kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Равносильность уравнений

Нажмите, чтобы узнать подробности

Представллены способы решения и примеры равносильных уравнений, используемые   свойства

Просмотр содержимого документа
«Равносильность уравнений»

Равносильность уравнений 11 класс (профильный уровень)

Равносильность уравнений

11 класс

(профильный уровень)

Определение 1.  Два уравнения с одной переменной f (х) = g (х) и р(х) = h (х) называют равносильными, если множества их корней совпадают. Иными словами, два уравнения называют равносильными , если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней. Например , уравнения х 2  - 4 = 0 и (х + 2)(2 x - 4) = 0 равносильны, оба они имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и уравнения х 2 +1=0и √ x =-3, поскольку оба они не имеют корней.

Определение 1. Два уравнения с одной переменной

f (х) = g (х) и р(х) = h (х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными , если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например , уравнения х 2 - 4 = 0 и (х + 2)(2 x - 4) = 0 равносильны, оба они имеют по два корня:

2 и -2. Равносильны и уравнения х 2 +1=0и √ x =-3, поскольку оба они не имеют корней.

Определение 2.  Если каждый корень уравнения  f ( x ) = g (х)  (1) является в то же время корнем уравнения  р(х) = h (х),  (2) то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).  Например , уравнение х - 2 = 3 имеет корень х = 5, а уравнение (х - 2) 2 = 9 имеет два корня: х 1  = 5, х 2  = -1. Корень уравнения х - 2 = 3 является одним из корней уравнения (х - 2) 2 = 9. Зна­чит, уравнение (х - 2) 2 = 9 — следствие уравнения х - 2 = 3. Достаточно очевидным является следующее утверждение. Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого .

Определение 2. Если каждый корень уравнения

f ( x ) = g (х) (1)

является в то же время корнем уравнения

р(х) = h (х), (2)

то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Например , уравнение х - 2 = 3 имеет корень х = 5, а уравнение - 2) 2 = 9 имеет два корня: х 1 = 5, х 2 = -1. Корень уравнения х - 2 = 3 является одним из корней уравнения (х - 2) 2 = 9. Зна­чит, уравнение (х - 2) 2 = 9 — следствие уравнения х - 2 = 3.

Достаточно очевидным является следующее утверждение.

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого .

.  В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило, осуществляется в три этапа.    Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3) → (4) → ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки. Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными. Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

.

В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило, осуществляется в три этапа.

Первый этаптехнический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3) → (4) → ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этапанализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этаппроверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.    Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием? Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие? Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями? В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

  • Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
  • Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
  • Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
  • В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Теоремы о равносильности уравнений  «Спокойные теоремы »  гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.

Теоремы о равносильности уравнений

  • «Спокойные теоремы » гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.

  • «Беспокойные теоремы» работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.
0, a ≠1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х)." width="640"

«Спокойные теоремы»

Теорема 1 . Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение а f ( x ) = а g ( x ) (где а 0, a ≠1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х).

ОДЗ Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.  Определение 3. Областью определения уравнения f (х) = g (х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называ­ют множество тех значений переменной х, при которых одновре­менно имеют смысл выражения  f (х)  и g (х).  ОДЗ

ОДЗ

Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.

Определение 3. Областью определения уравнения f (х) = g (х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называ­ют множество тех значений переменной х, при которых одновре­менно имеют смысл выражения

f (х) и g (х).

ОДЗ

0 и a ≠1, X — решение системы неравенств f (х) О, g (х) 0 Тогда уравнение log a f ( x ) = log a g ( x ) равносильно на множестве X уравнению f ( x ) = g (х)" width="640"

«Беспокойные теоремы»

Теорема 4. Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) умножить на одно и то же выражение h (х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f ( x ) = g (х)

б) нигде в этой области не обращается в 0

то получится уравнение f ( x ) h ( x ) = g ( x ) h ( x ), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5 . Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение ( f ( x )) n =( g ( x )) n равносильное данному в его ОДЗ.

