Презентация. В мире чисел.

В мире чисел

Чётные и нечётные числа

• Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию «инь», а нечётные — «ян».

Четные делятся на 2 без остатка, а нечетные делятся на 2 с остатком.

Например, числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, ..- четные числа А числа 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..- нечетные числа

• Признаки чётности.

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом, то всё число также является чётным, в противном случае – нечётным.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ.

• Число делится на 4 тогда, когда последние четыре цифры числа делятся на 4.

Число делится на 6 тогда, когда оно оканчивается на чётную цифру и делится на 3 .

Число делится на 8 тогда, когда делится на 8 число, записываемое тремя последними его цифрами.

Число делится на 5 тогда, когда число оканчивается на 5 или 0 .

Число делится на 3 тогда, когда его сумма чисел делится на 3 .

Число делится на 10 когда оно оканчивается на 0.

Число делится на 2 когда оно чётное.

Число делится на 9 когда сумма цифр в числе делится на 9 .

Простые числа. Числа близнецы.

• Простое число  — натуральное число, которое делится на

единицу и на самого себя.

Пример: 43, 17, 13, 31 и т.д.

• Числа близнецы – это простые числа, разность которых равна 2.

К примеру: 3, 5; 11, 13 и т.д.

Любопытно, что в натуральном ряду имеется даже «тройня» – это числа 3, 5, 7.

По мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше, хотя исследования, проводимые «в глубоком числовом космосе», продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары.

Составные и сверхсоставные числа.

Сверхсоставным числом будем называть натуральное число, которое имеет больше делителей, чем каждый из больших его натуральных чисел. Какое сверхсоставное число будет наименьшим? Число 1 имеет ровно один делитель. Числа 2 и 3 имеют ровно по два делителя, так как они простые. Число 4 имеет три делителя. Число 6 имеет четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Казалось бы, что следующим должно идти число с пятью делителями. Наименьшее такое число 16, его делители 1, 2, 4, 8 и 16. Но его определило число 12, у которого шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Поэтому число 16 не стало сверхсоставным, а им стало число 12. Следующее число, являющееся сверхсоставным будет число 30 с восемью делителями. Потом, 36, 40, 54, 56 все с восемью делителями, 48 с десятью делителями, число 60 имеет двенадцать делителей и только число 64 имеет ровно семь делителей, а значит числа 36, 40, 48, 54, 56 и 60 являются сверхсоставными числами.

Составные числа - это те, которые имеют более двух делителей.

Например: 12, 6, 4 и т.д.

Совершенные числа.

Совершенным числом называют натуральное число, которое равно сумме делителей этого числа, меньших самого числа. Пифагор (6 в до н.э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом.

Например: 6 = 1 + 2 +3, где числа 1, 2 и 3 являются делителями числа 6. 28 = 1+ 2 + 4+7 +14, где числа 1, 2, 4, 7 и 14 делители числа 28. 496 = 1+ 2 +4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, где числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 являются делителями числа 496.

Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвертое совершенное число - 8128 стало известно в 1 веке нашей эры. Пятое- 33550336 было найдено в 15 веке нашей эры. К 1983 году было известно уже 27 совершенных чисел и все найденные совершенные числа являются четными числами. Но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА.

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284 ( Делители для 220 это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284. Делители для 284 это 1, 2, 4, 71 и 142, сумма которых равна 220 ) . Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра (826—901). Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел. Много столетий спустя Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них — 17296 и 18416. Но общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.

Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На октябрь 2015 года известно 12 648 597 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одной чётности. Существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно.

Фигурные числа. Треугольные и квадратные числа.

• Треугольное число – это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника.

Какой же вид имеют треугольные числа? Заметим, что 1 = 1; 3 = 1 + 2; 6 = 1 + 2 + 3; 10 = 1 + 2 + 3 + 4; 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 . . . Эта закономерность сохраняется и дальше.

Графическое правило получения треугольного числа:

Каждое следующее число получается из предыдущего путем сложения:

1+2=3

3+3=6

6+4=10

10+5=15

15+6=21

21+7=28

28+8=36

• Фигурные числа  — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Со времён пифагорейцев традиционно различают следующие виды фигурных чисел:

Линейные числа ; плоские числа ; телесные числа ; многоугольные числа.

Квадратные числа - представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …

Пифагоровы числа.

• ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА - тройки целых положительных чисел х, у, z, удовлетворяющих уравнению x²+у²=z².
• П. ч. могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника.

• Некоторые пифагоровы тройки:

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Положительные и отрицательные числа.

Положительные числа – это числа, которые больше нуля, а отрицательные числа – это числа, меньшие нуля.

Число нуль, соответствующее началу отсчета, не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Положительные числа можно интерпретировать как приход, как прибавку, как увеличение какой-либо величины и тому подобное. Отрицательные числа, в свою очередь, означают строго противоположное – расход, недостаток, долг, уменьшение какой-либо величины и т.п.

Спасибо за внимание!!!