История возникновения дробей

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………..
Глава I. Обыкновенных дробей
Истории возникновения обыкновенных дробей…………………………. Что такое дробь, виды дроби……………………………………………….
1.3 Дроби в повседневной жизни………………………………………………..
Глава II. Старинные задачи с использованием обыкновенных дробей. 2.1 Решение старинных задач ………………………………………………….. 2.2 Анкетирование обучающихся 5 класса…………………………………….. Заключение………………………………………………………………………………. Список источников …………………………………………………………………… Приложение …………………………………………………………………………….

Введение

Еще в 5-м классе мы начали изучать дроби. Это очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними. С первого знакомства с ними было понятно, что без них не обойтись даже в обычной жизни, так как нам каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и нам даже в определенный момент кажется, что нас больше окружают не целые, а дробные числа. Мне стало интересно узнать: как и когда они появились, в этом и заключается актуальность проекта. Нужны ли дроби? Важны ли они? Как часто в повседневной жизни мы сталкиваемся с ними? Какие профессии не могут обойтись без дробей?

        Цель моего проекта: знакомство с историей развития понятия обыкновенной дроби, выявление необходимости и важности использования дробей при решении практических задач.

Задачи проекта:

1. Изучить историю возникновения дробей

2. Узнать, что такое дробь, какие виды дроби существуют

3. Рассмотреть применение дробей в повседневной жизни

4. Решить старинные задачи с использованием обыкновенных дробей.

5. Провести анкетирование в 5 классе

6. Разработать презентацию на тему «Обыкновенные дроби во круг нас»

Методы исследования: анкетирование, сравнение, обобщение, анализ, изучение литературы и интернет ресурсов.

Практическая значимость состоит в том, что материалы данного проекта могут применяться на классных часах, уроках математики и во внеурочной деятельности.

Глава I. Обыкновенные дроби

1. История возникновения обыкновенных дробей.

История возникновения дробей, как ни странно ведется еще с ранней стадии развития человечества. Так, например, первобытным людям приходилось делить добычу между участниками охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу охотников. Им приходилось делить 2 животных на трёх охотников. Вот и получал каждый 2/3 добычи. В результате стали появляться дробные числа. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины. Люди встретились с измерениями длин, площадей земельных участков, объемов, массы тел. При этом случалось, что единица измерения не укладывалась в целое число раз в измеряемой величине. Например, измеряя длину участка шагами, человек встречался с таким явлением: в длине укладывалось десять шагов, и оставался остаток меньше одного шага. Поэтому второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения. В связи с этой необходимой работой люди стали употреблять выражения: половина, треть, четверть шага. Можно сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения величин.

Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Русский термин «дробь», как и его аналоги в других языках, происходит от латинского «fractura», который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять, делить.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два».

Система записи дробей, правила действий с ними заметно различались как у разных народов, так и в разные времена у одного и того же народа. Важную роль играли также многочисленные заимствования идей при культурных контактах различных цивилизаций. Народы прошли через многие варианты записи дробей, пока не пришли к современной записи.

У римлян основной единицей измерения массы, а также и денежной единицей служил «асс». Асс делился на 12 равных частей - унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть ¹/₁₂, ²/₁₂, ³/_12. Со временем унции стали применяться для измерения любых величин. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо ¹/₁₂ римляне говорили «одна унция», ⁵/₁₂ – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной. Данная система измерения до сих пор используется на мировом рынке драгоценных металлов.

У Египтян были основные, или единичные дроби.  На протяжении многих веков египтяне именовали дроби “ломаным числом”, а первая дробь, с которой они познакомились, была 1/2. За ней последовали 1/4, 1/8, 1/16, …, затем 1/3, 1/6, …, т.е. самые простые дроби называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является математический папирус Ринда. Папирус Ринда включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф (ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию (см. приложение № 1).

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (больше чем 1/2) (см. приложение № 2).

