kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Презентация по геометрии "Фалес и подобие треугольников"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Введение.         Ученик должен обладать хорошей геометрической базой, которая должна помочь ему в дальнейшей жизни и в выборе профессии. Геометрию невозможно понимать без знания её исторического развития, и вклада выдающихся ученых-геометров в создании геометрии как науки. Ведь известные геометрические теоремы, утверждения  и свойства фигур возникли из практических потребностей человека. История геометрии носит эволюционный характер, поэтому начинающему 8-ми класснику очень важно знать причину возникновения известных теорем и способы их доказательства, т.к. практическое применение связано с теоретическими знаниями, мы связали эти два основных блока в теории и в практике.   Учитывая, что данная тема имеет свое место в математике и важна  в практической  жизни, определена цель работы: рассмотреть историческую роль Фалеса в геометрии и применить подобие треугольников в практической жизни людей.

           Для достижения цели определены задачи: Познакомиться с биографией Фалеса и значением его теорем.

  1. Рассмотреть применения подобия на практике и практических задачах.
  2. Изготовить «булавочный прибор».
  3. Создать рекламный буклет.
  4. Провести опрос по теме: «Значение Фалеса в мировой истории»
  5. Развивать познавательный интерес  методами геометрии.

Таким образом мы позволяем учащимся расширить интеллектуальный кругозор в области геометрии с помощью изучения биографии выдающегося ученого Фалеса Милетского. Проект позволяет сделать сравнительную характеристику теорем доказанных в древности и в современной геометрии, изучить различные способы доказательств различных теорем. С помощью проекта ученики могут применить теоретические знания в практических задачах: Нахождение высоты памятника Определение ширины реки

    В начале нашего исследования мы пользовались учебником по геометриие 7-9 классов (Атанасян Л.С.).

  1. Интернет ресурсами 
  2. Материал и методика исследования

           Данное исследование,  как системная работа,  было начато в январе 2012

года Меньщиковым Евгением ,Патраковым Виталием и Томшиным Артемом                                 учащимися 8 «А» класса МБОУ СОШ №4 городского округа Стрежевой под руководством учителя математики Абдуллиной Ларисой Ивановной. Побудительным мотивом для начала исследования послужил недостаточный материал по данной теме в учебнике геометрии школьного курса, а так же широкое применение темы «Подобие треугольников» в практической жизни человека.

Архивный метод.

Во время  работы над исследованием было изучено  большое количество литературы по интересующей нас теме. Мы рассмотрели более десяти научных источников по большей части в области геометрических теорем, справочной литературы, а также интернет ресурсов, для этого мы прибегли к архивному методу (анализу документов, литературных источников), мы учитывали мнение ученого Фалеса Милетского, который, как оказалось, оказал большой вклад в изучении нашей темы. Более подробно литературный обзор приведен в одноименном разделе.

Опрос.

Метод опроса является одним из самых объективных и результативных методов сбора информации. Мы осуществляли опрос в виде,созданного нами опросника, с помощью теста, в котором были указаны несколько вариантов ответов, один из которых правильный. Опрос был направлен  на получение необходимой информации, связанной с тематикой данной работы. Опрос мы проводили среди несколких возрастных групп: ученики, родители и учителя.

Цель опроса была следующей: узнать интеллектуальный уровень различных возрастных групп населения, в вопросах геометрии и применение ее на практике.  Некоторые участники опроса, при ответах на  вопросы пользовались интернет ресурсами. Нами было опрошено 50 человек, результаты опроса приведены в диаграммах.                       

     Прикладной метод

В проекте использован метод практических исследований, который позволяет использовать теоретические знания на практике. Изучив способы измерения высоты предмета с помощью различных простейших приборов, а именно с помощью шеста, тени, записной книжки, зеркала и булавочного прибора, мы в своем проекте выбрали булавочный прибор. Его изготовил Томшин Артем на уроках труда. Прибор мы использовали для измерения высоты памятника «Веник».Для нахождения ширины реки так же были изучены различные способы, но мы остановились на самом простейшем и удобном способе, который позволяет определять ширину реки в любых условиях.Достаточно иметь измерительную рулетку для определения расстояния. Прикладной метод полезен еще тем, что показывает геометрию, как прикладную науку, которую использует человек в своей жизнедеятельности.

