Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

Урок геометрии

8 класс

Учитель математики Будзинская М.Ф.

Свойства прямоугольного треугольника.

A

• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника

равна .

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 , равен половине гипотенузы.

B

C

3 . Если к атет прямоугольного треугольника равен половине

гипотенузы , то угол, лежащий против этого катета,

равен 30 .

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение противолежащего катета к гипотенузе.

B

c

a

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника

называется отношение прилежащего катета

к гипотенузе.

C

A

b

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение противолежащего катета к прилежащему.

• Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе . Отцом Пифагора был Мнесарх , резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора не известно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского .

• В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена («пифагорейцы»), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Надо сказать, что некоторые из проповедуемых Пифагором принципов достойны подражания и сейчас.

История теоремы Пифагора.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается

с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских

текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым

нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего

открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам –

даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и

Религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно

прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими

кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более

правдоподобной можно считать следующую запись:

"… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике

гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка,

сделанного из пшеничного теста".

На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства

теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

A

B

C

доказательство(1):

Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С .

Проведем высоту CD из вершины прямого угла С .

По определению косинуса угла

со s А= AD / AC (из треугольника ACD )

со s А= AC / AB (из треугольника ABC ).

AD / AC = AC / AB . Отсюда по свойству пропорции

С

Аналогично со s В= BD / BC (из треугольника BCD )

со s В= BC / AB (из треугольника ABC ).

Отсюда

В

А

D

Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD + DB = AB , получим:

Теорема доказана.

a . Продолжим отрезок за точку В и построим BMD , так, чтобы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD , и BD=b , BDM=90 , DM=a , тогда BMD= ABC . Т.к. MDMA DC AMDC - прямоугольная трапеция. A M 1 4 c b c a 2 3 C D a B b В ABC и BMD : 1+ 2=90 , 3+ 4=90 , но т.к. 1= 3, то 3+ 2=90 оказалось, что трапеция AMD С состоит из трех неперекрывающихся прямоугольных треугольников, тогда или , Ч.т.д." width="640"

доказательство(2):

Пусть ba . Продолжим отрезок за

точку В и построим BMD , так, чтобы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD , и BD=b , BDM=90 , DM=a , тогда

BMD= ABC . Т.к. MD

MA DC AMDC - прямоугольная трапеция.

A

M

1

4

c

b

c

a

2

3

C

D

a

B

b

В ABC и BMD : 1+ 2=90 , 3+ 4=90 , но т.к. 1= 3, то 3+ 2=90

оказалось, что трапеция AMD С состоит из трех неперекрывающихся

прямоугольных треугольников, тогда или

,

Ч.т.д.

Формулировка теоремы, обратной теореме Пифагора

Если квадрат одной стороны треугольника

равен сумме квадратов двух других сторон,

то треугольник прямоугольный.

n ." width="640"

Пифагоровы тройки.

По теореме, обратной теореме Пифагора треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным: .

Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13; 8, 15, 17 и 7, 24, 25. Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются Пифагоровыми треугольниками.

Можно доказать, что катеты a , b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами

Где m и n - любые натуральные числа, такие, что mn .

Египетский треугольник

В

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником , т.к. он был известен еще древним египтянам.

4

5

А

С

3

Для построения прямых углов египтяне поступали так: на веревке делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали ее концы и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами 3 и 4 оказывался прямым.

Тополь у реки

«На береге реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его угол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Дано: АС = 3 фута, AD = 4 фута, А=90, BC = CD .

Найти: АВ.

Задача 1.

Дано: Окружность

KLM- вписанный

LM=5 см

KL=12 см

КМ-диаметр

Найти: KM ?

L

М

5

12

O

К

Решение:

KLM вписан в окружность и опирается на диаметр КМ, т.к. вписанные углы опирающиеся на диаметр, прямые, то KLM - прямой. Значит, KLM - прямоугольный.

По теореме Пифагора для KLM с гипотенузой КМ:

Задача 2.

Придумайте способ для построения циркулем и линейкой отрезка, длина которого равна корню квадратному из любого заданного натурального числа. Например .

1

1

1

1

1

Задача 3.

Лестницу длиной 6 м, упирающуюся одним концом в стену, а другой конец которой отстоит от стены на 3 м, подвинули к стене на 1 м. На сколько ее верхний конец стал выше?

Дано:

ABC , CBD- прямоугольные

АС=3 м АВ =DE =6 м А D= 1 м

Найти: ВЕ?

E

B

6

1

C

Решение:

D

A

3

(М)

1.

(М)

2.

(М)

3.

Домашнее задание:

• Возьмите лист бумаги в виде прямоугольника и согните его так, чтобы одна из вершин листа оказалась в середине стороны, не содержащей ее.

Как вычислить длину линии сгиба, сделав как можно меньше измерений?

2. В прямоугольном треугольнике рассмотрим такие величины:

оба катета, гипотенузу, медианы ко всем сторонам. Выберите

две из них, и считая их известными, укажите план

нахождения остальных.