У жителей Вавилона использовались шестидесятеричные дроби, то есть те, у которых в знаменателе всегда была цифра 60. Кстати, именно от этой системы мы получили в наследство деление часа и геометрические углы.

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах можно найти следующие названия дробей на Руст: полтина, четь, треть, полтреть и т. д. (см приложение № 3). Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

А вот история возникновения десятичных дробей, которыми мы пользуемся сегодня, ведется из древнего Китая. Они обозначали дробь словами, используя меры длины чи,  цуни,  доли, порядковые,  шерстинки,  тончайшие,  паутинки.

Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученного ал-Каши в 20-х годах XV века. Среднеазиатский город Самарканд был в XV веке большим научным центром. Там в знаменитой обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком, внуком Тамерлана, и работал в 20-х годах XV века крупный ученый того времени – Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях в своей книге «Ключ арифметики», написанной в 1427 г. Он вводит специфическую для десятичных дробей запись: целая и дробная часть   пишутся в одной строке. Для отделения первой части от дробной он не применяет запятую, а пишет целую часть черными чернилами, дробную же – красными или отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой.

Но открытие десятичных дробей ал-Каши стало известно в Европе лишь спустя 300 лет после того, как эти дроби были в конце XVI века заново открыты фламандским инженером и ученом Симоном Стевиным (1548-1620). Его и считают создателем десятичных дробей. В своей книге «Десятая» он старается убедить людей пользоваться десятичными дробями, говоря, что при их использовании "изживаются трудности, распри, ошибки, потери и прочие случайности, обычные спутники расчетов". Он писал цифры дробного числа в одну строку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их.

В XVII века происходит активное внедрение дробей в науку, вследствие чего, вместо разделительной полоски, в дробь была введена точка.  А в 1617 году шотландский математик Джон Непер предложил ввести в качестве разделителя дроби – запятую. Именно благодаря этому мы и получили те дроби, которыми пользуемся сегодня.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби, хотя по сути они повторяют их.

1.2 Что такое дробь, виды дроби

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дробь выражается отношением двух целых чисел m/n, где n - показывает на сколько долей разделена единица, а m – показывает сколько таких долей содержится в дроби.

В математике применяются следующие виды дробей:

• Обыкновенная дробь

  • Правильная дробь

  • Неправильная дробь

  • Смешанная дробь

• Десятичная дробь

Обыкновенная дробь имеет вид или m/n где m и n - натуральные числа. Делимое (m) - называют числителем дроби, делитель (n) - называют знаменателем данной дроби. Горизонтальная или косая линия в дроби обозначает деление.  Черта наклонная называется-«солидус», а горизонтальная–«винкулум».
Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь называется правильной (например 3/7), если больше или равен - неправильной (например 7/3).

Числа, в состав которых входит целое число и правильная дробь, называются смешанными. Целое число называют целой частью смешанного числа, а правильная дробь называется дробной частью смешанного числа. Например, для смешанной дроби   число 3 - целая часть,  а 2/5 - дробная.

Десятичная дробь, это дробь, которая записывается без знаменателя.
Выглядят они так: 5,6; 3,17; 0,17 и т.д. На самом деле это особая запись обыкновенных дробей, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д.

. 2.3 Дроби в повседневной жизни

В настоящее время в науке и во всех отраслях народного хозяйства десятичные дроби и частный их вид, проценты, применяется намного чаще, чем обыкновенные дроби. Невозможно представить ни одну отрасль промышленности или сельского хозяйства, или строительства, где бы в расчётах не встречалось дробных чисел. Мы привыкли пользоваться благами цивилизации – автомобилем, телефоном, телевизором и прочей техникой, делающей нашу жизнь легче и интереснее. А сколько расчётов и вычислений делают конструкторы, инженеры, чтобы на свет всё время появлялись новинки, и везде в расчётах инженеров - конструкторов присутствуют дроби! Приведу такой пример. У нас в России стали выпускать новый современный пассажирский лайнер «Сухой Суперджет 100». Он имеет много положительных характеристик. Особенностью самолёта стал интерьер – 93 места с шагом кресел 86,36 см, что позволяет пассажирам чувствовать себя достаточно свободно: обычно у авиакомпаний этот шаг составляет 76,2 – 78,74 см. И это не является прихотью инженеров-конструкторов, а следствием точного расчета, основанного на полученных научных данных.

