Презентация по теме "Подобные треугольники"

Геометрия

глава 7

Подобные треугольники.

Подготовила Кириллова Дарья, ученица 9 класса

Учитель Денисова Т.А.

Оглавление

1.Определение подобных треугольников

а)пропорциональные отрезки

б)определение подобных треугольников

в)Отношение площадей

2.Признаки подобия треугольников

а)Первый признак подобия

б)Второй признак подобия

в)Третий признак подобия

3.Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

а)Средняя линия треугольника

б)Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

в)Практические приложения подобия треугольников

4.Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

а)Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

б)Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0 , 45 0 и 60 0

Подобные треугольники

Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин, т.е. АВ:CD

А

В

С

D

АВ = 8 см

СD = 11,5 см

Отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и С 1 D 1 , если:

А

В

АВ= 4 см

CD= 8 см

С 1 D 1 = 6 см

А 1 В 1 =3 см

D

С

В 1

A 1

A 1

В 1

В 1

A 1

В 1

A 1

D 1

С 1

Подобные фигуры- это фигуры одинаковой формы

Если в треугольниках все углы соответственно равны, то стороны, лежащие напротив равных углов, называются сходственными

B

B 1

A 1

C 1

A

C

Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 углы соответственно равны

То АВ и А 1 В 1 ,ВС и В 1 С 1 ,СА и С 1 А 1 -сходственные

Два треугольника называются подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника

B

B 1

A 1

C 1

A

C

K- коэффициент подобия

Задача

назад

Стороны одного треугольника равны 15 см, 20 см, и 30 см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если периметр равен 26 см

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

B

B 1

Доказательство:

C 1

A 1

A

C

,коэффициент подобия равен К

Пусть

S и S 1 - площади треугольников, то

По формуле имеем

и

Поэтому

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны

Доказать:

Дано:

В

В 1

С 1

С

А 1

А

Доказательство

В

В 1

С

С 1

А 1

А

1)По теореме о сумме углов треугольника

2)Докажем, что стороны треугольников пропорциональны

,то

Аналогично и с углами

Итак, стороны

пропорциональны сходственным сторонам

Задача

Докажите, что два равносторонних треугольника подобны

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Дано:

Доказать:

В

В 1

С

С 1

А 1

А

Доказательство

С

В 1

В

А

2

С 1

1

С 2

А 1

Задача

На одной из сторон угла А отложены отрезки АВ=5 см и АС=16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD=8 cм и AF=10 см. Подобны ли треугольники ACD и AFB

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны

Дано:

Доказать:

В

В 1

С 1

С

А 1

А

Доказательство

С

В 1

В

А

С 1

2

1

С 2

А 1

Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

Средней линией называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон

Теорема:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

Дано:

Доказать:

Доказательство

В

1

M

N

2

С

А

Задача

Точки P и Q-середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника APQ равен 21 см

Теорема:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Доказать:

Дано:

C

B 1

A 1

O

B

A

C 1

Доказательство

C

A 1

B 1

2

4

O

B

A

1

3

C 1

Задача

В треугольнике АВС медианы АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S

Теорема:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику

Доказать:

Дано:

Доказательство

C

A

B

D

Теорема:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой

Доказать:

Дано:

C

A

B

H

Доказательство

C

A

B

H

Практические приложения подобия треугольников

Определение высоты предмета:

Определить высоту телеграфного столба

A 1

Из подобия треугольников следует:

, откуда

A

C 1

B

Задача

Для определения высоты дерева можно использовать зеркало. Луч света, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в точку В. Определить высоту дерева, если АС=165 см, ВС=12 см, АD=120 см, DE=4,8 м,

Практические приложения подобия треугольников

Определение расстояния до недопустимой точки:

B

B 1

C 1

A 1

A

C

Задача

Для определения расстояния от точки А до недопустимой точки В на местности выбрали точку С и измерили отрезок АС, углы ВАС и АСВ. Затем построили на бумаге треугольник А1В1С1, подобный треугольнику АВС. Найдите АВ, если АС=42 м, А1С1=6,3 см,А1В1=7,2 см

Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

В

Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

А

С

Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

Тангенс- отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0 , 45 0 , 60 0

В

60 0

30 0

А

С

Задача

Дано:

Решение:

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0 , 45 0 , 60 0

В

45 0

45 0

А

С

Задача

Дано:

С

В

А

D

H

Решение:

Конец