Построение сечений многогранников.

Разработка для проведения олимпиады по теме:

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ.

Автор-составитель: Иванова Т.В.

В связи с отсутствием в учебниках геометрии методики обучения задач, невнимательного отношения к развитию пространственного воображения учащихся, недостаток единства и преемственности при формировании геометрических представлений, необходимо организовать деятельность, направленную на улучшение качества обучения математики и способствующую общему интеллектуальному развитию учащихся.

Вашему вниманию представлена олимпиада школьников по теме: «Построение сечений многогранников».

При построении сечений нужно учитывать, что если секущая плоскость пересекает две параллельные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны:

Рассмотрим метод следов. Суть метода следов заключается в том, что сначала находят линию пересечения секущей плоскости с плоскостью основания данного многогранника – след секущей плоскости на плоскости основания многогранника. Затем проводят плоскости через определенные ребра многогранника и данные точки. Получают след новой секущей плоскости и на нём точку пересечения с первым следом. Через эту точку и данную точку проводят прямую. Получают точку пересечения этой прямой с ребром. Эта точка лежит в данной секущей плоскости. Аналогичным образом получают точки пересечения других рёбер многогранника с данной секущей плоскостью.

Задача 1. Построить сечение четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, проходящее через данные точки M, N, P, где М ϵ АА₁, N ϵ DD₁, P ϵ CC₁ (рис.1).

Для удобства рассуждений в данной задаче секущую плоскость назовём α, а плоскость основания β. В плоскости основания грани АА₁D₁D проведём прямую MN. Она пересечёт прямую AD в точке E. В плоскости грани DD₁C₁C проведем прямую PN. Она пересечёт прямую CD в точке F, FE – линия пересечения плоскостей α и β. Проведём плоскость BB₁D₁D и в нем прямую через точку N и точку K пересечения этой плоскости с EF. Эта прямая лежит в α и пересекает ребро BB₁ в некоторой точке R. Соединим R с M и с P.

Получим искомое сечение MNPR (см. рис. 1).

Рассмотрим метод построения внутренних дополнительных плоскостей.

Задача 2. Построить сечение прямой четырёхугольной призмы плоскостью, проходящей через точки M, N, P, где M ϵ ABB₁A₁, N ϵ BB₁C₁C, P ϵ BB₁ (рис.2).

Решение. Так как M ϵ A₁B₁BA и P ϵ A₁B₁BA, PM ∩ AA₁ = E, E ϵ α , где α - секущая плоскость. Аналогично P и N принадлежат B₁C₁CB. Значит, PN B₁C₁CB и PN ∩ СС₁ = K, K ϵ α. Для нахождения точки пересечения плоскости другим ребром проводим через параллельные рёбра AA₁ и СС₁ плоскость β. В этой плоскости лежат точки E и K. Значит, EK β. Через BB₁ и DD₁ проводим плоскость γ, β ∩ γ=OO₁, OO₁ ∩ EK = R, R ϵ α, т.е. EK α. Так как P ϵ α и R α, то PR α. PR ∩ DD₁ = F. Соединим точку F с точками E и K, получим сечение EPKF призмы плоскостью α.