Народная мудрость и свойства функции

Народная мудрость

и свойства функций

Автор: Спицына Татьяна Дмитриевна ,

учитель математики

МБОУ «Таксимовская СОШ №1 имени А.А.Мезенцева»

Республика Бурятия

Три пути ведут к знаниям:

путь размышления и исследования

самый благородный;

путь подражания самый легкий;

путь опыта самый горький!

История возникновения функции

Люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны

История возникновения функции

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Явное и сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.

История возникновения функции

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт , который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических.

Декарт Рене (1596-1650 гг.)

Французский философ, математик, физик. Он является одним из основоположников аналитической геометрии. В его главном математическом труде «Геометрия» (1637) впервые введено понятие переменной величины, создан метод координат (декартовы координаты), введены общепринятые теперь значки для переменных величин (x,y,z,...) буквенных коэффициентов (a,b,c,...), степеней (x 3 , a 5 ,...).

История возникновения функции

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию).

Как термин - выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли.

«Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Лейбниц Готфрид Вильгельм

(1646-1716 гг.)

Немецкий математик, физик, философ, изобретатель, историк, языковед. В математике его важнейшей заслугой является разработка дифференциального и интегрального исчисления.

Бернулли Иоганн (1667-1748 гг.)

Швейцарский математик. Был сотрудником Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчислений, в области которых им был сделан ряд открытий.

История возникновения функции

«… Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

«Функция есть кривая, начертанная свободным влечением руки».

Л.Эйлер, 1748.

Определение Л. Эйлера гласит:

« Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств».

Эйлер Леонард (1707-1783 гг.)

Математик, физик, механик, астроном. Родился в Швейцарии. Более 30 лет работал в Петербургской АН. Список его трудов содержит около 850 названий, в их числе несколько многотомных монографий по всем основным разделам современной ему математике и ее приложениям. Заложил основы нескольких математических дисциплин.

История возникновения функции

Больцано Бернард (1781-1848 гг.)

Чешский математик, философ, теолог. Первым (1817) выдвинул идею арифметической теории действительного числа. В его сочинениях можно найти ряд фундаментальных понятий и теорем анализа, обычно связываемых с более поздними исследованиями других математиков .

Даламбер Жан Лерон (1717-1783 гг.)

Французский математик, механик философ. Основные математические исследования относятся к теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дирихле Петер Густав Лежен (1805-1859 гг.)

Немецкий математик. Основные труды по теории чисел и математическому анализу. Впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда (так называемый признак Дирихле), дал (1829) строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функций, имеющей конечное число максимумов и минимумов.

История возникновения функции

Лобачевский

Николай Иванович

(1792-1856 гг.)

Русский математик. Создатель (1826) неевклидовой геометрии. Дал (1834) метод приближенного решения алгебраических уравнений высших степеней; внес значительный вклад в теорию определителей. В области анализа Лейбниц получил новые результаты в теории тригонометрических рядов. Им же установлен один из наиболее удобных методов приближенного решения уравнений (метод Лобачевского).

История возникновения функции

В школьном учебнике «Алгебра» дано следующее определение :

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией , если каждому значению x соответствует единственное значение у.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом , а переменную у – зависимой переменной .

Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции. Записывают: y =f(x)

Cимвол обозначения функции f изобрел в 1733 г. французский математик Клеро

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком

Находят ли свойства функций отражение в народной мудрости?

Пословицы – это отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

Свойства функции в пословицах и поговорках

1. Возрастание функции .

Функция y= f(x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 f(x 1 )

« Чем дальше в лес,

тем больше дров »

Ось Ох – это лесная дорога, По оси Оу будем откладывать количество топлива на данном км дороги

«Как аукнется,

так и откликнется»

ответ на поступки

Поступки

добрые, злые

« Кто любит трудиться, тому есть чем гордиться»

гордость

труд

«Без труда не вынешь и рыбки из пруда»

у

х

Х-количество затраченного труда

У-количество полученного продукта

Графиками функций, выражающие эти пословицы и поговорки являются графики прямой пропорциональной зависимости : y=kx+b.

Свойства функции в пословицах и поговорках

2.Неубывающая функция

Если для любых х1 и х2 из множества Х таких, что х 1 2 , справедливо неравенство f(x1) ≤ f(x2) , то функцию f(x) называют неубывающей на множестве Х.

«Каши маслом

не испортишь»

Ось Ох - количество

каши,

ось Оу - качество каши.

f(x2)). «Дальше кумы –меньше греха»" width="640"

Свойства функции в пословицах и поговорках

3. Убывающая функция.

Функция y= f(x) называется убывающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 f(x2)

(короче: x1 f (x1) f(x2)).

«Дальше кумы –меньше греха»

«Кто пьёт до дна, тот живет без ума»

Ме

Р

а ума

Количество алкоголя

« Поменьше говори,

побольше услышишь.»

У - Количество услышанного

Х –Количество разговора

« Щеголять смолоду, а под старость умирать с голоду.»

Y - Богатство, одежда, еда

X - возраст

« Богатому сладко естся,

да плохо спится.»

Y - сон

X - богатая жизнь

В этих народных высказываниях проявляется обратная зависимость, которая выражается формулой y=k/x , графики которых построены для положительных значений аргумента.

Свойства функции в пословицах и поговорках

4.Ограниченные функции.

Функция f, определённая на множестве Х, называется ограниченной на множестве Х1 Х, если f (x 1 ), т.е. множество её значений на множестве Х1, ограничено, т.е. если существуют постоянные m и M такие, что для всех значений x из Х1 выполняется неравенство m ≤f(x)≤M.

«Выше меры

конь не скачет»

Свойства функции в пословицах и поговорках

5. Максимум функции.

«Недосол на столе –

пересол на спине».

Пусть функция у =f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 .

Функция у =f (x) имеет максимум в точке x0, если существует такая б – окрестность точки x0, что при x 0 – б 0 + б выполняется неравенство f (x) 0 ),т.е. значение функции в этой точке больше, чем её значение во всех других точках, достаточно близких к x 0 .

пересол

f(a)- максимум

Количество соли

«Пересев хуже недосева»

Урожай

F(a) – максимум функции

Плотность посева

Свойства функции в пословицах и поговорках

6. Вогнутость и выпуклость функции

Рост одной функции усиливается с ростом аргумента. Такое свойство функции называется вогнутостью .

«Не круто начинай,

круто кончай»

«Горяч на почине,

да скоро остыл»

Свойства функции в пословицах и поговорках

7. Периодичность

Функция y = f(x) называется периодической , если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x из области определения функции справедливо равенство

f (x + T) = f(x) = f(x – T).

Число Т называется периодом функции y = f(x).

«Это сказка

про белого бычка»

«У попа была

собака»

«Долго думал, да ничего больше не выдумал.»

Идеи, придумки, задумки

Время

«Ума палата ,

да денег не гроша.»

ум

Количество денег

«Ни кола ,ни двора.»

y

x

Где х – количество колов.

Где у – количество дворов.

«Ни дров, ни лучины,

а живёт без кручины.»

Кручина

Дрова, лучина

«Ум хорошо, а два лучше».

количество идей, замыслов.

2

1

количество умов

« Сила есть, ума не надо».

У -сила

Х -ум

«Светит, да не греет.»

y

x

Х -количество света. У - количество тепла.

Заключение

У русского народа, как у любого другого, существует бесчисленное множество пословиц и поговорок.

Они создавались и накапливались народом в течении многовековой его истории и отражали его жизнь, условия труда, культуру.

Они отражают взаимосвязи, существующие между различными жизненными категориями (объектами). Т.е.фактически являются отражениями функциональных зависимостей и доказывают ,что

функция - это сама жизнь!