Презентация на тему "Логарифмическая функция, её свойства и график"

Логарифмическая функция, её свойства и график

Потому-то словно пена,  Опадают наши рифмы.  И величие степенно  Отступает в логарифмы.                     Борис Слуцкий

***Дополнительное задание:

остроумная алгебраическая головоломка,

которой развлекались участники

одного съезда физиков в Одессе. Некоторым

учащимся на дом предлагалось творческое

задание: число 3, целое и положительное,

изобразить с помощью трех двоек и

математических символов. 

То есть любое целое положительное число можно изобразить с помощью трех двоек и математических символов.

Устная работа

Вычисли

log 9 81=

log 4 16=

log 0.2 5=

log 9 1=

log 9 9=

log 0.3 0.0081=

log 9 81=

Определение.

Логарифмом положительно числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Теорема об обратных функциях

Если функция f(x) определена и

монотонна на некотором промежутке X,

причем D(f)=X,

E(f)=Y, то

существует обратная ей функция g(x), определенная на Y, т.е. D(g)=Y

E(g)=X,

причем, монотонность сохраняется. Графики взаимнообратных функций симметричны относительно прямой y=x

x

Построим график функции y=2 x

y

Опр1.

Логарифмическая функция - функция, обратная показательной функции .

1

x

Построим график функции y=(0.5) x

y

1

0, а ≠ 1 )   называется логарифмической. 1) D(y):(0;+∞) Это следует из определения логарифма, так как выражение log a x имеет смысл только при x 0. Устная работа Найти D(y), если известно, что а 0, а ≠ 1 а) y = log a х +1 б) y = log a (х+1) в) y = log a (1-x)" width="640"

Опр.2

Функция вида   y = log a х

(где а 0, а ≠ 1 )   называется логарифмической.

1) D(y):(0;+∞) Это следует из определения логарифма, так как выражение log a x имеет смысл только при x 0.

Устная работа

Найти D(y), если известно, что а 0, а ≠ 1

а) y = log a х +1

б) y = log a (х+1)

в) y = log a (1-x)

x

x

Построим график функции y=log 2 x y=log 0.5 x

x

x

1/4

1/4

y

y

2

-2

1/2

1/2

1

1

-1

1

0

0

2

2

4

4

1

-1

8

2

-2

8

3

-3

y

y=log 2 x

3

2

1

1

8

4

8

4

y=log 0.5 x

- 2

-3

1 3) убывает на своей области определения 1) D(F):(0;+∞) 4) не ограничена ни сверху, ни снизу 2) не является ни четной, ни нечетной 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений 3) возрастает на своей области определения 6) непрерывна 4) не ограничена ни сверху, ни снизу 7) E(F):(- ∞;+ ∞) 8) выпукла вниз 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений 6) непрерывна 7) E(F):(- ∞;+ ∞) 8 ) выпукла вверх y x x y=log a x 0 a y=log a x a1 Устно Выполняем задание 15.12" width="640"

Свойства функции

y

Свойства функции y=log a x, при 0

1) D(F):(0;+∞)

2) не является ни четной, ни нечетной

Свойства функции y=log a x, при a1

3) убывает на своей области определения

1) D(F):(0;+∞)

4) не ограничена ни сверху, ни снизу

2) не является ни четной, ни нечетной

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений

3) возрастает на своей области определения

6) непрерывна

4) не ограничена ни сверху, ни снизу

7) E(F):(- ∞;+ ∞)

8) выпукла вниз

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений

6) непрерывна

7) E(F):(- ∞;+ ∞)

8 ) выпукла вверх

y

x

x

y=log a x 0 a

y=log a x a1

Устно

Выполняем задание 15.12

3»" width="640"

Логарифмическая комедия математический софизм «23»

0 в) lоg 4 x№ 3 Решите уравнение lоg 4 x=5-x № 4 Постройте графики функций а)y=log x x б) y=2 log 2 x в) y=x log x 2 подсказка подсказка подсказка подсказка подсказка подсказка" width="640"

Работа в группах

№ 1Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке y=lgx x € [1;1000]

№ 2 Решите уравнение и неравенства

а) lоg 4 x=0; б) lоg 4 x0 в) lоg 4 x

№ 3 Решите уравнение lоg 4 x=5-x

№ 4 Постройте графики функций а)y=log x x

б) y=2 log 2 x в) y=x log x 2

подсказка

подсказка

подсказка

подсказка

подсказка

подсказка

Найти наименьшее и набольшее значении функции на заданном промежутке

y=lgx x € [1;1000]

• Решение : функция y=lgx непрерывная и возрастающая.
• Следовательно своего наименьшего и наибольшего значения достигает на концах отрезка

y наим =lg1=0

y наиб =lg1000=3

y

x

0 в) lоg 4 xРешаем графически. В одной системе координат строим график функции y= lоg 4 x и y=0" width="640"

Решить уравнения и неравенства а) lоg 4 x=0; б) lоg 4 x0 в) lоg 4 x

• Решаем графически.

В одной системе координат строим график функции y= lоg 4 x и y=0

0 lоg 4 x=0 lоg 4 x Ответ:1 Ответ : 0 Ответ : x1" width="640"

y

у = log 4 x

1

y=0

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

lоg 4 x0

lоg 4 x=0

lоg 4 x

Ответ:1

Ответ : 0

Ответ : x1

x

Решить уравнение

lоg 4 x=5-x

Построим график функции

y= lоg 4 x

и график y =5-x

Функция y= lоg 4 x возрастает,

а y= 5-x убывает. То есть точка единственная.

Проверка lоg 4 4= 5-4

y

4

1

Ответ: x=4

x

Построить графики функции функции

y=log x x

D(y)=(0;1) (1;+∞)

учитывая, что log a a=1, строим график y=1

y

1

x

Построить графики функции функции

y=2 log 2 x

D(y)= (0;+∞)

учитывая, что a log a c =c, строим график y=x

y

1

x

Построить графики функции функции

y=x log x 2

D(y)=(0;1) (1;+∞)

учитывая, что a log a c =c , строим график y=2

y=2

2

y

1

Применение логарифмов в физике, химии, биологии

• Физики шутят: “ Математика – царица всех наук, но служанка физики”. Так пошутить могут и музыканты, и биологи, и психологи и др. А это еще раз подтверждает правильность слов Карла Маркса “ Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой ”.

x

Преобразование графиков функции

y

y=log 2 x+2

D(y):(0;+∞)

E(y):(- ∞;+ ∞)

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

Преобразование графиков функции

y

y=log 2 (x+2)

D(y):(-2;+∞)

E(y):(- ∞;+ ∞)

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

Преобразование графиков функции

y

y=log 0.5 (x+3)

D(y):(-3;+∞)

E(y):(- ∞;+ ∞)

y=-log 0.5 (x+3)

1

D(y):(-3;+∞)

E(y):(- ∞;+ ∞)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Бенджамина Франклина. Вот отрывок из него: «Препоручаю 1000 фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами, по 5 на сто в год, в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через сто лет возвысится до 131000 фунтов стерлингов. Я желаю тогда 100000 фунтов были употреблены на постройку общественных зданий, остальные же 31000 фунтов отданы в проценты на 100 лет…». Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Математический расчет это подтверждает

Вычисления с помощью логарифма

1/27/19

13

Используемая литература:

• Задача на 2 слайде: http://www.bankrabot.com/part2/work_12766.html
• Учебник: Мордкович А.Г., «Алгебра и начала анализа», профильный уровень
• Задачник: Мордкович А.Г., «Алгебра и начала анализа», профильный уровень
• http://www.matica.info/material1.html -завещание Франклина.