Подготовка к ОГЭ "РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ"

Подготовка к ГИА

«РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ»

Учитель математики

Гусева Светлана Геннадьевна

МБОУ СОШ №18 имени В.Я.Алексеева

Задачи на проценты

Решение задач на проценты сводится к основным трем действиям с процентами:

• нахождение процентов от числа;
• нахождение числа по его процентам;
• нахождение процентного отношения чисел.

1) Покрасив 2 метра забора, Том Сойер «уступил» это занятие другому мальчику, который покрасил 30% неокрашенной части забора. После этого Том трижды «уступал»свое право красить забор другим мальчикам. Первый и второй из них покрасили соответственно 1/5 и 1/6 всего забора, а третий - 85% оставшейся неокрашенной части забора. Какова длина забора, если последний оставшийся метр Том красил сам?

РЕШЕНИЕ:

Пусть х-длина всего забора, тогда 0,3(х-2) – длина части забора, которую покрасил мальчик, красивший сразу за Томом, а из следующих трех мальчиков первый и второй покрасили ⅕∙х и ⅙∙х метров. Пусть у – длина части забора, оставшейся неокрашенной после этого. Из условия следует, что 1 метр (который в конце красил Том) составляет 100% - 85% = 15% от у.

То есть 0,15у=1, у=100/15=20/3. Так как сумма всех покрашенных частей равна длине всего забора, получаем уравнение:

2+ 0,3(х-2) + ⅕∙х + ⅙∙х +у=х

2+0,3х-0,6+11/30∙х+20/3=х

20/30∙х+1,4+20/3=х

х=24,2(м)

Ответ : длина забора 24,2 метра

2) Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первые три часа съел 40% всего запаса меда Кролика. Пятачок и Кролик вместе за это же время съели 300 граммов меда. За следующие три часа Винни-Пух съел 2/3 оставшегося меда, а Пятачок и Кролик съели 100 граммов меда на двоих, после чего у Кролика осталось 1,6 кг меда. Сколько меда было у Кролика до визита Винни-Пуха?

РЕШЕНИЕ:

Пусть первоначально у кролика было х кг меда. Винни-Пух за первые 3 часа съел 0,4х кг, а Пятачок и кролик съели 300г меда. У кролика осталось х-0,4х-0,3=0,6х-0,3(кг).

За следующие 3 часа Винни-Пух съел 2/3(0,6х-0,3)=0,4х-0,2(кг),

а Пятачок и кролик – 100г. У кролика осталось

0,6х-0,3-0,4х+0,2-0,1=0,2х-0,2(кг)

Зная, что осталось 1,6 кг, составим уравнение:

0,2х-0,2=1,6

х=9(кг)

Ответ: первоначально у кролика было 9 кг меда.

Задачи на «движение»

Действие движения характеризуется тремя компонентами: пройденный путь, скорость и время.

Известно соотношение между ними:

Путь = скорость • время

3) Две черепахи выползают навстречу друг другу из своих нор. Если бы первая ползла на 40 м/ч быстрее, то они бы встретились на полпути, если бы вторая ползла на 50 м/ч быстрее, она бы проползла в два раза большее расстояние до встречи, чем первая. Найдите скорости черепах.

РЕШЕНИЕ:

Пусть скорость движения первой черепахи х м/ч, а второй –

у м/ч. Если бы первая ползла на 40 м/ч быстрее, то через t₁ часов они бы встретились на полпути. Получаем:

(х+40)∙t₁=у∙t₁ или х+40=у

Если бы вторая ползла на 50м/ч быстрее, то она проползла бы до встречи за t₂ часов в два раза большее расстояние, чем первая. Получаем 2хt₂=(у+50)∙t₂ или 2х=у+50

х+40=у, х=90,

2х=у+50; у=130. Ответ: скорость первой

черепахи – 90 м/ч, а скорость второй – 130 м/ч

4) Петя вышел из школы и пошел домой со скоростью 4,5 км/ч. Через 20 минут по той же дороге из школы выехал Вася на велосипеде со скоростью 12 км/ч. На каком расстоянии от школы Вася догонит Петю?

РЕШЕНИЕ:

Пусть t часов – время, которое будет находиться в пути Петя до того момента, когда его догонит Вася. Тогда Вася до того как догонит Петю,будет находиться в пути (t-1/3) часа. (20 мин=1/3ч).

Всего Петя пройдет 4,5t км, а Вася пройдет 12(t-1/3)км.

Составим и решим уравнение:

4,5t=12(t-1/3)

t=8/15. Следовательно, Вася догонит Петю на расстоянии 4,5∙8/15=0,3∙8=2,4 км от школы.

Ответ: Вася догонит Петю на расстоянии 2,4 км от школы.

Задачи на «концентрацию», на «смеси и сплавы»

В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:

• Концентрация (доля чистого вещества в смеси);
• Количество чистого вещества в смеси (или сплаве);
• Масса смеси (сплава).

Соотношение между этими величинами следующее:

Масса смеси • концентрация = количество чистого вещества

0 10х²+200х-10х²-50х=3(х+5)(х+20) 150х=3(х+5)(х+20) 50х=(х+5)(х+20) х²+25х-50х+100=0 х²-25х+100=0 х₁=5, х₂=20. Оба числа удовлетворяют условию х 0. Ответ : первоначальная масса сплава могла быть либо 10 кг, либо 25 кг." width="640"

5) Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавлен с 15 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 30%. Какой могла быть первоначальная масса сплава?

РЕШЕНИЕ:

Пусть х кг – масса меди в сплаве,

тогда (х+5)кг – первоначальная масса сплава;

( х/(х+5) ) ∙100% - процентное содержание меди в первоначальном сплаве; (х+5+15)кг – масса нового сплава;

( х/(х+5+15) ) ∙100% - процентное содержание меди в новом сплаве.

По условию содержание меди понизилось на 30%. Составим и решим уравнение:

( х/(х+5) ) ∙100- ( х/(х+5+15) ) ∙100=30, х 0

10х²+200х-10х²-50х=3(х+5)(х+20)

150х=3(х+5)(х+20)

50х=(х+5)(х+20)

х²+25х-50х+100=0

х²-25х+100=0

х₁=5, х₂=20. Оба числа удовлетворяют условию х 0.

Ответ : первоначальная масса сплава могла быть либо 10 кг, либо 25 кг.

6) Смешали 30%-ный и 50%-ный растворы азотной кислоты и получили 45%-ный раствор. Найдите отношение массы 30%-го раствора к массе 50%-го раствора.

РЕШЕНИЕ:

Пусть х г – масса первого раствора, у г – масса второго раствора, тогда 0,3х г – масса кислоты в первом растворе, 0,5у г – масса кислоты во втором растворе,

(0,3х+0,5у) г – масса кислоты в смеси, что по условию задачи составляет 45% массы раствора. Составим уравнение:

0,3х+0,5у=0,45(х+у)

0,5у-0,45у=0,45х-0,3х

0,05у=0,15х

у=3х

х:у=1:3

Ответ : отношение массы 30%-го раствора к массе 50%-го раствора как 1:3

7) В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а количество цинка уменьшили на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%. Определите процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава.

РЕШЕНИЕ:

Пусть х г меди и у г цинка находятся в первоначальном куске сплава, тогда (х+у) г – масса сплава. После увеличения количества меди на 40% масса меди в новом сплаве составила 1,4х г, а после уменьшения количества цинка в новом сплаве масса цинка составила 0,6у г;

(1,4х+0,6у) г – масса нового сплава. По условию масса куска сплава увеличилась на 20%, значит, составила 1,2(х+у) г.

Получаем уравнение: 1,2(х+у)= 1,4х+0,6у

0,6у=0,2х; 3у=х

Отсюда следует, что х:у=3:1

Ответ : в первоначальном куске сплава было 75% меди и 25% цинка.

Задачи «на работу»

Работу характеризуют три компонента действия:

• Время работы,
• Объем работы,
• Производительность

(количество произведенной работы в единицу времени).

Существует следующее соотношение между этими компонентами:

Объем работы = время работы • производительность.

0), вторая машинистка – за у часов (у0), 1/х – производительность первой машинистки, а 1/у – производительность второй. По условию задачи, работая вместе, они могут перепечатать рукопись за 6 часов; 6(1/х+ 1/у)=1. Если машинистки будут работать вместе 5 часов, то они напечатают 5(1/х+ 1/у) часть работы, а если вторая машинистка будет работать 3 часа, она напечатает 3/у часть работы. По условию задачи работа при этом будет завершена 5(1/х+ 1/у)+3/у=1. Учитывая, что х0, у0, составим и решим систему уравнений: 6(1/х+ 1/у)=1, х=9, 5(1/х+ 1/у)+3/у=1; у=18. Ответ : первая машинистка может перепечатать рукопись за 9 часов, а вторая – за 18 часов." width="640"

8) Две машинистки вместе могут перепечатать рукопись за 6 часов. После 5 часов совместной работы вторая машинистка продолжила работу самостоятельно и завершила ее за 3 часа. За какое время каждая машинистка смогла бы перепечатать рукопись?

РЕШЕНИЕ:

Примем объем работы за 1. Пусть первая машинистка сможет перепечатать рукопись за х часов (х0), вторая машинистка – за у часов (у0), 1/х – производительность первой машинистки, а 1/у – производительность второй. По условию задачи, работая вместе, они могут перепечатать рукопись за 6 часов; 6(1/х+ 1/у)=1. Если машинистки будут работать вместе 5 часов, то они напечатают 5(1/х+ 1/у) часть работы, а если вторая машинистка будет работать 3 часа, она напечатает 3/у часть работы. По условию задачи работа при этом будет завершена 5(1/х+ 1/у)+3/у=1. Учитывая, что х0, у0, составим и решим систему уравнений:

6(1/х+ 1/у)=1, х=9,

5(1/х+ 1/у)+3/у=1; у=18.

Ответ : первая машинистка может перепечатать рукопись за 9 часов,

а вторая – за 18 часов.

0), тогда второй рабочий наклеит обои за (х+5)часов. Всю работу примем за 1, тогда 1/х – производительность первого рабочего, 1/(х+5) – производительность второго. Так как, работая вместе, они наклеят обои за 6 ч, то их совместная производительность равна 1/6. Таким образом, имеем 1/х + 1/(х+5) = 1/6 х²-7х-30=0 х₁=10, х₂=-3 не удовлетворяет условию х0, т.е. х=10. Таким образом, первый рабочий может выполнить работу за 10 ч, а второй – за 15 ч. Ответ : первый рабочий может выполнить работу за 10 ч, а второй – за 15 ч." width="640"

9) Двое рабочих, работая вместе, могут оклеить комнату обоями за 6 часов. За сколько часов может оклеить комнату каждый из них в отдельности, если первый это сделает на 5 часов быстрее второго?

РЕШЕНИЕ:

Пусть первый рабочий может наклеить обои в комнате за х часов (х0), тогда второй рабочий наклеит обои за (х+5)часов. Всю работу примем за 1, тогда 1/х – производительность первого рабочего, 1/(х+5) – производительность второго. Так как, работая вместе, они наклеят обои за 6 ч, то их совместная производительность равна 1/6. Таким образом, имеем

1/х + 1/(х+5) = 1/6

х²-7х-30=0

х₁=10, х₂=-3 не удовлетворяет условию х0, т.е. х=10.

Таким образом, первый рабочий может выполнить работу за 10 ч,

а второй – за 15 ч.

Ответ : первый рабочий может выполнить работу за 10 ч,

а второй – за 15 ч.

Спасибо за внимание!