Конспект и презентации к уроку по теме "Тригонометрические уравнения"

Автор: Расихина В.А.

Цели:

• Повторить и проконтролировать знания учащихся по рассматриваемой теме, подготовиться к контрольной работе по решению различных типов уравнений.

• Продолжить развитие умения решать различные виды тригонометрических уравнений при решении более сложных уравнений.

• Воспитывать дружеское отношение между учащимися при проведении урока.

Оборудование.

1.Презентация «Решение тригонометрических уравнений»

ХОД УРОКА.

Сегодня на уроке мы приступим к обобщению материала по тригонометрии, а именно начнём повторять «Тригонометрические уравнения». Целью нашего урока будет повторение методов решения тригонометрических уравнений. (1 слайд) Эпиграф урока:«Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по- моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно»

А. Эйнштейн

Для того, что бы вы смогли себя оценить в конце урока, я приготовила вам оценочные листы. Вы себя можете оценить на каждом этапе, независимо от того, участвовали вы в работе, или нет. Если я вас не спросила по тому или иному вопросу, вы, всё – равно, поставьте себе оценку.

Записать на доске:

1)кто выполнил самостоятельно – «5»

2)те, у кого появились трудности при выполнении работы или обращались за помощью – «4»

3)если есть ошибки - «3»

4)если работа не выполнена- «2»

Что вы уже знаете по теме? (2 слайд)( Они диктуют, я пишу на маленькой доске.)(3 слайд) Простейшие тригонометрические уравнения, приёмы решения простейших тригонометрических уравнений, методы решения более сложных уравнений)

На что вы хотели бы обратить внимание?

На доске: хотели бы повторить:

(Какие уравнения относятся к простейшим? Слайд 4)(Уравнения вида )

Повторим решение каждого из этих уравнений.(Слайд5, слайд6, слайд7, слайд 8)

Считаем устно(слайд9) arcsin(-1) аrccos 

аrcsin1/2 аrcsin 

arccos(-1) аrccos (-

аrccos(-1/2) аrccos1/2

arctg1 аrcsin(-

arctg(-1) arctg 

arcсtg1 аrcсtg 

аrcсtg(-1)

Считаем устно: имеет ли смысл выражение? (Слайд10)

а) arc sin 2;

б) arc sin (2-1);

в) arc cos / 2 ;

г) arc cos (-1/2)

д) arc ctg (2+1)²?

Решим несколько простейших тригонометрических уравнений.Слайд11)

Давайте вернёмся к остальным методам.(Слайд 11) Дадим им характеристику. (На доске выписываем методы)

Устно. Сгруппировать предложенные уравнения по способам решения. (Слайд 12)

Простейшие: sin x = 1/2; 2 sin (2x-1) = 1; tg x = 10^°.

К квадратному: cos² x – 3 cos x = 4; 3 sin² 3x + 7 cos 3x – 3 = 0.

Однородное: sin² x + 3 sin x cos x – 15 cos² x=0.

Вынесение множителя: 2 cos² x + cos х = 0.

Вспомогательный аргумент: 3 sin x + 4 cos x = 5.

По формулам: sin x – sin 7x = cos 4x.

Письменно. По карточкам. Выбрать тип уравнения (нужное обвести).

Карточка 1.

1. sin x = 2/2, (1, 2, 3, 4, 5, 6 ).

2. 2 cos x - 2 cos² x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6 ).

3. 5 sin² x + 3 cos x sin x - cos² x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

4. 24 cos x – 10 sin x = 26, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

5. cos 3x + sin 6x = cos 9x, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Карточка 2.

1. cos² x + sin x = 1, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

2. 3 cos x + sin 2x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

3. cos x – 3 sin x cos x + sin² x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

4. 6 sin x + 8 cos x = 10, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

5. cos 3x + cos 6x = sin x, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

6. sin (3x + 1) = 1, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Карточка 3.

1. cos² x + sin x cos x – 5 sin² x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

2. tg 3x = 5, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

3. sin x - 2 sin 2x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

4. cos x + sin x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

5.sin x – 6 sin x + 1 = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Карточка 4.

1. cos² x + 5 cos x + 1 = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

2. sin x = - 2/2, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

3. sin x + cos x sin x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

4. cos 3x + cos 4x = sin x, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

5. 40 sin x + 41 cos x = 49, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Карточка 5.

