Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по математике по теме "Логарифмы"»
План:
Определение.
Свойства.
Десятичные и натуральные логарифмы.
Логарифмическая функция, ее свойства и график.
Решение логарифмических уравнений и неравенств.
0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить b . Основное логарифмическое тождество: a log a b = b , где b0, a0" width="640"
Определение логарифма:
Логарифмом положительного числаbпо основаниюa , где a0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить b .
Основное логарифмическое тождество:
alogab= b, где b0, a0
Действие нахождения логарифма называется логарифмированием.
Свойства логарифмов:
Loga(bc)=logab+ logac
Loga(b/с)=logab-logac
Logabr=rlogab
Logab=logcb/logca
Logab=1/logba
alogbc= clogba
Logarb=1/rlogab
alogab= b
Десятичные и натуральные логарифмы:
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10. Записывается lgb
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e , где e -иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом записывается lnb
0, если a 1, и убывающей, если 0 Если a1 , то функция y=log a x принимает положительные значения при x1 , отрицательные при 0 1. Если 0 то функция y=log a x принимает положительные значения при 0 1, отрицательные при x 1. Логарифмическая функция y=log a x и показательная функция y=a x , где a0, a ≠ 1, взаимно обратны." width="640"
Логарифмическая функция.
Логарифмическая функция:y=logax
Свойства:
Множество значений логарифмической функции -множество всех положительных чисел
Множество значений логарифмической функции-множествоRвсех действительных чисел.
Логарифмическая функцияy=logaxявляется возрастающей на промежуткеx0, еслиa1, и убывающей, если 0
Еслиa1, то функцияy=logaxпринимает положительные значения приx1, отрицательные при01. Если 0то функцияy=logaxпринимает положительные значения при 01, отрицательные приx1.
Из этого равенства по определению логарифма получаем:
( x +1)( x +3)=8.
Теперь раскроем скобки и решим квадратное уравнение x 2 +4x-5=0 , откуда x 1 =1, x 2 =-5
При X 2 =-5 числа ( x+1 и x+3 )
Ответ. X=1
Решение систем:
Решить систему уравнений:
log 2 x - log 2 y = 1,
4y 2 +x - 12= 0.
Решение:
Из первого уравнения выразим x через y :
log 2 x /y=log 2 2, x/y=2, x=2y. Подставив x=2y во второе уравнение системы, получим 4y 2 +2y – 12=0, откуда y 1 = 3 / 2 , y 2 =-2. Найдем значения x : x 1 =3, x 2 =-4. Проверка показывает, что -4 и -2 – постороннее решение.
Ответ.X=3, y=3/2.
3. Используя свойства логарифма, получаем: log 2 (x-3) (x-2 ) ≤ log 2 2. Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, поэтому при x3 неравенство log 2 (x-3) (x-2 ) ≤ log 2 2 выполняется при (x-3)(x-2)≤2. Это неравенство можно записать в виде системы уравнений: (x-3)(x-2) ≤2 X3 /////////////// /////// 0 1 3 4" width="640"
Логарифмические неравенства:
Решить неравенство:
log 2 (x-3) + log 2 (x-2) ≤ 1
Решение:
О.о. X3.
Используя свойства логарифма, получаем:
log 2 (x-3) (x-2 ) ≤ log 2 2. Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, поэтому при x3 неравенство log 2 (x-3) (x-2 ) ≤ log 2 2 выполняется при (x-3)(x-2)≤2. Это неравенство можно записать в виде системы уравнений: