Метод ложного положения

Метод ложных положений при решении уравнений.

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

Древне фальшивое правило для решения линейного уравнения

Так как это больше нехватки 3, то на одну вторую предположение умножить нельзя. Ахмес видит, что одна четвертая и одна восьмая первоначального результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи надо помножить на 2+1/4+1/8

В третьем столбце выписаны: 1/7 часть искомой кучи, удвоенное это число и учетверенное. Сумма этих трех чисел,, есть произведение первоначального предположения на 2+1/4+1/8 .

Итак, куча равна 16+1/2+1/8 .

В последнем столбце Ахмес делает проверку, в сумме получается 19, и решение заканчивается обычным для автора заключением: «Будет хорошо».

В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения («фальшивое правило»)

Подобные задачи мы теперь решаем уравнениями первой степени.

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор.

Вот задача № 24 сборника Ахмеса:

«Куча. Ее седьмая часть

(подразумевается: «дают в сумме») равны 19.

Найти кучу».

Запись задачи нашими знаками выглядит так:

Смысл решения Ахмеса легко понять.

Делается предположение, что. куча есть 7; тогда одна седьмая ее часть есть 1. Это записано в первом столбце.

Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее одна седьмая часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19. Для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить на 2 с некоторым добавлением, так как для получения 19, не хватает еще 3. Ахмес находит одну вторую от 8, получает 4.

Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. Этот метод применяли как египтяне, так и вавилоняне.

У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого. Магницкий называет способ решения «фальшивым правилом».

Правило двух ложных положений .

Правило двух ложных положений было изобретено индусами, однако, скорее всего, было позаимствовано у китайских ученых. От индусов оно перешло к арабам, которые доставили ему очень распространенное применение как в собственной математической литературе под именем «правила чашек весов» , так и в литературе Европы. Вот так звучало правило: «Рисуй весы и пиши над точкой опоры результат, который получается после указанных в задаче действий над неизвестным числом. Оба ложных положения пиши над чашками весов, погрешности «больше» пиши под весами, «меньше» - над весами. Ложные положения и погрешности умножить накрест. Бери разности произведений, если погрешности находятся по одну сторону от весов, бери их суммы, если погрешности стоят по разные стороны».

Пример оформления решения для «правила чашек весов»

Из западноевропейских арифметических положений оно перешло в русские арифметические рукописи XVIII в., в «Арифметику» Леонтия Филипповича Магницкого и в учебники XVIII и даже начала XIX вв. Как и арабы, русские ввели в обращение только правило двух ложных положений, о величестве и могуществе которого имели очень большое представление.

В настоящее время это правило практически не используется и представляет интерес только для историков математики.

Правило распространялось и использовалось в мире на протяжении тридцати веков. Многие ученые из разных стран приняли в этом участие: древнекитайские, египетские, индийские, арабские, европейские, русские.

Применение метода двух ложных положений при решении задач из «Арифметики»

Л.Ф. Магницкого

Решение:

I возможность (результат двух вычислений оказывается больше данного числа)

1. Предположим, что неизвестное число есть 144.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3• 144 = 48 , 144 + 48 = 192

1/6 • 192 = 32, 192 – 32 = 160

160 ≠ 100

Вывод: не угадали, результат вычисленный больше 100.

2. Предположим, что неизвестное число есть 108.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 • 108 = 36, 108 + 36 = 144

1/6 • 144 = 24, 144 – 24 = 120

120 ≠ 100

Вывод: не угадали, результат вычислений больше 100.

3. По результатам двух неудачных попыток можно найти искомое число.

Вычисляем, на сколько мы ошиблись:

1 случай: 2 случай:

160 – 100 = 60 120 – 100 = 20

Перемножим числа:

108 • 60 = 6480

144 • 20 = 2880

Разделим разность произведений на разность ошибок:

6480 – 2880 = 3600

60 – 20 = 40

3600 : 40 = 90

Значит, искомое число равно 90.