1. sin x = - 1/2, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

2. cos² x – 3 sin x cos x + sin x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

3. 2 sin² x + sin х = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

4. 12 sin x + 5 cos x = 13, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

5. cos 3х + cos 4x = sin 3,5x, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Карточка 6.

1. sin² x + 5 sin x + 1 = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

2. cos² x- cos x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

3. cos² x + sin x cos x + sin² x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

4. sin x = 1/2, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

5. 3 sin х + 4 cos x = 5, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

6. sin x + sin 7x = cos 4x, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Решить уравнения (фронтальная работа).

1. 2 cos² x + 21cos x + 10 = 0, (сведением к квадратному уравнению).

2. sin 2x + 2 sin x = 0, (разложением на множители).

3. 5 sin x ctg x – sin x – 5 ctg x +1 = 0, (разложением на множители способом группировки).

4. sin x – sin 7x = cos 4x, (по формулам).

5. 8 cos x + 15 sin x =17, (введение вспомогательного аргумента).

Вопрос: как можно было решить это уравнение по – другому?

Решить уравнения ( индивидуальная работа по карточкам по уровням сложности)

Карточка 1.

1. 2 sin² x – 3 sin x + 1 = 0.

2. 3 sin x + sin x cos x = 0.

3. sin² x – 2 sin x cos x – 3 cos² x = 0.

Карточка 2.

1. 2 sin² x + 7 cos + 2 = 0.

2. 3 sin x – sin 2x = 0.

3. sin x + sin 3x = 4 cos х.

Карточка 3.

1. 2sin² 2x – 11 sin 2x – 6 = 0.

2. sin 2x + 3 cos x = 0.

3. cos x + cos 2x + cos 3x = 0.

4. 2 sin² x + 7 cos² x = 6 - 3sin x cos x.

5. sin x·cos 3x = sin 2x.

Карточка 4.

1. 2 sin² x – 3 sin x + 1 = 0.

2. 3 sin x + 4 sin x cos x = 0.

3. sin 4x – sin 7x = 0.

4. sin x + sin 3x + sin 5x = 0.

Карточка 5.

1. 4 sin² x – cos x – 1 = 0.

2. 2 cos 2x + sin² x + 5 sin x cos x = 0.

3. 3 sin x cos x = sin² x.

4.. 6 sin x + 8 cos x = 10.

Проверьте себя. Оцените себя, свою работу. Подведение итогов урока.

Ну что ж , молодцы!

Рефлексия:

Повторили ли вы, что хотели? Что ? А как вы считаете, есть ли другие типы уравнений? Методы решения?Хорошо, поищите, попробуйте найти и познакомить всех на следующем уроке. Я познакомлю вас с уравнениями, которые встречались на прошлогоднем экзамене.

Так как у нас осталось время, то я думаю, что мы успеем сделать хотя бы одно задание из ЕГЭ.

Домашние задания по карточкам (учащиеся решают оставшиеся уравнения).

Сколько баллов вы набрали всего? Максимальное количество баллов должно быть –

Какое настроение у вас сейчас после урока?

Давайте оценим его так. Если - , то прикрепляем магнитами к одной доске, если другое, то - магнитами к другой доске. И у меня –

Спасибо всем, урок закончен.

Оценки учащимся за урок с комментариями, оценка классу

Тригонометрические уравнения

«Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по- моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно»

А. Эйнштейн

Что мы знаем о тригонометрических уравнениях?

• Виды простейших тригонометрических уравнений
• Приёмы решения простейших тригонометрических уравнений

Основные методы решения

• Простейшие тригонометрические уравнения
• Введение новой переменной (метод подстановки).
• Разложение на множители.
• Однородные уравнения

( a sin x +bcos х=0;

а sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0)

• Применение тригонометрических формул.
• Введение вспомогательного угла. a sin x + b cos x = c; ( φ = arc sin b/c или φ = arc cos a/c ).

Простейшие тригонометрические уравнения

уравнения

sin x = а

с tg х = а

с os x= а

tg x= а

sinx=a

• Определение arcsin a
• x=(-1) k arcsina+ π k, где k Є z
• a Є [-1;1]
• а rcsin (-a)=- arcsin a
• sin x=0, x= π n, где n Є z
• sin x=1,x= π /2+2 π n, где n Є z
• sin x=-1,x= - π /2+ 2 π n, где n Є z

cosx=a

• Определение arccos a
• x= ± arccosa+2 π n, где n є z
• a є [-1;1]
• arccos (-a)= π - arccosa
• cosx=0, x= π /2+ π n , где n є z
• cosx=1,x= 2 π n, где n є z
• cosx=-1,x= π +2 π n ,где n є z

tgx=a

• Определение arctg a
• x= arctg a+ π n, где n є z
• a є R
• arctg(-a)=-arctga

ctgx=a

• Определение arcctga
• X=arcctga+ π n ,где n є z
• a є R
• arcctg(-a)= π  arcctga

arcsin(-1) а rccos 

а rcsin 1/2 а rcsin 

arccos(-1) а rccos (- 

а rccos (-1/2) а rccos 1/2

arctg1 а rcsin (- 

arctg(-1) arctg 

arc с tg 1 а rc с tg 

а rc с tg (-1)

• а) arcsin  2;
• б ) arcsin (  2-1 );
• в ) arccos π / 2 ;
• г ) arccos (-1/2)
• д ) arcctg (  2+1) 2 ?

Решаем простейшие тригонометрические уравнения

• sinx=1 /2
•   sinx=1
• -2cosx=1
• с os4x=-  /2
• tg(-3x)=- 
• s in(3 π /2- x )=1/2

• Простейшие тригонометрические уравнения
• Введение новой переменной (метод подстановки).
• Разложение на множители.
• Однородные уравнения

( a sin x +bcosх =0;

а sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0)

• Применение тригонометрических формул.
• Введение вспомогательного угла.
• a sin x + b cos x = c;
• ( φ = arc sin b/c или φ = arc cos a/c ).

Устно. Сгруппировать предложенные уравнения по способам решения.

• sin x – sin 7x = cos 4x;
• 3 sin x + 4 cos x = 5;
• sin x = 1/2;
• 2 sin (2x-1) = 1;
• 2 cos 2 x + cos х = 0;
• cos 2 x – 3 cos x = 4;
• 3 sin 2 3x + 7 cos 3x – 3 = 0;
• sin 2 x + 3 sin x cos x – 15 cos 2 x=0 ;
• tg x = 10.

• Карточка 1.
• 1. sin x =  2/2, (1, 2, 3, 4, 5, 6 ).
• 2. 2 cos x -  2 cos 2 x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6 ).
• 3. 5 sin 2 x + 3 cos x sin x – cos 2 x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 4. 24 cos x – 10 sin x = 26, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 5. cos 3x + sin 6x = cos 9x, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

• Карточка 2.
• 1. cos 2 x + sin x = 1, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 2. 3 cos x + sin 2 x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 3. cos 2 x – 3 sin x cos x + sin 2 x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 4. 6 sin x + 8 cos x = 10, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 5. cos 3x + cos 6x = sin x, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 6. sin (3x + 1) = 1, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

• Карточка 3.
• 1. cos 2 x + sin x cos x – 5 sin 2 x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 2. tg 3x = 5, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 3. sin x -  2 sin 2x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 4. cos x + sin x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 5.sin 2 x – 6 sin x + 1 = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

• Карточка 4.
• 1. cos 2 x + 5 cos x + 1 = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 2. sin x = -  2/2, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 3. sin x + cos x sin x = 0, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 4. cos 3x + cos 4x = sin x, (1, 2, 3, 4, 5, 6).
• 5. 40 sin x + 41 cos x = 49, (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Решить уравнения :

• 1. -2 sin 2 x + 21cos x + 12 = 0;
• 2. sin 2x +  2 sin x = 0;
• 3. 5 sin x ctg x – sin x – 5 ctg x +1 = =0;
• 4. sin x – sin 7x = cos 4x;
• 5. 8 cos x + 15 sin x =17;

Карточка 1.

• 1. 2 sin 2 x – 3 sin x + 1 = 0.
• 2. 3 sin x + sin x cos x = 0.
• 3. sin 2 x – 2 sin x cos x – 3 cos 2 x = 0.
• Ответы:1. π /2 +2 π n , n  Z
• (-1) к π /6+ π к, к  Z
• 2. π n , n  Z
• 3. arctg3 + π n , n  Z ; - π /4+ π к, к  Z

• Карточка 2.
• 1. 2 sin 2 x + 7 cos х + 2 = 0.
• 2. 3 sin x – sin 2x = 0.
• 3. sin x + sin 3x = 4 cos x .
• Ответы:

• ± 2 π /3+ 2 π k , k  Z
• π k , k  Z
• π /2+ π k , k  Z

Карточка 3.