Еще в стародавние времена русские мастера-строители для того, чтобы получить качественный материал, например кирпич для строительства, использовали дроби, добавляя к определенным долям глины, определенные доли золы, извести и других компонентов. Именно поэтому храмы и церкви, возведённые в 9-11 веках, дошли до нас, что подтверждает высокое качества строительных материалов.

Десятичные дроби используются в различных отчётных документах в медицине, образовании, торговле, налоговой службе. А какая точность нужна в фармацевтике! При составлении лекарственных препаратов нужно предельное внимание при обращении с дробями.

А как близки дроби спортсменам! Возьмём для примера самый простой вид спорта – бег. В 1936 году легендарный Джесси Оуэнс в беге на 100 метров установил рекорд – 10,2 секунды. В течение двух десятков лет этот рекорд был пределом спортсменов-спринтеров. На Олимпиаде в Мехико в 1968 год этот рекорд был, наконец, побит – 9,9 секунды. В 2009 г. на данной дистанции установлен новый мировой рекорд – 9,58 секунды. Это время, показанное ямайским бегуном Усэйном Болтом, остается действующим мировым рекордом.

Интересна история золотой медали в конькобежном спорте на зимней Олимпиаде в Санкт-Мориц (Швейцария, 1948 г.). Оказывается, эту медаль не получил ни один конькобежец. На 2 месте пьедестала стояли 3 человека, на 3 месте – 2 человека, а 1 место осталось свободным. Вся причина опять же в десятичных дробях. В то время не учитывались сотые доли секунды, результаты у спортсменов оказались одинаковыми. Сейчас спортсмены борются даже не за десятые, а за сотые доли секунды! 0,01 доля секунды так мала, что за это время человек даже не успевает мигнуть. Судьбу призового места решает фотофиниш, который позволяет учитывать такие малые дробные числа. Сотые доли секунды позволили и мне завоевать золотую медаль в плавании вольным стилем на дистанции 50 метров.

Учащиеся музыкальной школы знакомятся с дробями раньше, чем в общеобразовательной школе. С первых дней занятий дети знакомятся с такими понятиями как размер и длительности нот. Счёт длительностей в музыке ведётся от целой ноты, которая считается до четырёх. В целой ноте 2 половинные, 4 четверти, 8 восьмых, 16 шестнадцатых. Так музыка живёт в согласии с математикой.

Дробные числа окружают нас и в быту, их можно отыскать и в комнате. Измеряя длину и ширину различных предметов, я ни разу не встретился с целым числом. В прошлом году перед ремонтом мы с папой решили две практические задачи с применением дробей, что помогло нам понять, сколько требуется обоев и краски для ремонта.

Моя мама бухгалтер, и она рассказала мне, что в бухгалтерии также используются дроби. Например, чтобы правильно рассчитать заработную плату и налоги, причитающиеся к уплате в бюджет, понадобятся десятичные дроби. Так ставка налога в Фонд медицинского страхования в 2015 году составляет 5,1%, а в Фонд социального страхования 2,9%.

И на кухне встречаются дроби. Поварам нужны дроби для соблюдения пропорции при приготовлении блюда, расчета калорийности. Но сначала нужно купить определенное количество продуктов и рассчитать пропорции ингредиентов в составе блюда. Само блюдо нужно умело поделить на порции, в чем опять нам помогут дроби. В различных рецептах приготовления часто требуется взять 1/3 стакана сахара или 1/2 чайных ложки соды и т. д.

Дроби проникли даже в детскую художественную литературу! Например, в сказке Лии Гераскиной «В стране невыученных уроков» несчастный Витя Перестукин получил ответ своей задачи -1,5 землекопа. А в стихотворении Самуила Яковлевича Маршака «Про одного ученика и шесть единиц» одну из единиц ученик получил за неумение решать задачи на дроби.