II возможность (результат одного из вычислений больше, а другого – меньше данного)

Предположим, что это число есть 72.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 • 72 = 24 72 + 24 = 96

1/6 • 96 = 16 96 – 16 = 80

80 ≠ 100

Не угадали, результат вычислений меньше 100.

Предположим, что это число есть 99.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3• 99 = 33 99 + 33 = 132

1/6 • 132 = 22 132 – 22 = 110

Не угадали, результат вычислений больше 100.

Вычисляем, насколько мы ошиблись:

100 – 80 = 20 110 – 100 = 10

Перемножим числа:

72 • 10 = 720 99 • 20 = 1980

720/30+1980/30=2700/30

Получили 90

III возможность ( результат двух вычислений оказывается больше данного числа)

Предположим, что это число есть 81.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 • 81 = 27 81 + 27 = 108

1/6• 108 = 18 108 – 18 = 90

Не угадали, результат вычислений меньше 100.

Предположим, что это число есть 72.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3• 72 = 24 72 + 24 = 96

1/6• 96 = 16 96 – 16 = 80

Не угадали, результат вычислений меньше 100.

Вычислим, насколько мы ошиблись:

90 – 100 = -10 80 – 100 = -20

81 • (-20) = -1620 72 • (-10) = -720

Разность произведений разделим на разность ошибок:

-900/-10 = 90

Получили 90.

Ответ: искомое число равно 90

В задачах подобного типа возможны три варианта решения в соответствии с правилом двух ложных положений:

• результат двух вычислений оказывается больше данного числа,
• результат одного из вычислений больше, а другого – меньше данного,
• результат двух вычислений оказывается меньше данного числа.

Если оба результата вычислений больше или меньше данного числа, нужно делить разность произведений на разность ошибок.

Если же один из результатов окажется меньше данного числа, а другой больше, то искомое число можно найти, разделив сумму произведений на сумму разностей.

Задача 1. Найти такое число, что если к нему добавить третью часть и от полученной суммы отнять её шестую часть, то будет 100.

Сравнительный анализ старинного и современного способов решения некоторых задач.

Задача 1. Найти такое число, что если к нему добавить третью часть и от полученной суммы отнять её шестую часть, то будет 100.

Решение:

Пусть x – искомое число.

Тогда его треть равна х/3.

Сумма числа с его третей частью равна x +х/3 =4х/3 . После вычитания из полученной суммы

шестой части получим

4х/3-(1/6)*(4х/3)= 4х/3-2х/9=10х/9,

что по условию задачи равно 100.

Решаем уравнение, получаем x = 90.

Значит, искомое число равно 90.

Ответ: искомое число равно 90

Задача 4. Два человека хотят купить корову. Говорит первый второму: «Если ты дашь мне твоих денег, то я один смогу заплатить цену». А второй отвечает первому: «Дай мне твоих денег, тогда и я заплачу за нее цену». Сколько у каждого из них денег, если корова стоит 24 рубля?

Решение:

Пусть x – количество денег у первого человека, а y – количество денег у второго человека. Составим систему уравнений:

x+2/3y=24

3/4x+y=24

Выразим х из первого уравнения и подставим во второе, получим

х=24-2/3у

3/4(24-2/3у)+у=24

решаем

18 – 1/2 y +y = 24

1/2 y = 6

y = 12

Следовательно, у второго человека было 12 рублей, а у первого человека было 24 – 8 = 16 рублей.

Ответ: у первого было 16 рублей, а у второго – 12

Проведем сравнительный анализ решений задач из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого методом двух ложных положений и современным способом.

Вывод: для решения данной задачи потребовалось умение решать линейные уравнения с дробными коэффициентами. Это уровень пятого и шестого классов современной школы.

Вывод: для решения данной задачи потребовались умения: составить и решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными с дробными коэффициентами. Это уровень восьмого и девятого классов современный школы.

Современными методам решения уравнений мы обязаны поискам древних ученых. Теория уравнений продолжает развиваться и в настоящее время.

29 Сентябрь, 2016