4. «Теоретический и дидактический материал»

4.1.     Использование  основных теорем геометрии невозможно было без изучения биографии древнего и к сожалению не очень известного в современной геометрии ученого Фалеса Милетского. При изучении его биографии мы убедились в его исторической значимости .Фалес Милетский своими трудами , ученостью и мудростью создал себе славу: «Один из семи мудрецов древности» При изучении его биографии мы увидели своего рода

« историческую несправедливость», настолько известный ученый древности оказался незамеченным в современной истории, даже годы его проживания не известны окончательно. Мы изучили легенды о Фалесе и его теоремы.  Кто же такой этот Фалес Милетский? Человек, который обрел славу одного из «семи мудрецов» древности. Фалес Милетский – древнегреческий философ, который отличился успехами в области астрономии, а также математики и физики. Годы его жизни были установлены только приблизительно: 625-645 гг до н.э.  Одна из легенд о Фалесе состоит о нахождении высоты египетской пирмиды. Чтобы удивить фараона и остаться у него в фаворитах, Фалесу нужно было измерить высоту этой пирамиды. Фалес Милетский: использовал теорему подобия треугольников. Фалес подождал, пока длина его тени и его рост совпадут, а затем с помощью теоремы о подобии треугольников нашел длину тени пирамиды, которая, соответственно, была равна тени, отбрасываемой пирамидой.Фалес был не только ученым геометром, но так же астрономом и философом. Среди доказательств знания Фалесом астрономии можно привести следующий пример. 28 мая 585 г до н.э. предсказание Милетским солнечного затмения помогло прекратить длившуюся уже 6 лет войну между Лидией и Мидией. Это явление настолько испугало мидян, что они согласились на невыгодные для себя условия заключения мира с лидийцами.Фалес научился определять расстояние от берега до корабля, для чего использовал подобие треугольников. В основе этого способа лежит теорема, названная впоследствии теоремой Фалеса. Далеко от берега стоял на якоре корабль. Фалес сумел измерить расстояние от берега до корабля. В точности, как  он это сделал, мы не знаем: его труды до нас не дошли.Значение Фалеса в истории геометрии настолько значимо, что его сравнивают с русским ученым М.В. Ломоносов. На гробнице Фалеса напечатаны следующие слова: Эта гробница мала, но слава над ней необъятна. В ней перед тобою сокрыт многоразумный Фалес.

Вторым этапом нашей работы применение подобия треугольников практическим задачам. Мы выбрали 2 основные задачи: определение высоты памятника «Веник» в городе Стрежевом и нахождение ширины реки в районе парковой зоны. Для осуществления первой задачи нами был изготовлен булавочный прибор с помощью которого мы определили высоту памятника.

При решении второй задачи определения ширины реки в помощью травинки мы использовали так же подобие треугольников. Описание способа: Сорвать травинку. Выбрать на противоположном берегу два куста.

Встать к ним лицом. Руки с травинкой вытянуть вперед и с ее помощью ее отмерить расстояние между кустами.

Глядеть на них одним глазом, сложить травинку вдвое и отходя от берега реки измерить расстояние до того момента когда травинка не закроет расстояние между кустами. Расстояние у нас получилось 12,5 м.

риложение

Для выявления актуальности темы мы создали опросник, и результаты опроса оформили в виде диаграмм.

Результат нашего проекта - создание рекламного буклета для значимости и актуальности темы «Фалес и подобие треугольников». 

