kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Алгоритм исследования функции

Нажмите, чтобы узнать подробности

Возрастающая функция на отрезке [a,b] (или интервале, или множестве) — это такая функция f(x), что для любыхx1<x2 из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство f(x1)<f(x2). В случае выполнения нестрогого неравенства f(x1)≤f(x2) функция называется неубывающей на отрезке.

Убывающая функция на отрезке [a,b] (или интервале, или множестве) — это такая функция f(x), что для любых x1<x2 из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство f(x1)>f(x2). В случае выполнения нестрогого неравенства f(x1)≥f(x2) функция называется невозрастающей на отрезке.

Если функция является убывающей или возрастающей, то она называется монотонной функцией.

Пример: функция y=lnx является возрастающей.

Пример: функция y=−3x+2 является убывающей.

Точки экстремума

x0 — точка максимума функции f(x), если для всех достаточно близких точек x верно неравенство f(x)≤f(x0).

x0 — точка минимума функции f(x), если для всех достаточно близких точек x верно неравенство f(x)≥f(x0).

Точка экстремума — это точка максимума либо точка минимума функции.

Точка минимума

Точка максимума

f(x1)

f(x2)

y

x

x1

x2

Признак возрастания и убывания функции

Функция f(x) возрастает на промежутке (a;b), если производная f′(x)>0 на этом промежутке.

Функция f(x) убывает на промежутке (a;b), если производная f′(x)<0 на этом промежутке.

Признаки максимума и минимума функции

b

a

x0

Если функция f(x)  возрастает на промежутке  (a;x0)  и убывает на промежутке  (x0;b), то  x0  является точкой максимума функции .

Признак максимума функции выполняется, если:

  • f′(x)>0 на промежутке (a;x0)
  • f′(x)=0 в точке x0
  • f′(x)<0 на промежутке (x0;b)

b

a

x0

Если функция убывает на промежутке (a;x0)  и возрастает на промежутке  (x0;b), то  x0  является точкой минимума функции .

Признак минимума функции выполняется, если:

  • f′(x)<0 на промежутке (a;x0)
  • f′(x)=0 в точке x0
  • f′(x)>0 на промежутке (x0;b)
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Алгоритм исследования функции »

( алгоритм)  I курс алгебра

( алгоритм)

I курс

алгебра

Алгоритм  Найти область определения функции Определить чётность функции Найти точки пересечения графика с осями координат  Найти f ´(x) – производную функции Найти критические точки функции  Установить промежутки монотонности и экстремумы Найти значения функции в критических точках  Полученные сведения о производной функции и о функции поместить в таблицу Построить график функции 1 2 3 4 5 67 Примеры

Алгоритм

  • Найти область определения функции
  • Определить чётность функции
  • Найти точки пересечения графика с осями координат
  • Найти f ´(x) – производную функции
  • Найти критические точки функции
  • Установить промежутки монотонности и экстремумы
  • Найти значения функции в критических точках
  • Полученные сведения о производной функции и о функции поместить в таблицу
  • Построить график функции

1 2 3 4 5 67

Примеры

Область определения функции  функция задаётся формулой  область определения – это множество значений аргумента “x”  функции, при которых выполняются действия, указанные в формуле  область определения обозначается “D”  при нахождении области определения надо обращать внимание на действия: деление, извлечение квадратного корня ; У = х 2 +1 у у у У = √ х х 0 0 х х 0 У = - 6 /х

Область определения функции

  • функция задаётся формулой
  • область определения – это множество значений аргумента “x” функции, при которых выполняются действия, указанные в формуле
  • область определения обозначается “D”
  • при нахождении области определения надо обращать внимание на действия: деление, извлечение квадратного корня ;

У = х 2 +1

у

у

у

У = х

х

0

0

х

х

0

У = - 6 /х

Чётность функции  чтобы установить чётность функции, надо найти f (-x)  если  f (-x) = - f (x) , то функция нечётная  если  f (-x)    f (x) , то функция ни чётная, ни нечётная  если f (-x) = f (x) , то функция чётная  график симметричен относительно начала координат  график не симметричен относительно оси «у» и начала координат  график симметричен относительно оси «у» у у у 0 х 0 0 х х

Чётность функции

  • чтобы установить чётность функции, надо найти f (-x)
  • если f (-x) = - f (x) , то функция нечётная
  • если f (-x) f (x) , то функция ни чётная, ни нечётная
  • если f (-x) = f (x) , то функция чётная
  • график симметричен относительно начала координат
  • график не симметричен относительно оси «у» и начала координат
  • график симметричен относительно оси «у»

у

у

у

0

х

0

0

х

х

Точки пересечения с осями координат  точки пересечения с осью «ох» (нули функции)  точка пересечения с осью «оу»  функцию приравнять к «0» и решить уравнение  f (x) = 0   найти  f ( 0 ) = ….  у у 0 х х 0

Точки пересечения с осями координат

  • точки пересечения с осью «ох» (нули функции)
  • точка пересечения с осью «оу»
  • функцию приравнять к «0» и решить уравнение f (x) = 0
  • найти f ( 0 ) = ….

