Производная. Применение производной для исследования функций. Подготовка к ЕГЭ.

Напряжение, тревога, дискомфорт

Спокойствие, уверенность, комфорт

Неуверенность, что-то смущает

Зелёный

Символ юности и гармонии природы, её воскресения и обновления, оказывающему влияние на центр душевной энергии человека

ПЛАН

• Проверка домашнего задания Устная работа Изучение нового материала (исследовательская работа) Обсуждение результатов (защита исследований) Закрепление Итог урока Домашнее задание
• Проверка домашнего задания
• Устная работа
• Изучение нового материала (исследовательская работа)
• Обсуждение результатов (защита исследований)
• Закрепление
• Итог урока
• Домашнее задание

10 класс

Тема: Производная. Применение производной

для исследования функций

на монотонность и экстремумы

Цель: сформировать начальное представление о приложениях

производной в математике и в жизни;

«открыть» зависимость между свойствами монотонности

функции, экстремумами и знаками производной;

рассмотреть применение производной для решения

задач В8, В14 из материалов ЕГЭ.

Проверка домашнего задания № 777

• 2
• - 2
• - 2
• 3√2

№ 823

• y = 6x – 9
• y = - x + 5
• y = 3x – 2
• y = - 5x - 1

Укажите количество промежутков монотонности функции

10

На графике найдите промежутки убывания и в ответе укажите сумму длин этих промежутков

12

На графике найдите промежутки возрастания и в ответе укажите сумму длин этих промежутков

11

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=3 t 2 +2t+27, x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в сек, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2c.

14

10 11 12 14

КРИВАЯ РАБОТОСПОСОБНОСТИ

ТРЕНАЖЁР

по теме

«ПРОИЗВОДНАЯ»

Задание В8

Справимся легко!!!

Назовите количество промежутков - убывания функции - возрастания функции

На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная

к нему в точке с абсциссой х 0 .

Найдите значение производной в точке х 0 .

На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной в точке х 0

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке (-8; 6)

Легко ли???

(Задание В8 ЕГЭ ) По графику функции y = f ´( x ) ответьте на вопросы:

• Сколько точек максимума имеет эта функция?
• Назовите точки минимума функции.
• Сколько промежутков возрастания у этой функции?
• Найдите длину большего промежутка убывания этой функции.

В любой точке х из области определения возрастающей дифференцируемой функции:

f ’ (x) ≥ 0

В любой точке х из области определения убывающей дифференцируемой функции:

f ’ (x) ≤ 0

«Мир – рвался в опытах Кюри Атомной, лопнувшею бомбой На электронные струи Невоплощённой гекатобомбой ...»

Андрей Белый

(Борис Николаевич Бугаев)

« Начинать исследования можно по-разному ... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины , как страны, наиболее удобный путь, к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь ... На пути к истине мы почти всегда обречены, совершать ошибки »

Дени Дидро

Проблема???

1 группа

Функция

Производная

y=x 4 -2x 2 -3

Найти промежутки монотонности

(убывания и возрастания)

2 группа

Функция

y= x 3 +3x 2 -1

Производная

Найти точки экстремума

(точки минимума и максимума)

3 группа

Функция

y= x 3 – 9x

Производная

Найти промежутки монотонности и

точки экстремума

Это внемеридианная межбровная точка, является точкой "скорой помощи" при бессознательных состояниях. Используется также при интоксикациях, головных болях, лицевых невралгиях, неврозах.

1 группа Гипотеза

(подтверждение гипотезы)

Теорема 2.

Если во всех точках открытого промежутка Х

выполняется неравенство

f ’ (x) ≤ 0

(причем равенство f’(x) = 0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке),

то функция y=f(x)

убывает

на промежутке X .

Теорема 1.

Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство

f ’ (x) ≥ 0

(причем равенство f’(x) = 0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y=f(x)

возрастает

на промежутке X .

На рисунке изображен график производной функции ,

заданной на промежутке [-5;5] . Исследуйте функцию на

монотонность и укажите число промежутков убывания .

y

y = f / (x)

+ +

0

- - -

1 2 3 4 5 х

-4 -3 -2 - 1

3

На рисунке изображен график производной функции . Найдите промежуток возрастания и укажите длину промежутка возрастания этой функции.

7

6

5

4

3

21

y

y = f / (x)

х

3

О

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

4

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

5

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

3

2 группа Гипотеза

0 , то х=х 0 – точка минимума функции; б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х 0 , а при х х 0 – неравенство f’ (x)в ) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки х 0 знаки производной одинаковы, то в точке х 0 экстремума нет." width="640"

Теорема: Пусть функция непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную точку х=х 0 . Тогда:

а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х х 0 – неравенство f’ (x)0 , то х=х 0 – точка минимума функции;

б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х 0 , а при х х 0 – неравенство

f’ (x)

в ) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки х 0 знаки производной одинаковы, то в точке х 0 экстремума нет.

На рисунке изображен график производной функции у = f / (x) .

Исследуйте функцию у = f (x) на экстремумы и

укажите к оличество ее точек экстремума

y

4

3

2

1

y = f / (x)

x

О

-7 -6-5-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7

-1

-2

-3

-4

-5

2

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6]. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) .

2

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x)

2

3 группа Гипотеза

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1. Найти производную f ‘ (x)

2 . Найти стационарные точки (f ‘ (x) = 0)

3. Отметить эти точки на числовой прямой и

определить знаки производной на

получившихся промежутках.

4. Сделать выводы о монотонности функции

и о её точках экстремума .

Были пробелы,

но я их решил

самостоятельно

Отлично

изучил тему

Были пробелы,

но я их решил

с помощью группы

Проблемы

не решены

Морис Клайн

« Музыка может возвышать или умиротворять душу,

живопись – радовать глаз,

поэзия – пробуждать чувства,

философия – удовлетворять потребности разума,

инженерное дело – материальную сторону жизни,

а математика способна достичь всех этих целей! »

Домашнее задание

1. Применение производной в любой области

2. На сайте школы http://smotrowabudasoh.ucoz.ru ВЫПУСКНИКАМ – РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ЗАДАНИЕ В8 (ФГОС)

3. http://mathege.ru открытый банк заданий по математике

4. Стр 182 п. 35 № 867, № 883

5. Задания по выбору на оценку 3, 4, 5