Просмотр содержимого документа
«Различные способы решения задач на смеси, сплавы , растворы»
Различные способы решения задач на смеси, сплавы, растворы
Вайланд Анна Павловна, учитель математикиМАОУ «Средняя общеобразовательная школа №3»
Балаково – 20152
Проблема и гипотеза
Рассматривая учебники по математике разных авторов, я увидела несколько совершенно разных по типу задач на растворы, а решения одних и тех же задач в одних учебниках были совершенно другими, нежели в других. Поэтому выдвинула свою гипотезу:
Гипотеза: все задачи на растворы, сплавы и смеси делятся на несколько типов, а каждый из типов имеет конкретный способ решения.
Цели и задачи
Систематизировать задачи на растворы, смеси и сплавы;
Найти единый алгоритм решения этих задач;
Научиться решать задачи по заданной теме.
ЕГЭ и межпредметная связь
Созданный мною проект содержит материал по теме «Проценты» из курса математики, который может помочь также и при решении заданий на проценты не только в тестах ЕГЭ по математике за курс основной и средней школы, а так же при изучении химии, биологии, физики и других предметов.
Анализ ситуации
В ходе проектной деятельности я проводила опрос «Можете ли вы решать задачи на растворы?». Вот результаты первого:
Конечно!
Скорее всего
Затруднились ответить
Нет
3
6
5
10
Введение
Для решения задач на концентрации нужно уметь рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, на составление уравнений и их систем. Эти задачи решаются арифметически, применением линейного уравнения и их систем, и другие способы.
Основные понятия
«Смесь»
«Чистое вещество»
«Примесь»
Доли чистого вещества в смеси – « a »
Чистое вещество – « m »
Общее количество – « М »
a = m:Mm=a MM=m:a
Классификация задач
На переливание
На понижение и повышение концентрации
На «высушивание»
На смешивание растворов разных концентраций
Задачи на понижение и повышение концентрации
Задача №1: сироп содержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40 кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15% ?
Задача №2: сплав массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди?
Решение задачи №1
II. Правило «креста»
18 15
15
0 3
I. Пусть надо добавить х кг воды. Заполним таблицу по условию задачи.
Значит, 40 кг – 15 частей тогда, чтобы получить 15% р-р нужно добавить 3 части воды
40:15 · 3=8 кг.
Ответ: 8 кг
Составим и решим уравнение:
0,15(40+х)=0,18*40
х =8
Ответ: 8 кг.
Было
α
18%=0,18
М(кг)
Стало
т (кг)
40
15%=0,15
0,18*40
40+ х
0,15(40+ х )
Задачи на высушивание
Задача №3:
Пчелы перерабатывают цветочный нектар в мёд, освобождая его от воды. Нектар содержит 84% воды, а полученный мёд - 20%. Сколько кг нектара нужно переработать пчелам для получения 1 кг мёда?
Решение задачи №3
При решении таких задач надо разделять вещество на воду и «сухой остаток», масса которого не меняется в условиях задачи
1. Арифметический
1) 100-20=80% - составляет основное вещество от полученного мёда.
2) 1*0,8=0,8 кг – масса основное вещество в 1 кг.
3) 100-84 = 16% - составляет основное вещество от собранного нектара.
4) 0,8:0,16 = 5 кг нектара.
Ответ: 5кг нектара нужно переработать пчелам для получения 1 кг мёда.
2. Правило «креста»
84 80
100
20 16
Значит, 1 кг составляет 16 частей, тогда 80 частей:
1 : 16 * 80 = 5 кг.
Ответ:5 кг
Задачи, которые решаются с помощью систем линейных уравнений.
Задача №4
Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.
Решение задачи №4
Пусть процентное содержание соли в первом и втором растворах p% и q% соответственно, тогда по условиям задачи можно составить два уравнения:
100 p/100 + 200 q/100=50*(100+200)/100
300 p/100 + 200 q/100=42*(300+200)/100.
Упростив эти уравнения и решив систему, получим p=30 и q=60.
Следовательно, концентрация второго раствора равна 60%
Ответ. 60%
40-30
30-5
Старинная схема решения подобных задач
Смешивая 5% и 40% растворы кислот, необходимо получить 30% раствор. В каком соотношении их необходимо взять?
Доли исходных продуктов в
конечном продукте
Параметры
исходных
продуктов
5%
40%
Параметры
конечного
продукта
30%
1-ый продукт
2-ой продукт
10 частей
25 частей
Ответ:
Соотношение первого и второго растворов – 10:25
Задачи на переливание
При решении этих задач выполняются следующие допущения: «закон сохранения масс» и «закон сохранения объёмов», как для всей смеси, так и для каждого её компонента. При этом плотности растворов изменяются не значительно и примерно равны плотности воды.
Теперь покажу, как графические иллюстрации к условию задач помогают найти правильный путь к ответу на вопрос задачи
Задача №5
Сначала приготовили 25%-ый водный раствор поваренной соли. Затем одну треть воды выпарили. Найти концентрацию получившегося раствора.
Решение задачи №5
До выпаривания:
NaCl
Н 2 О
Н 2 О
Н 2 О
25%25% 25% 25%
После выпаривания:
NaCl
Н 2 О
Н 2 О
Сейчас соль стала составлять одну треть всего раствора или
Ответ:
Задача №6
Имеется два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другом 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золота и серебро относилось бы как 1:4?
Решение задачи №6
НОВЫЙ СПЛАВ
Золота в нём 1/5 или 0,2
IСПЛАВ
Золота в нём 0,1 доля
IIСПЛАВ
Золота в нём 2 / 5 или 0,4
1:9
2:3
1:4
Внесём данные в таблицу:
Имеется два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другом 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золота и серебро относилось бы как 1:4?
Название
элементов
Первый сплав
золото
серебро
Масса каждого элемента в сплаве
Второй сплав
золото
серебро
Общая масса сплава
0,1хкг
Новый сплав
Xкг
Массовая доля элемента
0,4(15-х)кг
золото
серебро
(15-X)кг
0,1
0,2*15=3 кг
0,4
15 кг
0,2
Решение
0,1х + 0,4(15-х) =3
X =10
m (I сплава) =10 (кг)
m (II сплава) =15 – 10 =5 (кг) Ответ: 10 кг, 5 кг.
Вывод
При решении задач следует руководствоваться тем, что при соединении (разъединении) смесей с одним и тем же чистым веществом количества чистого вещества и общие количества смесей складываются (вычитаются).Складывать и вычитать доли и процентные содержания нельзя .
Вывод
В ходе проектной деятельности я разделила задачи на растворы и смеси по типам и нашла единый алгоритм решения для каждого из типов, следовательно, моя гипотеза подтвердилась .
Повторный опрос «Можете ли вы решать задачи на растворы?»
ДО:
ПОСЛЕ:
1
3
6
5
14
9
10
Да!
Скорее всего
Затруднились ответить
Конечно!
Скорее всего
Затруднились ответить
Нет
Рефлексия
Как видно из результатов опросов, проектная деятельность помогла мне лучше понять сущность процентных задач на растворы и смеси и научила правильно оценивать свои силы.
Список литературы
М.В. Лурье и др. Задачи на составление уравнений, изд-во «Наука», М., 1976 г.
Н.А. Терёшин Прикладная направленность школьного курса математики, «Просвещение», М., 1990 г.