Равносильность уравнений

Равносильность уравнений

11 класс

(профильный уровень)

Определение 1. Два уравнения с одной переменной

f (х) = g (х) и р(х) = h (х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными , если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например , уравнения х 2 - 4 = 0 и (х + 2)(2 x - 4) = 0 равносильны, оба они имеют по два корня:

2 и -2. Равносильны и уравнения х 2 +1=0и √ x =-3, поскольку оба они не имеют корней.

Определение 2. Если каждый корень уравнения

f ( x ) = g (х) (1)

является в то же время корнем уравнения

р(х) = h (х), (2)

то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Например , уравнение х - 2 = 3 имеет корень х = 5, а уравнение (х - 2) 2 = 9 имеет два корня: х 1 = 5, х 2 = -1. Корень уравнения х - 2 = 3 является одним из корней уравнения (х - 2) 2 = 9. Зна­чит, уравнение (х - 2) 2 = 9 — следствие уравнения х - 2 = 3.

Достаточно очевидным является следующее утверждение.

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого .

.

В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило, осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3) → (4) → ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

• Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?

• Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?

• Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?

• В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Теоремы о равносильности уравнений

• «Спокойные теоремы » гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.

• «Беспокойные теоремы» работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.

0, a ≠1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х)." width="640"

«Спокойные теоремы»

Теорема 1 . Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение а f ( x ) = а g ( x ) (где а 0, a ≠1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х).

ОДЗ

Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.

Определение 3. Областью определения уравнения f (х) = g (х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называ­ют множество тех значений переменной х, при которых одновре­менно имеют смысл выражения

f (х) и g (х).

ОДЗ

0 и a ≠1, X — решение системы неравенств f (х) О, g (х) 0 Тогда уравнение log a f ( x ) = log a g ( x ) равносильно на множестве X уравнению f ( x ) = g (х)" width="640"

«Беспокойные теоремы»

Теорема 4. Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) умножить на одно и то же выражение h (х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f ( x ) = g (х)

б) нигде в этой области не обращается в 0

то получится уравнение f ( x ) h ( x ) = g ( x ) h ( x ), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5 . Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение ( f ( x )) n =( g ( x )) n равносильное данному в его ОДЗ.

Теорема 6. Пусть а0 и a ≠1, X — решение системы неравенств

f (х) О,

g (х) 0 Тогда уравнение log a f ( x ) = log a g ( x ) равносильно на множестве X уравнению f ( x ) = g (х)

О, g (х) 0 и а0 и a ≠1" width="640"

Краткая запись теорем 4 – 6.

4 . f(x) = g(x) ⇔ h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0

и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

5. f(x) = g(x) ⇔ ( f ( x )) n =( g ( x )) n , где f(x) ≥0 , g(x)≥0

и n=2k (чётное число).

6. log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔ f ( x ) = g (х), где f (х) О, g (х) 0

и а0 и a ≠1

Преобразование данного уравнения в уравнение – следствие. Проверка корней.

Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения ограничительных условий, то получим уравнение-следствие.

Например. а) х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень ⇒ проверка!

б) ln(2x-4) =ln(3x-5)

Потенцируем 2х – 4 = 3х – 5; х = 1, но при этом значении уравнение не имеет смысла ⇒ искать ОДЗ или проверка.

(2) (3) - (4) - ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки. Последовательно получаем: 100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ² 9х ² - 416х + 796 = 0 х ₁ = 2; х₂ = 398/9 Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными. Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение. х₂ = 398/9 - посторонний корень. Ответ: х = 2" width="640"

Пример 1

Решить уравнение

Решение. Первый этап — технический. На этом этапе, как мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме (1) - (2) (3) - (4) - ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Последовательно получаем:

100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ²

9х ² - 416х + 796 = 0

х ₁ = 2; х₂ = 398/9

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.

х₂ = 398/9 - посторонний корень.

Ответ: х = 2

Пример 2

Решить уравнение

ln (х + 4) + ln (2х + 3) = ln (1 - 2х).

Решение. Первый этап . Воспользуемся правилом «сумма ло­гарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение ln (х + 4) + ln (2х + 3) выражением

ln (х + 4)(2х + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:

ln (х + 4)(2х + 3) = ln (1 - 2х).

Потенцируя, получаем:

(х + 4)(2х + 3) = (1 - 2х); 2х 2 + 8х + Зх + 12 = 1 - 2х; 2х 2 + 13х + 11 = 0; х ₁ = -1, х 2 = -5,5.

Второй этап . В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.

Третий этап . Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе ре­шения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств

Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а зна­чение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.

Ответ: -1.

О потере корней

Укажем две причины потери корней при решении уравнений:

1. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h (х) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h (х) ≠ 0);

2. Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.

С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от уравнения f (х ) h (х) = g {х ) h {х) к уравнению h ( x )( f ( x ) – g ( x ))=0 ( а не к уравнению f ( x )= g ( x ) ). Может быть, даже есть смысл вообще запретить себе деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее переменную.

Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например, уравнение lg х 2 = 4 и решим его двумя способами.

Первый способ . Воспользовавшись определением логарифма, находим:

х 2 = 10 4 ; х ₁ = 100, х 2 = -100.

Второй способ . Имеем: 2 lg х = 4; lg x = 2; х = 100.

Обратите внимание: при втором способе произошла потеря кор­ня — «потерялся» корень х = -100. Причина в том, что вместо правильной формулы lg х 2 = 2 lg l х l мы воспользовались непра вильной формулой

lg х 2 = 2 lg х, сужающей область определения выражения, из нее «выпал» открытый луч (-∞; 0), где как раз и находится «потерявшийся» при втором способе решения корень уравнения.

Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу (особенно тригонометрическую), следите за тем, чтобы области допустимых значений переменной для правой и левой частей

формулы были одинаковыми.

§ 26; № 12(а, б) – 15(а, б).

Урок по алгебре и началам анализа: «Равносильность уравнений». 11 класс (профильный уровень)