Выводы

Мы изучили литературные и интернет источники по теме: «Значимость Фалеса в истории геометрии, а так же применение подобия к задачам на практике» и пришли к  следующим выводам:

Тема подобия одна из широкоприменяемых тем в жизни человека. В современном учебнике геометрии она полностью не раскрыта. Открытия  древнего ученого  Фалеса Милетского практически не упоминаются в учебнике. Основная его теорема о разбиении отрезка на равные части в учебнике геометрии используется как задача, а не теорема. В учебнике геометрии ничего не сказано о других важнейших теоремах, доказанных Фалесом, но способы измерения высоты предметов очень широко используется в жизни. Мы считаем, что изучение достижений Фалеса позволит ученикам глубже вникнуть в тему и понять ее значимость. Практические задачи которые рассматриваются в проекте не используются на уроках геометрии. Ученикам не известен способ измерения с помощью булавочного прибора и способ измерения с помощью травинки. Хотя данные способы можно применить в походных условиях. Результаты нашего опроса показали  насколько низкий уровень интеллектуального развития населения  в вопросах геометрии. В основном только 10% опрошенных людей ответили верно на заданные вопросы. Для этого мы создали рекламный буклет с целью повышения исторических и теоретических знаний по геометрии среди учащихся. Анализируя резльтаты опроса, можно сделать вывод, что данную тему нужно изучать  и говорить о ней. Мы рекомендуем наш проект использовать на  уроках геометрии и ОБЖ.

 

 

 

 

 

 

Просмотр содержимого документа
«Презентация по геометрии "Фалес и подобие треугольников" »

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа №4 го. Стрежевой  Проект по геометрии  8а класс Работу выполнили: Руководитель проекта:  Лариса Ивановна Абдуллина.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа №4 го. Стрежевой Проект по геометрии 8а класс

Работу выполнили:

Руководитель проекта:

Лариса Ивановна Абдуллина.

Тема проекта: Фалес и применение подобия треугольников Геометрия – это не просто наука о свойствах геометрических фигур. Геометрия – это целый мир, который окружает нас с самого рождения.

Тема проекта: Фалес и применение подобия треугольников

Геометрия – это не просто наука о свойствах

геометрических фигур.

Геометрия – это целый мир, который окружает

нас с самого рождения.

Цель проекта:  Показать значение теорем ФАЛЕСА в развитии науки и культуры многих стран и народов мира, а так же рассмотреть практическое применение подобия треугольников в жизнедеятельности человека .

Цель проекта:

Показать значение теорем ФАЛЕСА в развитии науки и культуры многих стран и народов мира, а так же рассмотреть практическое применение подобия треугольников в жизнедеятельности человека .

Задачи проекта

Задачи проекта

  • Познакомиться с биографией Фалеса и значением его теорем.
  • Рассмотреть применения подобия на практике и практических задачах.
  • Изготовить «булавочного прибора».
  • Создать рекламного буклета.
  • Провести опрос по теме «Значение Фалеса в мировой истории»
  • Развивать познавательный интерес методами геометрии.
Проблемные вопросы проекта

Проблемные вопросы проекта

  • Значение теорем Фалеса в современной истории математики.
  • Подобие треугольников в природе и жизни человека.
  • Изучение интеллектуального уровня людей в вопросах геометрии .
Фалес Милетский   Дата рождения:640/624 до н. э. Дата смерти:548/545 до н. э. Место смерти:Милет Школа/традиция: Милетская школа Направление: Западная Философия Период: Древнегреческая философия Основные интересы: философия, математика

Фалес Милетский

Дата рождения:640/624 до н. э.

Дата смерти:548/545 до н. э.

Место смерти:Милет

Школа/традиция: Милетская школа

Направление: Западная Философия

Период: Древнегреческая философия

Основные интересы: философия, математика

Биография Фалеса  Кто же такой этот Фалес Милетский? Человек, который обрел славу одного из «семи мудрецов» древности. Фалес Милетский – древнегреческий философ, который отличился успехами в области астрономии, а также математики и физики. Годы его жизни были установлены только приблизительно: 625-645 гг до н.э.

Биография Фалеса

Кто же такой этот Фалес Милетский? Человек, который обрел славу одного из «семи мудрецов» древности. Фалес Милетский – древнегреческий философ, который отличился успехами в области астрономии, а также математики и физики. Годы его жизни были установлены только приблизительно: 625-645 гг до н.э.

Нахождение высоты египетской пирамиды Представьте себе такую картину. 600г. до н.э. Египет. Перед вами огромнейшая египетская пирамида. Чтобы удивить фараона и остаться у него в фаворитах, вам нужно измерить высоту этой пирамиды. В  распоряжении у вас… ничего. Можно пасть в отчаяние, а можно поступить, как  Фалес Милетский : использовать теорему подобия треугольников. Да, оказывается, все достаточно просто. Фалес Милетский подождал, пока длина его тени и его рост совпадут, а затем с помощью теоремы о подобии треугольников нашел длину тени пирамиды, которая, соответственно, была равна тени, отбрасываемой пирамидой.  

Нахождение высоты египетской пирамиды

Представьте себе такую картину. 600г. до н.э. Египет. Перед вами огромнейшая египетская пирамида. Чтобы удивить фараона и остаться у него в фаворитах, вам нужно измерить высоту этой пирамиды. В  распоряжении у вас… ничего. Можно пасть в отчаяние, а можно поступить, как  Фалес Милетский : использовать теорему подобия треугольников. Да, оказывается, все достаточно просто. Фалес Милетский подождал, пока длина его тени и его рост совпадут, а затем с помощью теоремы о подобии треугольников нашел длину тени пирамиды, которая, соответственно, была равна тени, отбрасываемой пирамидой.  

Достижениями Фалеса считаются:  формулировка и доказательство следующих теорем:

Достижениями Фалеса считаются:

формулировка и доказательство следующих теорем:

  • вертикальные углы равны;
  • равными треугольниками признаются те, у которых сторона и два прилегающих угла соответственно равны;
  • углы при основании равнобедренного треугольника равны;
  • диаметр делит круг пополам;
  • вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым .
Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при оcновании равны. Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем, что В = С. Пусть АD — биссектриса треугольника АВС.   Треугольники АВD и АСD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, АD — общая сторона, 1 = 2, так как AD — биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому В = С. Теорема доказана.

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при оcновании равны.

Доказательство.

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем, что В = С. Пусть АD — биссектриса треугольника АВС.

 

Треугольники АВD и АСD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, АD — общая сторона, 1 = 2, так как AD — биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому В = С. Теорема доказана.

Задача Фалеса  Разделить данный отрезок  AB  на  n  равных частей.  Построение.  Пусть [ AB ] – данный отрезок. Проведем из точки  A  луч  a , не содержащий отрезок  AB . Отложим от точки  A  на построенном луче равные отрезки: AA 1 ,  A 1 A 2 , ... ,  A n  – 1 A n . Соединим точки   A n и  B . Проведем через точки   A 1 ,  A 2 , ... ,  A n  – 1  прямые, параллельные прямой  A n B . Они пересекают отрезок  AB  в точках B 1 ,  B 2 , ... ,  B n  – 1 . Отрезки   AB 1 ,  B 1 B 2 , ... ,  B n  – 1 B  – искомые отрезки.

Задача Фалеса

Разделить данный отрезок  AB  на  n  равных частей.

Построение.  Пусть [ AB ] – данный отрезок. Проведем из точки  A  луч  a , не содержащий отрезок  AB . Отложим от точки  A  на построенном луче равные отрезки: AA 1 ,  A 1 A 2 , ... ,  A n  – 1 A n . Соединим точки   A n и  B . Проведем через точки   A 1 ,  A 2 , ... ,  A n  – 1  прямые, параллельные прямой  A n B . Они пересекают отрезок  AB  в точках B 1 ,  B 2 , ... ,  B n  – 1 . Отрезки   AB 1 ,  B 1 B 2 , ... ,  B n  – 1 B  – искомые отрезки.

Теорема Фалеса Теорема о параллельных прямых: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Теорема Фалеса

Теорема о параллельных прямых:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Легенды о Фалесе  Среди доказательств знания Фалесом астрономии можно привести следующий пример. 28 мая 585 г до н.э. предсказание Милетским солнечного затмения помогло прекратить длившуюся уже 6 лет войну между Лидией и Мидией. Это явление настолько испугало мидян, что они согласились на невыгодные для себя условия заключения мира с лидийцами.

Легенды о Фалесе

Среди доказательств знания Фалесом астрономии можно привести следующий пример. 28 мая 585 г до н.э. предсказание Милетским солнечного затмения помогло прекратить длившуюся уже 6 лет войну между Лидией и Мидией. Это явление настолько испугало мидян, что они согласились на невыгодные для себя условия заключения мира с лидийцами.