Пример1: В швейную мастерскую привезли 320 метров ленты. В тот же день израсходовали  1/8 всей ленты. Сколько метров ленты осталось в мастерской?

Решение

1) 320 : 8 * 1 = 40 (м) ленты израсходовали в тот день;

2) 320 – 40 = 280 (м).

Ответ: в мастерской осталось 280 метров ленты.

Пример2:

Столяр должен изготовить 48 табуретов. Сколько всего дней понадобится столяру для выполнения работы, если за 1 день он выполнил  1/8 её часть?

Решение

1) 48 : 8 * 1 = 6 (дней).

Ответ: для выполнения работы столяру понадобится 6 дней.

Пример3: В магазине за один день было продано 16 кг сахара и 56 кг муки. Остальных сыпучих продуктов было продано 3/4  части от массы муки и сахара. Сколько в магазине было продано других сыпучих продуктов?

Решение

1) 16 + 56 = 72 (кг) сахара и муки было продано;

2) 72 : 4 * 3 = 18 * 3 = 54(кг).

Глава II. Старинные задачи с использованием обыкновенных дробей.

В древних рукописях и старинных учебниках арифметики разных стран встречается много интересных задач на дроби. Решение каждой из таких задач требует немалой смекалки, сообразительности и умения рассуждать.

Задача1Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

- Сколько приводишь ты из своего многочисленного Пастух отвечает:

- Я привожу две трети от трети скота. Сочти, сколько быков в стаде?

Папирус Ахмеса (Египет, около 2000 лет до н.э.).

Решение

1)70:2*3=105-быков-треть стада.

2)105*3=315-быков в стаде.

Ответ: 315 быков в стаде.

Задача2Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально

Акмимский папирус (VI в.)

Решение:

1)другой взял 1/17, значит оставил 16/17.

2) 192:16*17=204-сокровищ оставил некто. Это составляет 12/13 всех сокровищ

3)204:12*13=221-сокровищ было в сокровищнице первоначально

Задача3.Спросил некто у учителя: « Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил:« Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и пол столько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько было у учителя учеников?

Л. Ф. Магницкий «Арифметика» (1703г.)

Решение: Число всех учеников класса изобразим отрезком.

Поделим отрезок на 4-и равные части. Изобрази отрезками число приходящих учеников. Всего 100-1=99, А частей отрезков 11. Значит одна часть равна 99:11=9 учеников. Всего в классе 9*4=36 учеников.

Решение

ученики класса

столько

пол столько четверть столько

Задача 4 Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял 7/10 всех денег, а жена 690 руб. Сколько было всех денег?

Л. Н. Толстой «Арифметика»

Решение:

1)1-7/10=3/10-всех денег взяла жена.

2)690:3*10=2300(руб.)-было денег.

Дроби в мультфильмах

Задача № 1

У Ослика был День рождения. Ослик пригласил 6 гостей. Вовремя пришлитолько 2/3 от числа приглашённых. Сколько гостей опоздало на День рождения к Ослику?

Решение:

1)6:3*2=4(г.)-пришли вовремя.

2)6-4=2(г.)-опоздали.

Ответ: 2г.

Задача № 2

Лосяш открыл десятую планету под названием Железяка.

На этой планете жило 2800 роботов. 1/140 часть роботов заржавели и сломались. Сколько роботов ещё работают на планете?

Решение:

1)1-1/140=139/140-часть роботов работают.

2)2800:140*139=2780-роботов работают.

Ответ:2780 роботов.

Задача №3

Гарфилд посадил 6 цветочков. Сколько ещё ему осталось посадить если он посадил 3/7части от всех цветочков?

Решение:

1)6:3*7=14-цветочков всего надо посадить.

2)14-6=8-цветочков осталось посадить Гарфилду.

Ответ: 8 цветочков.

