Презентация для урока "Неравенства"

Свойство 4.

• Если a b и c d , то a + c b + d.

Доказательство.

• I способ.  

1. а b и с d - по условию, значит, а - b и с - d — положительные числа .

2. Тогда и их сумма, т. е. (а - b) + (с - d) — положительное число .

3. Так как (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d) , то и (а + с) - (b + d) — положительное число . Поэтому a + c b + d , что и требовалось доказать.

• II способ.  

1.Так как а Ь , то а + с b + с – по свойству 2 .

2. Аналогично, так как с d , то с + b d + b . 

3.Итак, а + с b + с, b + с b + d . Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а + с b + d , что и требовалось доказать.

b , c d , то ac bd . То есть, при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получится неравенство того же смысла. Доказательство. 1.Так как a b и c 0 , то ac bc – по свойству 3. 2.Так как с d и b 0 , то cb db – по свойству 3. 3. Итак, ac bc , bc bd . Тогда ac bd - по свойству транзитивности , что и требовалось доказать." width="640"

Свойство 5.

Если a, b, c, d – положительные числа и a b , c d , то ac bd .

То есть, при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получится неравенство того же смысла.

Доказательство.

1.Так как a b и c 0 , то ac bc – по свойству 3.

2.Так как с d и b 0 , то cb db – по свойству 3.

3. Итак, ac bc , bc bd . Тогда ac bd - по свойству транзитивности , что и требовалось доказать.

b , то а n   Ь n , где n — любое  натуральное число . То есть, если обе части неравенства — неотрицательные числа , то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства. Дополнение: Если n — нечетное число , то для любых чисел а и b из неравенства а b следует неравенство того же смысла а n   b n ." width="640"

Свойство 6.

• Если а и b — неотрицательные числа и а b , то а n   Ь n , где n — любое  натуральное число .

То есть, если обе части неравенства — неотрицательные числа , то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

• Дополнение:

Если n — нечетное число , то для любых чисел а и b из неравенства а b следует неравенство того же смысла а n   b n .

b . Доказать, что Решение. Рассмотрим разность Имеем: По условию, а, b, а - b — положительные числа . Значит , - отрицательное число, т.е. откуда следует, что" width="640"

Пример 1.

• Пусть a и b - положительные числа и a b .

Доказать, что

• Решение.

Рассмотрим разность

Имеем:

По условию, а, b, а - b — положительные числа . Значит ,

- отрицательное число, т.е.

откуда следует, что

Пример 2.

• Пусть а — положительное число .

Доказать, что

• Решение.

Получили неотрицательное число, значит,

  Заметим, что

Пример 3.

• Пусть а и b неотрицательные числа .  Доказать, что
• Решение.

Составим разность левой и правой частей неравенства. Имеем

В этом случае, число   

называют средним арифметическим  чисел  а и b ;

Число   называют средним геометрическим чисел а и b .

Таким образом , среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Доказанное неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX века Огюста Коши.

Замечание . Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b (рис. 116). В геометрии доказано, что

(так что не случайно для этого выражения ввели термин «среднее геометрическое»). А что  такое ?

Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз и равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что медиана,  проведенная к гипотенузе, т. е.  , ,

не меньше высоты, проведенной к гипотенузе (т.е.  ),

— очевидный геометрический факт (см. рис. 116).

Огюсте́н Луи́ Коши́

Использованные ресурсы

• Учебник «Алгебра» А.Г. Мордкович 8 класс
• http://ru.wikipedia.org/wiki
• Яндекс картинки