Теорема 6. Пусть а0 и a ≠1, X — решение системы неравенств

f (х) О,

g (х) 0 Тогда уравнение log a f ( x ) = log a g ( x ) равносильно на множестве X уравнению f ( x ) = g (х)

О, g (х) 0 и а0 и a ≠1" width="640"

Краткая запись теорем 4 – 6.

4 . f(x) = g(x) ⇔ h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0

и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

5. f(x) = g(x) ⇔ ( f ( x )) n =( g ( x )) n , где f(x) ≥0 , g(x)≥0

и n=2k (чётное число).

6. log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔ f ( x ) = g (х), где f (х) О, g (х) 0

и а0 и a ≠1

Преобразование данного уравнения  в уравнение – следствие.  Проверка корней. Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения ограничительных условий, то получим уравнение-следствие.  Например. а) х – 1 = 3; х = 4  Умножим обе части на (х – 2): (х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень ⇒ проверка!   б)  ln(2x-4) =ln(3x-5)  Потенцируем 2х – 4 = 3х – 5; х = 1, но при этом значении уравнение не имеет смысла ⇒ искать ОДЗ или проверка.

Преобразование данного уравнения в уравнение – следствие. Проверка корней.

Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения ограничительных условий, то получим уравнение-следствие.

Например. а) х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень проверка!

б) ln(2x-4) =ln(3x-5)

Потенцируем 2х – 4 = 3х – 5; х = 1, но при этом значении уравнение не имеет смысла ⇒ искать ОДЗ или проверка.

(2) (3) - (4) - ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки. Последовательно получаем: 100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ² 9х ² - 416х + 796 = 0 х ₁ = 2; х₂ = 398/9 Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными. Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение. х₂ = 398/9 - посторонний корень. Ответ: х = 2" width="640"

Пример 1

Решить уравнение

Решение. Первый этаптехнический. На этом этапе, как мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме (1) - (2) (3) - (4) - ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Последовательно получаем:

100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ²

9х ² - 416х + 796 = 0

х ₁ = 2; х₂ = 398/9

Второй этапанализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этаппроверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.

х₂ = 398/9 - посторонний корень.

Ответ: х = 2

Пример 2 Решить уравнение  ln  (х + 4) + ln  (2х + 3) = ln (1 - 2х).  Решение.  Первый этап . Воспользуемся правилом «сумма ло­гарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение ln  (х + 4) + ln  (2х + 3) выражением   ln  (х + 4)(2х + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:   ln  (х + 4)(2х + 3) = ln (1 - 2х). Потенцируя, получаем:  (х + 4)(2х + 3) = (1 - 2х); 2х 2 + 8х + Зх + 12 = 1 - 2х; 2х 2 + 13х + 11 = 0; х ₁  = -1, х 2 = -5,5.  Второй этап . В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.  Третий этап . Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе ре­шения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а зна­чение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.   Ответ: -1.

Пример 2

Решить уравнение

ln (х + 4) + ln (2х + 3) = ln (1 - 2х).

Решение. Первый этап . Воспользуемся правилом «сумма ло­гарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение ln (х + 4) + ln (2х + 3) выражением

ln + 4)(2х + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:

ln (х + 4)(2х + 3) = ln (1 - 2х).

Потенцируя, получаем:

(х + 4)(2х + 3) = (1 - 2х); 2х 2 + 8х + Зх + 12 = 1 - 2х; 2х 2 + 13х + 11 = 0; х = -1, х 2 = -5,5.

Второй этап . В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.

Третий этап . Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе ре­шения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств

Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а зна­чение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.

Ответ: -1.

О потере корней Укажем две причины потери корней при решении уравнений:  1. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h (х) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h (х) ≠ 0); 2. Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения. С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от уравнения f (х ) h (х) = g {х ) h {х) к уравнению h ( x )( f ( x ) – g ( x ))=0  ( а не к уравнению f ( x )= g ( x ) ). Может быть, даже есть смысл вообще запретить себе деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее переменную.