Фалес научился определять расстояние от берега до корабля, для чего использовал подобие треугольников. В основе этого способа лежит теорема, названная впоследствии теоремой Фалеса. Далеко от берега стоял на якоре корабль. Фалес сумел измерить расстояние от берега до корабля. В точности, как он это сделал, мы не знаем: его труды до нас не дошли.

Фалес научился определять расстояние от берега до корабля, для чего использовал подобие треугольников. В основе этого способа лежит теорема, названная впоследствии теоремой Фалеса. Далеко от берега стоял на якоре корабль. Фалес сумел измерить расстояние от берега до корабля. В точности, как он это сделал, мы не знаем: его труды до нас не дошли.

Значение Фалеса в мировой истории развития науки. Эта гробница мала, но слава над ней необъятна.  В ней перед тобою сокрыт многоразумный Фалес .

Значение Фалеса в мировой истории развития науки.

Эта гробница мала, но слава над ней необъятна. В ней перед тобою сокрыт многоразумный Фалес .

Применение подобия в архитектуре и культуре «Золотое сечение»  Золотое сечение c Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функцио- нального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.  Пропорция отношений длин сторон любой фигуры равная, 1.6 называется золотым. а b a : b = b : c или c : b = b : a

Применение подобия в архитектуре и культуре «Золотое сечение»

Золотое сечение

c

Принцип золотого сечения – высшее

проявление структурного и функцио-

нального совершенства целого и его

частей в искусстве, науке, технике и

природе.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка

на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей

части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими

словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший

ко всему.

Пропорция отношений длин сторон любой фигуры равная, 1.6 называется золотым.

а

b

a : b = b : c или c : b = b : a

«Золотое сечение» в древней архитектуре. Даже сейчас, когда храм стоит на развалинах, это одно из самых красивых сооружений мира. Он построен в эпоху расцвета древнегреческой математики. И его красота основана на строгих математических законах. Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник, то окажется, что его стороны образуют золотое сечение. Такой прямоугольник назвали «золотым прямоугольником»

«Золотое сечение» в древней архитектуре.

Даже сейчас, когда храм стоит на развалинах, это одно из самых

красивых сооружений мира. Он построен в эпоху расцвета древнегреческой математики. И его красота основана на строгих математических законах. Если мы опишем около фасада Парфенона прямоугольник, то окажется, что его стороны образуют золотое сечение. Такой прямоугольник назвали «золотым прямоугольником»

«Золотое сечение» в живописи Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на «золотых треугольниках (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

«Золотое сечение» в живописи

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка

построена на «золотых треугольниках (точнее на треугольниках,

являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

«Золотое сечение» в городе Стрежевом Единственное архитектурное сооружение, построенное по принципу «золотого сечения» – здание администрации города.

«Золотое сечение» в городе Стрежевом

Единственное

архитектурное сооружение,

построенное

по принципу «золотого сечения» – здание администрации города.

Определение ширины реки с помощью травинки.  Описание способа: Сорвите травинку. Выберите на противоположном берегу два предмета и встаньте к ним лицом. Руки с травинкой вытяните вперед и с ее помощью отмерьте расстояние между предметами, глядя на них одним глазом. Затем сложите травинку вдвое и потихоньку отходите от берега реки. Остановитесь, когда сложенная пополам травинка не закроет расстояние между предметами. Вставьте в этом месте ветку, замерьте пройденное вами расстояние от берега реки до ветки и переведите его в метры. Получили расстояние, которое равно ширине реки.

Определение ширины реки с помощью травинки.

Описание способа:

Сорвите травинку. Выберите на противоположном берегу два предмета и встаньте к ним лицом. Руки с травинкой вытяните вперед и с ее помощью отмерьте расстояние между предметами, глядя на них одним глазом. Затем сложите травинку вдвое и потихоньку отходите от берега реки.