Задача№4
Матроскин подоил корову. половину молока он продал на рынке, 1/6 всего молока они отдали Печкину.

Остальное молоко оставили себе.

Сколько молока надоил матроскин если они оставили себе 5лмолока.
Решение:

1)1-(1/6+1/2)=2/6=1/3-части молока они оставили себе.

2)5:1*3=15(л)-надоили молока.

Задача №5

Свинка Пеппа решила посадить цветочный сад. Длина участка равна 8м, а ширина составляет ¾ от длины. Сколько метров изгороди надо купить папе Свину?

Решение:

1) 8:4*3=6м-ширина.

2) (8+6)*2=28м-длина изгороди.

Ответ:28м

2.2 Анкетирование обучающихся 5 класса

Мы провели анкетирование в классе для того, чтобы понять на сколько хорошо, обучающиеся знают и умеют решать задачи с обыкновенными дробями.

1. Знаете ли вы что такое обыкновенные дроби?

В классе 30 человек все ответили ДА. (100%)

1. Умеете ли вы решать задачи с обыкновенными дробями?

Из 30 человек 24 ответили ДА (24/30), а 6 ответили ЗАТРУДНЯЮСЬ (6/30).

1. Знаете ли вы что означает дробная черта?

Из 30 человек 26 ответили ДА (25/30), а 4 ответили НЕТ (5/30).

1. Знаете ли вы какую дробь называют правильной?

Из 30 человек 26 ответили ДА (26/30), а 4 ответили НЕТ(4/30).

1. Как складывать дроби с одинаковым знаменателем?

Из 30 человек 23 ответили ДА(23/30), а 7 ответили НЕТ (7/30).

По результату анкеты стало понятно, что большинство класса знают, что такое обыкновенная дробь и умеют решать задачи различной сложности. Мы решили по каждому вопросу составить с одноклассниками обыкновенные дроби, тем самым закрепить изученный материал.

Заключение.

Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, был в почете. Автор старинной славянской рукописи XVв. пишет: «Несть се дивно, что …в целых, но есть похвально, что в долях…».

Я сделала вывод, что история обыкновенных дробей - это извилистая дорога со многими препятствиями и трудностями. При работе над проектом я узнала много нового и интересного. Прочитала много книг и правил про обыкновенные дроби.  Сама попробовала решать и составлять занимательные задачи, разбирала решение приведенных в текстах примеров и задач. Ответ на вопрос, который я задала себе перед началом работы над проектом: обыкновенные дроби необходимы, они важны. Интересно было готовить презентацию в помощь учителю математики.

Считаю, что цель проекта: «знакомство с историей развития понятия обыкновенной дроби, выявление необходимости и важности использования дробей при решении практических задач» нами достигнута. Задачи, которые я ставила перед началом, считаю, мною выполнены. Математические методы и формулы широко используются в медицине, экономике, производстве, швейном деле, фармацевтике, и это далеко не весь список областей, где необходимы математические расчеты. При помощи обыкновенных дробей, мы добились решения поставленных Задач!

Список источников

1. Выгодский, М.Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире

   1. - М.: Издательство МНИИПУ, 2005. - 762с

2. Глейзер, Г.И. История математики в школе

   1. - М.: Издательство Просвещение, 1982. - 320с

3. Дорофеев Г.В. « Из истории дробей»

   1. - М.: Издательство Просвещение, 2007. - 327с

4. Фридман Л.М. Изучаем математику

   1. - М.: Издательство Волго-Вят. кн. ,1991. -204с

5. www.referatwork.ru

6. http://storyof.ru/chisla/istoriya-poyavleniya-matematicheskoj-drobi/

7. http://www.researcher.ru/methodics/teor/

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 10

Информационно- познавательный проект

по математике

« Из истории числа 0»

Выполнила:

Зайцева Екатерина Вячеславовна

МОУ «СОШ № 10» класс 5а

Наставник:

Казакова Надежда Сергеевна

учитель математики МОУ «СОШ № 10»

Кыштым, 2021

Скачано с www.znanio.ru