О потере корней

Укажем две причины потери корней при решении уравнений:

1. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h (х) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h (х) ≠ 0);

2. Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.

С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от уравнения f ) h (х) = g ) h {х) к уравнению h ( x )( f ( x ) – g ( x ))=0 ( а не к уравнению f ( x )= g ( x ) ). Может быть, даже есть смысл вообще запретить себе деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее переменную.

Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например, уравнение lg х 2  = 4 и решим его двумя способами. Первый способ . Воспользовавшись определением логарифма, находим:  х 2  = 10 4 ;   х ₁ = 100,  х 2 = -100. Второй способ . Имеем:  2 lg  х = 4; lg x = 2;   х = 100. Обратите внимание: при втором способе произошла потеря кор­ня — «потерялся» корень х = -100. Причина в том, что вместо правильной формулы lg х 2 = 2 lg l х l  мы воспользовались непра вильной формулой  lg х 2 = 2 lg х, сужающей область определения выражения, из нее «выпал» открытый луч (-∞; 0), где как раз и находится «потерявшийся» при втором способе решения корень уравнения. Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу (особенно тригонометрическую), следите за тем, чтобы области допустимых значений переменной для правой и левой частей  формулы были одинаковыми.

Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например, уравнение lg х 2 = 4 и решим его двумя способами.

Первый способ . Воспользовавшись определением логарифма, находим:

х 2 = 10 4 ; х = 100, х 2 = -100.

Второй способ . Имеем: 2 lg х = 4; lg x = 2; х = 100.

Обратите внимание: при втором способе произошла потеря кор­ня — «потерялся» корень х = -100. Причина в том, что вместо правильной формулы lg х 2 = 2 lg l х l мы воспользовались непра вильной формулой

lg х 2 = 2 lg х, сужающей область определения выражения, из нее «выпал» открытый луч (-∞; 0), где как раз и находится «потерявшийся» при втором способе решения корень уравнения.

Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу (особенно тригонометрическую), следите за тем, чтобы области допустимых значений переменной для правой и левой частей

формулы были одинаковыми.

§ 26; № 12(а, б) – 15(а, б).

§ 26; № 12(а, б) – 15(а, б).

Урок по алгебре и началам анализа:  «Равносильность уравнений».   11 класс (профильный уровень)

Урок по алгебре и началам анализа: «Равносильность уравнений». 11 класс (профильный уровень)


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Равносильность уравнений

Автор: Ерошенко Юлия Викторовна

Дата: 09.09.2020

Номер свидетельства: 557252

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(91) "Материал к изучению темы "Равносильные уравнения""
    ["seo_title"] => string(55) "matierial_k_izuchieniiu_tiemy_ravnosil_nyie_uravnieniia"
    ["file_id"] => string(6) "342599"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1473195533"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(91) "Материал к изучению темы "Равносильные уравнения""
    ["seo_title"] => string(57) "matierial_k_izuchieniiu_tiemy_ravnosil_nyie_uravnieniia_1"
    ["file_id"] => string(6) "342600"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1473195540"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(119) "Краткосрочный план урока "Линейное уравнение с одной переменной""
    ["seo_title"] => string(63) "kratkosrochnyi_plan_uroka_lineinoe_uravnenie_s_odnoi_peremennoi"
    ["file_id"] => string(6) "504377"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1553430707"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(125) "Дифференцированные задания "Линейные уравнения с одной переменной" "
    ["seo_title"] => string(76) "diffierientsirovannyie-zadaniia-linieinyie-uravnieniia-s-odnoi-pieriemiennoi"
    ["file_id"] => string(6) "246343"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1446359918"
  }
}
object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(58) "Общие методы решения уравнений "
    ["seo_title"] => string(40) "obshchiie-mietody-rieshieniia-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "108027"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1403537713"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства