Презентация на тему "Многогранные углы"

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a , не принадлежащими одной плоскости.

Прямая a – ребро двугранного угла

a

В обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Такими предметами являются двускатные крыши зданий, полураскрытая книга, стена комнаты совместно с полом и т.д.

Две полуплоскости – грани двугранного угла

Алгоритм построения линейного угла.

Угол РОК – линейный угол двугранного угла Р DE К.

D

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

O

Р

К

E

Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым

Трехгранные и многогранные углы

Цели:

- ввести определение трехгранного и многогранного углов;

-познакомиться с различными видами многогранных углов;

-изучить свойства многогранных углов и научиться их применять при решении задач.

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

П оверхность, образованн ую конечным набором плоских углов A 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n , A n SA 1 с общей вершиной S , в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины , будем называть многогранной поверхностью .

Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом . Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA 1 , …, SA n называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n , A n SA 1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA 1 … A n , указывающими вершину и точки на его ребрах .

2

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

2

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ

Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

2

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ

С войство . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360  .    

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

2

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Многогранный угол называется выпуклым , если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов.

Свойство . Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Вертикальные многогранные углы

На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов

Теорема. Вертикальные углы равны.

Измерение многогранных углов

Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180 о , то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360 о . Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360 о :8 = 45 о . Трехгранный угол в правильной n -угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен , получаем, что трехгранный угол призмы равен  .

Упражнение 1

Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: а) Нет;

б ) н ет;

в) да.

Упражнение 2

Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр;

б ) октаэдр;

в) икосаэдр.

Упражнение 3

Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 10 о

1. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами А и С2

Рассмотрим прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора

Ответ:3

2. Найдите квадрат расстояния между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

3. Найдите угол CAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы мно­гогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник CAD2 где AC = CD2 = AD2, т. к. являются диагоналями равных квадратов.Следовательно, треугольник CAD2 — рав­носторонний, поэтому все его углы равны 60°.

4. Найдите угол ABD многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Заметим, что ABCD — квадрат со стороной 2, а BD — его диагональ.Значит, треугольник ABD — прямоугольный и равнобедренный, AB=AD. Угол ABD равен 45°.

5. На рисунке изображён многогранник, все двугран­ные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами В2 и Д3 .

Ответ:11

6. На рисунке изображён многогранник, все дву­гранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами А и С3 .

Ответ:17

7. Найдите угол EAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Ответ:60

Упражнение 5

В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 6 0 о .

Упражнение 6

Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA , OB , OC . Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 9 0 о .

Упражнение 7

Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: см.

25

Упражнение 8

Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его граней.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, делящих двугранные углы пополам.

25

Упражнение 9

Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его ребер.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.

25

Упражнение 10

Найдите приближенные значения трехгранных углов тетраэдра.

Для двугранных углов тетраэдра имеем:

, откуда 70 о 30'.

Для трехгранных углов тетраэдра имеем:

15 о 45' .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 15 о 45' .

28

Упражнение 11

Найдите приближенные значения четырехгранных углов октаэдра.

Для двугранных углов октаэдра имеем:

, откуда 109 о 30'.

Для четырехгранных углов октаэдра имеем:

38 о 56 ' .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 38 о 56 ' .

29

Упражнение 12

Найдите приближенные значения пятигранных углов икосаэдра.

Для двугранных углов икосаэдра имеем:

, откуда 138 о 11 '.

Для пятигранных углов икосаэдра имеем:

75 о 28 ' .

Ответ: 75 о 28 ' .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

30

Упражнение 13

Найдите приближенные значения трехгранных углов додекаэдра.

Для двугранных углов додекаэдра имеем:

, откуда 116 о 3 4 '.

Для трехгранных углов додекаэдра имеем:

84 о 51 ' .

Ответ: 84 о 51 ' .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

31

Упражнение 14

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдите четырех гранный угол при вершине этой пирамиды .

Решение: Указанные пирамиды разбивают куб на шесть равных пирамид с вершинами в центре куба. Следовательно, 4-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну шестую часть угла в 360 о , т.е. равен 60 о .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 60 о .

Упражнение 15

В правильной тре угольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы при вершине 90 о . Найдите трех гранный угол при вершине этой пирамиды .

Решение: Указанные пирамиды разбивают октаэдр на восемь равных пирамид с вершинами в центре O октаэдра. Следовательно, 3-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну восьмую часть угла в 360 о , т.е. равен 45 о .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 45 о .

Упражнение 16

В правильной тре угольной пирамиде боковые ребра равны 1, а высота Найдите трех гранный угол при вершине этой пирамиды .

Решение: Указанные пирамиды разбивают правильный тетраэдр на четыре равные пирамиды с вершинами в центре O тетраэдра. Следовательно, 3-гранный угол при вершине пирамиды составляет одну четвертую часть угла в 360 о , т.е. равен 90 о .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 90 о .