Разработка урока алгебры на тему: "Теорема Виета"

Теорема Виета

8 класс

Установим связь между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами.

Уравнение

Корни х 1 и х 2

х 2 – 2х – 3 = 0

х 2 + 5х – 6 = 0

х 2 – х – 12 = 0

х 2 + 7х + 12 =0

х 2 – 8х + 15 =0

х 1 + х 2

х 1 · х 2

х 1 = 3 , х 2 = - 1

2

- 3

- 6

- 5

х 1 = 1 , х 2 = - 6

х 1 = 4 , х 2 = - 3

1

- 12

х 1 = - 4 , х 2 = - 3

- 7

12

х 1 = 5 , х 2 = 3

8

15

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней свободному члену .

х 2 + px + q = 0

x 1 + x 2 = - p

x 1 • x 2 = q

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов

приведенного квадратного уравнения с его корнями , была

обнародована в 1591 г. Теперь она носит имя ВИЕТА.

Франсуа Виет

(1540 – 1603)

• Француз, жил в конце XVI - начале XVII веков, по профессии юрист, был адвокатом, советником королей Генриха III и IV. Во время войны Франции и Испании раскрыл шифры испанской тайной почты, за что испанская инквизиция приговорила учено--го к сожжению на костре, провозгласив, колдуном и вероотступником. К счастью Генрих IV его не выдал священникам. Математик. Им была сформулирована теория синусов, без доказательства сформулировал всю систему плоской и сферической тригонометрии. “Отец алгебры” - так называют его за введение в эту науку буквенной символики.

Обратная теорема

Выберите уравнение сумма корней которого равна – 6, а произведение равно – 11 .

1) х² - 6х + 11 = 0

2) х² + 6х - 11 = 0

з) х² + 6х + 11 = 0

4) х² - 11х - 6 = 0

5) х² + 11х - 6 = 0

х 2 + px + q = 0

x 1 + x 2 = - p

x 1 • x 2 = q

Если х 1 = - 5 и х 2 = - 1 корни уравнения х² + px + q = 0, то

1) p = - 6 , q = - 5

2) p = 5 , q = 6

з) p = 6 , q = 5

4) p = - 5 , q = - 6

5) p = 5 , q = - 6

х 2 + px + q = 0

x 1 + x 2 = - p

x 1 • x 2 = q

Найдите сумму и произведение корней уравнения х² - 3х – 5 = 0 ( выберите правильный ответ ) .

1) х 1 + х 2 = - 3, х 1 • х 2 = - 5

2) х 1 + х 2 = - 5, х 1 • х 2 = - 3

З) х 1 + х 2 = 3, х 1 • х 2 = - 5

4) х 1 + х 2 = 5, х 1 • х 2 = - 3

х 2 + px + q = 0

x 1 + x 2 = - p

x 1 • x 2 = q

Составьте квадратное уравнение, имеющее заданные корни х 1 и х 2

№

х 1

1

- 3

х 2

2

х 1 + х 2

5

4

3

0

4

х 1 · х 2

7

5

- 0,5

Квадратное уравнение

7

2

-0,2

-8

- 15

х² - 2х - 15 = 0

2

11

х² - 11х + 28 = 0

28

7

х² - 7х = 0

0

- 0,7

0,1

х²+0,7х +0,1=0

х² + 6х - 16 = 0

- 6

- 16

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ

• Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения.
• Определяем знаки корней уравнения не решая его.
• Устно находим корни приведенного квадратного уравнения.
• Составляем квадратное уравнение с заданными корнями.

Проанализируйте данные и узнайте числа m и n

а) m · n = 14 ; m + n = 9

m = ______ n = _______

б) m · n = 15 ; m + n = - 8

m = ______ n = _______

в) m + n = - 2 ; m · n = - 35

m = ______ n = _______

г) m + n = 1 ; m · n = - 12

m = ______ n = _______

7

2

- 3

- 5

- 7

5

4

- 3

0, х 1 + х 2 = 2, х 1 ∙ х 2 = - 8 2 ∙ (-4) ; - 2 ∙ 4 ; 1 ∙ (-8) ; - 1 ∙ 8 х 1 = - 2 , х 2 = 4 2) х² + 7х + 12 = 0 Д 0, х 1 + х 2 = - 7, х 1 ∙ х 2 = 12 х 1 = - 3 , х 2 = - 4 з) х² - 8х - 9 = 0 Д 0, х 1 + х 2 = 8, х 1 ∙ х 2 = - 9 х 1 = - 1 , х 2 = 9" width="640"

Для каждого уравнения укажите, если это возможно сумму и произведение корней .

Для каждого уравнения попытайтесь подобрать два числа х 1 и х 2 так, чтобы выполнялись получившиеся равенства .

1) х² - 2х - 8 = 0

Д 0, х 1 + х 2 = 2, х 1 ∙ х 2 = - 8

2 ∙ (-4) ; - 2 ∙ 4 ; 1 ∙ (-8) ; - 1 ∙ 8

х 1 = - 2 , х 2 = 4

2) х² + 7х + 12 = 0

Д 0, х 1 + х 2 = - 7, х 1 ∙ х 2 = 12

х 1 = - 3 , х 2 = - 4

з) х² - 8х - 9 = 0

Д 0, х 1 + х 2 = 8, х 1 ∙ х 2 = - 9

х 1 = - 1 , х 2 = 9

Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

ax² + b х + с = 0

x² + b/a x + c/a = 0

По теореме Виета

x 1 + x 2 = - b/a

x 1 ∙ x 2 = c/a

Заполните пропуски

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойстве корней теорема ___________

Что лучше, скажи, постоянства такого ?

Умножишь ты корни, и дробь уж готова:

В числителе « ____ », в знаменателе «а».

И сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда

В числителе « ____ », а в знаменателе – « ____ ».

Виета

c

b

a