у

у

0

х

х

0

Критические точки функции  найти производную  приравнять производную к «0»  решить уравнение f ´ (x) = 0  внутренние точки области определения, в которых   f ´ (x) = 0 у х 0 у  точки, в которых производная не существует х 0

Критические точки функции

  • найти производную
  • приравнять производную к «0»
  • решить уравнение f ´ (x) = 0
  • внутренние точки области определения, в которых f ´ (x) = 0

у

х

0

у

  • точки, в которых производная не существует

х

0

0  f (x)  f ´(x)  f (x)   f (x)       f ´(x) х 1 х 6 х 5 х 4 х 2 х 3 + + - - + - + max max min min перегиб перегиб" width="640"

Промежутки монотонности и экстремумы

f ´(x) 0 f (x)

f ´(x) f (x)

f (x)

f ´(x)

х 1

х 6

х 5

х 4

х 2

х 3

+

+

-

-

+

-

+

max

max

min

min

перегиб

перегиб

Таблица  x  (-∞; x 1 ) f ´(x) + f (x)  x 1  (x 1 ; x 2 ) 0   -  x 2  f (x 1 )  m a x  0  (x 2 ; x 3 ) +  x 3  f (x 2 ) 0  (x 3 ; +∞)  m i n +  f (x 3 )  П е р е г и б

Таблица

x

(-∞; x 1 )

f ´(x)

+

f (x)

x 1

(x 1 ; x 2 )

0

-

x 2

f (x 1 )

m a x

0

(x 2 ; x 3 )

+

x 3

f (x 2 )

0

(x 3 ; +∞)

m i n

+

f (x 3 )

П е р е г и б

График На координатной плоскости отметить: Точки пересечения с осью «х» Точку пересечения с осью «у»  Точки минимума, максимума, перегиба При проведении кривой через точки учитывать

График

На координатной плоскости отметить:

  • Точки пересечения с осью «х»
  • Точку пересечения с осью «у»
  • Точки минимума, максимума, перегиба

При проведении кривой через точки учитывать

  • Область определения функции
  • Симметричность графика функции
  • Промежутки возрастания и убывания функции
0  f ´ (x) 0  f (x) возрастает на D  функция не имеет критических точек  нет “max” и “min” График имеет вид у 1 х 0 -0,5" width="640"

Задание: исследовать функцию и построить её график

1

  • f (x) = 1 + 2x
  • D = ……………..
  • f (- x) = 1 + 2 (-x) = 1 – 2x = - (-1 + 2x)…. f (x) функция ……………… график ………………
  • А) f (x) = 0 1 + 2x = 0 2x = - 1 x = -1/2 график пересекает ось «х» в точке ….. В) f ( 0 ) = 1 + 2 · 0 = 1 график пересекает ось «у» в точке …..
  • f ´ (x) = (1 + 2x) ´= 0 + 2 = 2
  • 2 0 f ´ (x) 0 f (x) возрастает на D функция не имеет критических точек нет “max” и “min”
  • График имеет вид

у

1

х

0

-0,5

Задание: исследовать функцию и построить её график 2 f (x) = 2 –  3 x  D = …………….. f (- x) = 2 - 3 (-x) = 2  +  3 x = - (- 2  -  3 x)….  f (x)   функция ………………  график ………………  А) f (x) = 0    2  -  3 x = 0     - 3 x = - 2       x = 2 / 3    график пересекает ось «х» в точке ….. В) f ( 0 ) = 2 - 3 ·  0 = 2   график пересекает ось «у» в точке ….. f ´ (x) = (2 - 3 x) ´= 0 -  3 = -  3 - 3   f ´ (x)   f (x) убывает на D   функция не имеет критических точек  нет “max” и “min” График имеет вид у 2 х 0 2/3

Задание: исследовать функцию и построить её график

2

  • f (x) = 2 – 3 x
  • D = ……………..
  • f (- x) = 2 - 3 (-x) = 2 + 3 x = - (- 2 - 3 x)…. f (x) функция ……………… график ………………
  • А) f (x) = 0 2 - 3 x = 0 - 3 x = - 2 x = 2 / 3 график пересекает ось «х» в точке ….. В) f ( 0 ) = 2 - 3 · 0 = 2 график пересекает ось «у» в точке …..
  • f ´ (x) = (2 - 3 x) ´= 0 - 3 = - 3
  • - 3 f ´ (x) f (x) убывает на D функция не имеет критических точек нет “max” и “min”
  • График имеет вид