• Карточка 3.
• Карточка 3.
• Карточка 3.
• Карточка 3.

• 1. 2sin 2 x – 11 sin 2x – 6 = 0.
• 2. sin 2x +  3 cos x = 0.
• 3. cos x + cos 2x + cos 3x = 0.
• 4. 2 sin 2 x + 7 cos 2 x = 6 - 3sin x cos x.
• 5. sin x·cos 2 x = sin 2x.

Ответы:1. arctg (-11+  97)/4+ π k , k  Z ;

. - arctg (11+  97)/4+ π n , n  Z ;

2 . π /2+ π k , k  Z ; (-1) к+1 π /3+ π n , n  Z

3. π /4+ π k /2, k  Z ; ± 2 π /3+ 2 π n , n  Z

4 . π /4+ π k , k  Z ; - arctg 1/4 + π k , k  Z

5. π k , k  Z ; ±arccos (1 -  3 )/ 2 + 2 π n , n  Z ;

• Карточка 4.
• 1. 2 sin 2 x – 3 sin x + 1 = 0.
• 2. 3 sin x + 4 sin x cos x = 0.
• 3. sin 4x – sin 7x = 0.
• 4. sin x + sin 3x + sin 5x = 0.

Ответы:1. π /2 + π n , n  Z ; (-1) к π /6+ π к, к  Z

2. π n , n  Z ; ± ( π - arccos 3/4)+2 π к, к  Z

3. 2 π к/3, к  Z ; π /11 + 2 π n /11, n  Z

4. π к/3, к  Z ; ± π /3+ π n , n  Z

Карточка 5.

• 1. 4 sin 2 x – cos x – 1 = 0.
• 2. 2 cos 2 x + sin 2 x + 5 sin x cos x = 0.
• 3.  3 sin x cos x = sin 2 x.
• 4 . 6 sin x + 8 cos x = 10.
• Ответ:1. ±arccos 3/4+ π к, к  Z ;

π +2 π n , n  Z

2 . arctg (-5+  17)/2+ π k , k  Z ;

. - arctg (5+  17)/2+ π n , n  Z ;

3. π k , k  Z ; (-1) к+ π /3+ π n , n  Z

4.- arccos 6/10+ π /2+2 π к  Z ;

Простейшие тригонометрические уравнения

«Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по- моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно»

А. Эйнштейн

Цель: повторить

виды простейших тригонометрических уравнений; приёмы решения простейших тригонометрических уравнений

Из истории

тригонометрии

Что мы знаем о тригонометрических уравнениях?

• Виды простейших тригонометрических уравнений
• Приёмы решения простейших тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения

уравнения

sin x = а

с tg х = а

с os x= а

tg x= а

sinx=a

• Определение arcsin a
• x=(-1) k arcsina+ π k, где k Є z
• a Є [-1;1]
• а rcsin (-a)=- arcsin a
• sin x=0, x= π n, где n Є z
• sin x=1,x= π /2+2 π n, где n Є z
• sin x=-1,x= - π /2+ 2 π n, где n Є z

cosx=a

• Определение arccos a
• a є [-1;1]
• x= ± arccosa+2 π n, где n є z
• arccos (-a)= π - arccosa
• cosx=0, x= π /2+2 π n , где n є z
• cosx=1,x= 2 π n, где n є z
• cosx=-1,x= π +2 π n ,где n є z

tgx=a

• Определение arctg a
• x= arctg a+ π n, где n є z
• a є R
• arctg(-a)=-arctga

ctgx=a

• Определение arcctga
• x=arcctga+ π n ,где n є z
• arcctg(-a)=  arcctga
• a є R

arcsin(-1) а rccos 

а rcsin 1/2 а rcsin 

arccos(-1) а rccos (- 

а rccos (-1/2) а rccos 1/2

arctg1 а rcsin (- 

arctg(-1) arctg 

arc с tg 1 а rc с tg 

а rc с tg (-1)