - постараться найти такой способ решения задачи 19, который позволил бы существенно сэкономить время, затраченное на задание, и получить абсолютно правильный ответ и, как следствие, максимальный балл на экзамене (3 балла).

• Найти такой способ решения задания на проценты.
• Доказать его справедливость.
• Проверить этот способ при решении заданий на проценты всех четырех типов( поиск размера выплаты, размера кредита, процентной ставки и количества выплат).
• Сравнить обычное решение задач с новым способом.

Решение:

Пусть сумма кредита равна S , а годовые составляют a %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент

b =1+0,01 a .

После первой выплаты сумма долга составит

S 1 = Sb - X .

• Задача 2.
• 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X , чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

• Обычный способ:
• 9282000+0,1*9282000- X = 9282000+928200- X = 10210200- X - сумма, оставшаяся после первой выплаты.
• 10210200- X +(10210200- X )*0,1- X =
• =10210200- X +1021020-0,1 X - X =11231220-2,1 X - сумма, оставшаяся после второй выплаты.
• 11231220-2,1 X +(11231220-2,1)*0,1- X =
• =11231220-2,1 X +1123122-0,21 X - X =12354342-3,31 X -сумма, оставшаяся после третей выплаты.
• 12354342-3,31 X -(12354342-3,31 X )*0,1- X=
• =12354342-3,31 X +1235434,2-0,331 X - X =13589776,2-4,641 X –сумма после четвертой выплаты равная 0.
• 13589776,2-4,641 X =0
• 4,641 X =13589776,2
• X =13589776,2/4,641
• X =2928200 рублей.
• Ответ: 2928200 рублей.

• С помощью формулы:
• S n = Sb n - X ,
• И так как Алексей выплатит долг за 4 года, то n =4, тогда S 4 =0, b =1,1;

• Ответ: 2928200 рублей.
• Результаты обоих решений оказались одинаковыми.

• 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга( то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

• Обычный способ:
• 7007000+0,2*7007000- X = 8408400- X – сумма, оставшаяся после первой выплаты.
• 8408400- X +(8408400- X )*0,2- X =8408400- X +1681680-0,2 X - X =
• 10090080-2,2 X – сумма, оставшаяся после второй выплаты.
• Но если погасить кредит за два года, то
• 10090080-2,2 X 1 =0
• 2,2 X 1 =10090080
• X 1 =10090080/2,2
• X 1 =4586400 рублей- размер выплаты кредита, при условии, что он будет погашен за 2 года.

• 10090080-2,2 X +(10090080-2,2 X )*0,2- X=
• =10090080-2,2 X +2018016-0,44 X - X =12108096-3,64 X – сумма после третей выплаты равной 0.
• 12108096-3,64 X =0
• 3,64 X =12108096
• X =12108096/3,64
• X =3326400 рублей- размер выплаты кредита, при условии, что он будет погашен за 3 года.
• 3* X -2* X 1 - сэкономленные деньги, которые мог бы получить Тимофей, если бы смог погасить кредит за 2 года.
• 3326400*3 -4586400*2= 9979200-9172800=806400 рублей- сэкономленные деньги, которые мог бы получить Тимофей, если бы смог погасить кредит за 2 года.
• Ответ: 806400 рублей.

• С помощью формулы:
• S n = Sb n - X ;
• И так как Тимофей выплатит долг за 3 года, то n =3, S 3 =0, b =1,2.

• X =3326400 рублей- размер выплаты кредита, при условии, что он будет погашен за 3 года.
• Также Тимофей мог погасить кредит за 2 года, тогда n =2, S 2 =0, b =1,2.

• X 1 =4586400 рублей- размер выплаты кредита, при условии, что он будет погашен за 2 года.
• 3* X -2* X 1 - сэкономленные деньги, которые мог бы получить Тимофей, если бы смог погасить кредит за 2 года.
• 3326400*3 -4586400*2= 9979200-9172800=806400 рублей- сэкономленные деньги, которые мог бы получить Тимофей, если бы смог погасить кредит за 2 года.
• Ответ: 806400 рублей.
• Результаты обоих решений оказались одинаковыми.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу

2

Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено или верный ответ найден подбором

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3