Остановитесь, когда сложенная пополам травинка не закроет расстояние между предметами. Вставьте в этом месте ветку, замерьте пройденное вами расстояние от берега реки до ветки и переведите его в метры. Получили расстояние, которое равно ширине реки.

Нахождение ширины Пасола в районе парковой зоны. Ширина реки Пасол в том месте, где мы замеряли, была 12.5м. Мы подошли к краю реки и нашли на другом берегу 2  неподвижные точки (2 куста). Взяв травинку ,мы держали её так что бы её края касались 2 кустов. Сложив травинку, начали отходить до тех пор, пока её края опять не коснулись 2 кустов. При измерении расстояния пройденного пути и у нас получилось 12.5 м.

Нахождение ширины Пасола в районе парковой зоны.

Ширина реки Пасол в том месте, где мы замеряли, была 12.5м.

Мы подошли к краю реки и нашли на другом берегу 2

неподвижные точки (2 куста). Взяв травинку ,мы держали её так что бы её края касались 2 кустов. Сложив травинку, начали отходить до тех пор, пока её края опять не коснулись 2 кустов.

При измерении расстояния пройденного пути и у нас получилось 12.5 м.

Определение высоты памятника первопроходцам в городе Стрежевом («Факел»)

Определение высоты памятника первопроходцам в городе Стрежевом («Факел»)

Способ с помощью булавочного прибора. А 1 Дощечка с равнобедренным прямоугольным треугольником и тремя булавками в вершинах. А 0.1м В 1 В С 1 С 0.1м 90м

Способ с помощью булавочного прибора.

А 1

Дощечка с равнобедренным прямоугольным треугольником и тремя булавками в вершинах.

А

0.1м

В 1

В

С 1

С

0.1м

90м

Наши расчёты  А 1 В 1 С 1     АВС по первому признаку подобия.   А1С1 = 0.1  90:0.1 = 90см (высота шестой части памятника) 90  6 = 5.4м (высота памятник, а не учитывая рост человека) 5.4 + 1.7 = 7.1м (высота памятника без высоты ступеней(1.7 – рост человека)) 7.1 – 0.5 = 6.6м (высота памятника «Факел»)

Наши расчёты

А 1 В 1 С 1 АВС по первому признаку подобия.

А1С1 = 0.1 90:0.1 = 90см (высота шестой части памятника)

90 6 = 5.4м (высота памятник, а не учитывая рост человека)

5.4 + 1.7 = 7.1м (высота памятника без высоты ступеней(1.7 – рост человека))

7.1 – 0.5 = 6.6м (высота памятника «Факел»)

Социологический опрос: «Роль Фалеса и занимательные задачи геометрии»

Социологический опрос: «Роль Фалеса и занимательные задачи геометрии»

16

16

Рекламный буклет нашей исследовательской работы.

Рекламный буклет нашей исследовательской работы.

Над проектом работали:

Над проектом работали:

Саламатин Александр Мумбер Никита

Саламатин Александр

Мумбер Никита

Меньщиков Евгений Томшин Артём Патраков Виталий

Меньщиков Евгений

Томшин Артём

Патраков Виталий

Спасибо за внимание

Спасибо за внимание


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 8 класс

Скачать
Презентация по геометрии "Фалес и подобие треугольников"

Автор: Абдуллина Лариса Ивановна

Дата: 18.07.2014

Номер свидетельства: 110222

Похожие файлы

object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(56) "Презентация "Геометрия в лесу" "
    ["seo_title"] => string(36) "priezientatsiia-gieomietriia-v-liesu"
    ["file_id"] => string(6) "150704"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1420545212"
  }
}
object(ArrayObject)#885 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(36) "ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ "
    ["seo_title"] => string(21) "vielikiie-matiematiki"
    ["file_id"] => string(6) "137827"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "meropriyatia"
    ["date"] => string(10) "1417438812"
  }
}
object(ArrayObject)#863 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(110) "Внеклассное мероприятие по математике  "Великие математики""
    ["seo_title"] => string(61) "vnieklassnoiemieropriiatiiepomatiematikievielikiiematiematiki"
    ["file_id"] => string(6) "297343"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "meropriyatia"
    ["date"] => string(10) "1456165206"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства