Доклад на школьном методическом объединении на тему: «Дифференцированный подход при решении текстовых задач в подготовке к ОГЭ и ЕГЭ учащихся 9 и 11 классов»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №13

Доклад на школьном методическом объединении

На тему:

«Дифференцированный подход при решении текстовых задач в подготовке к ОГЭ и ЕГЭ учащихся 9 и 11 классов»

Составила: Морозова Елена Александровна

Должность: учитель математики

Жигулёвск 2015 г.

Введение

Не секрет, что многие ученики средней школы не способны к длительной умственной деятельности и не владеют различными её формами. Из процесса решения задачи у них выпадает этап поиска решения. Практически все время, от прочтения условия до получения ответа, уходит на реализацию стандартной схемы, на вычисление, объяснение и оформление. Редко можно встретить школьника, который способен быстро привести пример задачи, над которой он долго думал (час, два или более), прежде чем сумел её решить.

Основная цель – не только помочь учащимся освежить в памяти изученный материал школьного курса математики, но и сориентировать их на процесс сдачи ОГЭ и ЕГЭ с учётом их личностных способностей.

Основная часть

Основная задача дифференциального подхода к решению задач: как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого учащегося, не ограничивая их личное пространство, для повышения уровня математической подготовки выпускников средней школы.

Каждая задача имеет идейную и техническую сложность (или трудность). Идейная часть решения дает ответ на вопрос, как решить задачу и представляет собой реализацию найденной идеи. Есть задачи, в которых главное найти идею решения, а техническая часть, по существу отсутствует, например, задачи 19 и 20 из ЕГЭ.

Есть задачи, в которых идея решения, пусть решения достаточно очевидны, однако их реализация требует очень большой по объем вычислительной работы, так что довести решение до конца оказывается под силу далеко не каждому, например, задача 17 из ЕГЭ, идейная и технические части приблизительно равнозначны, к таким относятся текстовые задачи.

Новые идеи, которые ученики могут сами вынести из проблемы, не опирающиеся на дополнительные теоретические сведения, следует вводить через задачи по следующей схеме:

Процесс обучения рекомендует строить по ФГОС на ряде методических принципов:

1. Принцип регулятивности (систематичности). Основная работа проходит не в классе на совместных занятиях, а дома, индивидуально. Полноценная подготовка невозможна без достаточно большого количества часов, посвященных работе над задачей. Заниматься математикой, думать, можно даже гуляя на улице ( но не переходя при этом проезжую часть).

2. Принцип параллельности. Несмотря на то, что все задания разбиты по темам, которые изучаются последовательно одна за другой, следует постоянно держать в поле зрения несколько (две-три) проблем, постепенно решая их и продвигаясь вглубь (задачи текста 2 часть ОГЭ и ЕГЭ).

3. Принцип опережающей сложности. Не следует загружать ученика сразу большой по объему, но несложной работой. Слишком легко и слишком трудно – равно плохо. На практике, реализовать этот принцип можно, если применять дифференцированный подход к решению задач: 3-4 доступны всем учащимся, 2-3 были бы по силам некоторым, 1-2 пусть не на много, но превышают возможности даже самых сильных учеников (тестовое задание КИМ для ОГЭ и ЕГЭ). Этот принцип развивает также полезные качества, как сознательность, внутреннюю честность, научное честолюбие (тест 1 часть).

4. Принцип смены приоритетов.
   Приоритет идеи. В период накопления идей, а также при решении достаточно трудных задач ученику прощаются небольшие и даже средние огрехи в решении задач, главное – правильная идея решения, которая может быть доведена до ответа за разумное время(задачи 2 части ОГЭ и ЕГЭ).
   Приоритет ответа. При обработке уже известных идей, а также при решение наиболее простых , стандартных задач, главное – правильный ответ. Никакие сверхсильные и сверхоригинальные идеи не смогут компенсировать наличие неверного ответа (задача 1 часть ОГЭ и ЕГЭ).

5. Принцип вариативности. Очень полезно на примере одной задачи рассмотреть различные приемы и методы решения, а затем сравнить получившиеся решения с различных точек зрения: стандартность оригинальность, объем вычислительной и объяснительно работы, эстетическая и практическая ценность.

6. Принцип самоконтроля. Большинство людей склонны прощать себе небольшие (да и крупные) ошибки. Школьники не исключение. Проявление этого недостатка, имеющего большие последствия на экзамене, является привычка подстраиваться под ответ. Регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач должен быть неприемлемым этапом самостоятельной работы.

7. Принцип быстрого повторения. По мере накопления числа решенных задач, следует просматривать и некоторым образом раскладывать по полочкам образовавшийся задачный архив примерно по следующей схеме:

   1. Эта задача простая – я её без труда решил и вижу весь путь решения.

   2. Эта задача труднее – я её в своё время не решил (решил с трудом, нашел правильную идею, но запутался в вычислениях), но хорошо помню её решение данное учителем.

   3. Эту задачу я не решил, объяснение вроде бы понял, но сейчас не могу восстановить в своей памяти. Надо разобраться в своих записях или же спросить об этой задаче учителя.

8. Принцип работы с текстом. Работа со сложными текстами задачи, понять которые, иногда не проще, чем решить небольшую проблему – это огромный труд учащихся. Понять указания к нестандартной задаче, заполнить логические пробелы, выполнить промежуточные вычисления, рассмотреть самостоятельно варианты, сопровождающиеся оборотом «аналогично» - главное назначение дифференцированного подхода в математике.

9. Принцип моделирования ситуаций. Полезно моделировать критические ситуации, которые могут возникнуть на ОГЭ или ЕГЭ, и отрабатывать стереотипы поведения.

Примеры задач на движение, работу, смеси и сплавы, на проценты

Пример 1. Какое расстояние в километрах преодолеет истребитель за

10 минут, летя со скоростью, на одну четвертую превышающую скорость

звука? Скорость звука принять равной 332 м/с.

Решение. По условию задачи скорость звука равна 332 м/с. Найдем одну четвертую от скорости звука, для этого умножим 332 ·1/4 = 83 (м/с). Тогда скорость истребителя составит 332 + 83 = 415 (м/с). Вычислим путь истребителя за 10 минут. Сначала выразим минуты в секундах:
10 · 60 = 600 (с).

Расстояние S равно V · t, где V — скорость истребителя в м/с, t — время

полета в секундах, тогда S = 415 · 600 = 249 000 (м). Переведем метры в

километры, получим, что расстояние равно 249 км.

Ответ: 249.

Пример 2. Расстояние между пунктами А и В составляет 180 км. Скорость первого лыжника на 3 км/ч больше скорости второго лыжника, поэтому он затрачивает на путь из пункта А в пункт В на 2 часа меньше второго. Какова скорость первого лыжника?

Решение. Обозначим скорость первого лыжника через х (км/ч). Тогда скорость второго лыжника составит (х – 3) км/ч. Время, за которое первый лыжник пройдет путь из пункта А в пункт В равно t = S/V = 180/x (ч). Время, за которое второй лыжник пройдет этот путь, равно 180 / (x -3) (ч). С учетом условия задачи, что первый лыжник затрачивает на весь путь на 2 часа меньше второго, составим уравнение

Приводя уравнение к общему знаменателю, получим, что х2 – 3х + 270 = 0, решением которого является х = 18 (км/ч).

Ответ: 18.

Пример 3. На кондитерской фабрике для выпечки одного кекса и одного сладкого пирога расходуется 0,1 и 0,15 грамм ванильного сахара соответственно. Какое минимальное количество пакетов ванильного сахара по 5 грамм необходимо для выпечки 200 кексов и 180 пирогов?

Решение. Вычислим количество ванильного сахара, необходимое для выпечки 200 кексов: 0,1 · 200 = 20 (г). Количество ванильного сахара для выпечки 180 пирогов составит: 0,15 · 180 = 27 (г). Следовательно, всего для выпечки потребуется: 20 + 27 = 47 (г) ванильного сахара. Так как в одном пакете содержится 5 г ванильного сахара, определим необходимое количество пакетов: 47 : 5 = 9,4. Количество пакетов должно быть целым числом, поэтому округлим до целого числа с избытком. Получим 10 пакетов.

Ответ: 10.

Пример 4. Два слесаря выполняли работу по замене труб в доме, работая

вместе три дня, а затем первый из них заболел и второму пришлось отработать еще 17 дней для завершения работы. За сколько дней первый слесарь смог бы заменить трубы в доме, работая один, если для выполнения этой работы второму слесарю потребовалось бы на шесть дней больше, чем первому?

Решение. Пусть х — количество дней, за которые первый слесарь сможет заменить трубы, работая один. Тогда второму слесарю потребуется для этого 1 / (х + 6) дней. Принимая всю работу А = 1, получим, что производительность первого слесаря 1/x, а производительность второго слесаря 1/ (x +6). По условию задачи время работы первого слесаря 3 дня, а второго — 20 дней. Таким образом, первый слесарь выполнил 3/x часть работы, а второй слесарь 20 / (x+6) частей работы. Вместе они завершили всю работу, т.е.

После приведения к общему знаменателю, получим уравнение
х² – 17х + 18 = 0, корнями которого являются числа 18 и 1. Второй корень не подходит по условию задачи.

Ответ: 18.

Пример 5. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-м раствором

и получили 600 г 15%-го раствора соляной кислоты. Определите, сколько

грамм 30%-го раствора было взято.

Решение. Пусть х — масса 30%-го раствора, у — масса 10%-го раствора. Масса смеси равна:

х + у = 600. (1)

Содержание соляной кислоты в 30%-м растворе составляет

(x * 30) / 100= 0,3x (г).

Содержание соляной кислоты в 10%-м растворе составляет

(y * 10) / 100= 0,1у (г).

Содержание соляной кислоты в 15%-м растворе равно

(600 * 15) / 100= 90(г), откуда следует, что

0,3х + 0,1у = 90. (2)

Для наглядности удобно заполнить таблицу:

Решая систему уравнений (1) и (2), получим, что х = 150 (г).

Ответ: 150.

Пример 6. Два магазина торгуют одним и тем же товаром. В первом магазине цена товара на 20% меньше, чем во втором. Количество проданных изделий в первом магазине на 20% больше, чем во втором. В каком магазине выручка за один день будет больше?

Решение. Пусть цена товара в первом магазине х руб. Определим цену товара во втором магазине, составив пропорцию:

х руб. — 80%

? руб. — 100%.

Откуда цена товара во втором магазине (x * 100) / 80= 1,25x (руб.).

Пусть количество изделий, проданных во втором магазине m штук, что

составляет 100%, а в первом магазине — 120%, т.е.

m — 100%

? — 120%, и в первом магазине продано изделий 1,2m штук.

Вычислим выручку в первом магазине, умножив цену товара на количество проданных изделий: х · 1,2m = 1,2mx.

Для второго магазина выручка составит: 1,25х · m = 1,25mx.

Таким образом, выручка во втором магазине выше.

Ответ: 2.

Пример 7. Кусочек сахара весом 10 г растворен в 150 г воды. Определите

концентрацию полученного раствора.

Решение. Концентрация полученного раствора — это процентное содержание сахара в растворе, т.е. количество процентов сахара в ста процентах раствора. Вес полученного раствора составляет 150 + 10 = 160 (г). Определим, сколько процентов составляет сахар весом 10 г в растворе весом 160 г.

Для этого составим пропорцию:

160 г — 100%,

10 г — х %,

откуда находим x = (10 * 100) / 160 = 6,25 (%).

Ответ: 6,25.

Пример 8. Сколько грамм растворенных солей содержится в 1 кг воды Средиземного моря, если солей в нем находится на 100% больше, чем в черноморской воде, которая содержит в 1 кг 18 г растворенных солей?

Решение. Примем за 100% содержание солей в черноморской воде. Тогда 100% — это 18 г растворенных солей. По условию задачи в воде Средиземного моря растворенных солей на 100% больше, т.е. 200%. Составим пропорцию:

100% — 18 г,

200% — х г,

откуда x = (200 * 18) / 100= 36 (г).

Ответ: 36.