у

2

х

0

2/3

Задание: исследовать функцию и построить её график 3 f (x) = – x  3  D = …………….. f (- x) = - (-x) 3 = x  3 = - f (x)   функция ………………  график ………………  А) f (x) = 0      - x  3 = 0    x = 0    график пересекает ось «х» в точке ….. В) f ( 0 ) = - 0  3  = 0   график пересекает ось «у» в точке ….. f ´ (x) = ( - x  3 ) ´= -  3  х 2 - 3  х 2 = 0   х 2 = 0   х = 0 - критическая точка функции ( - ∞ )  -  0  -  ( + ∞ )  f ´(-1) = - 3·(- 1) 2 = - 3  f ´(1) = - 3·( 1) 2 = - 3   7. x (-∞; 0) f ´(x) 0 f (x) - (0; +∞ ) 0   - 0  П - б у 8. График 0 х

Задание: исследовать функцию и построить её график

3

  • f (x) = x 3
  • D = ……………..
  • f (- x) = - (-x) 3 = x 3 = - f (x) функция ……………… график ………………
  • А) f (x) = 0 - x 3 = 0 x = 0 график пересекает ось «х» в точке ….. В) f ( 0 ) = - 0 3 = 0 график пересекает ось «у» в точке …..
  • f ´ (x) = ( - x 3 ) ´= - 3 х 2
  • - 3 х 2 = 0 х 2 = 0 х = 0 - критическая точка функции
  • ( - ) - 0 - ( + ∞ ) f ´(-1) = - 3·(- 1) 2 = - 3

f ´(1) = - 3·( 1) 2 = - 3

7.

x

(-∞; 0)

f ´(x)

0

f (x)

-

(0; +∞ )

0

-

0

П - б

у

8. График

0

х

4 Задание: исследовать функцию и построить её график Вариант II Вариант I Вариант III f(x) 1 f(x) = x 2 – 10x + 9 D = (- ∞; +∞) f(x) = x 2 + 2x + 1 2 f(x) = - x 2 + 4x - 5 D = (- ∞; +∞ ) f( - x)= (- x ) 2 – 10 (- x ) + 9 = = х 2 + 10х + 9    f(x)   функция ни чётная, ни нечётная  3 D = (- ∞; +∞) f( - x) = (- x ) 2 + 2 (- x ) + 1 = = х 2 – 2х + 1    f(x)   функция ни чётная, ни нечётная   А) «нули» функции: x 2 – 10x + 9 = 0 D = 64 x 1 = 1 x 2 = 9   график пересекает ось «х» в точках: (1; 0) , (9;0) В) f (0) = 9   график пересекает ось «у» в точке (0;9) f( - x) = - (- x ) 2 + 4 (- x ) –5 = = - х 2 - 4х - 5    f(x)   функция ни чётная, ни нечётная   А) «нули» функции: x 2 +  2 x + 1 = 0 D = 0 х = - 1   график пересекает ось «х» в точке (-1; 0) В) f (0) = 1    график пересекает ось «у» в точке (0;1) А) «нули» функции: - x 2 +  4 x -  5 = 0 D = - 4   уравнение корней не имеет  график не пересекает ось «х» В) f (0) = - 5    график пересекает ось «у» в точке (0;-5)

4

Задание: исследовать функцию и построить её график

Вариант II

Вариант I

Вариант III

f(x)

1

f(x) = x 2 – 10x + 9

D = (- ∞; +∞)

f(x) = x 2 + 2x + 1

2

f(x) = - x 2 + 4x - 5

D = (- ∞; +∞ )

f( - x)= (- x ) 2 – 10 (- x ) + 9 = = х 2 + 10х + 9 f(x) функция ни чётная, ни нечётная

3

D = (- ∞; +∞)

f( - x) = (- x ) 2 + 2 (- x ) + 1 = = х 2 – 2х + 1 f(x) функция ни чётная, ни нечётная

А) «нули» функции:

x 2 – 10x + 9 = 0

D = 64

x 1 = 1 x 2 = 9 график пересекает ось «х» в точках: (1; 0) , (9;0)

В) f (0) = 9 график пересекает ось «у» в точке (0;9)

f( - x) = - (- x ) 2 + 4 (- x ) –5 =

= - х 2 - 4х - 5 f(x) функция ни чётная, ни нечётная

А) «нули» функции:

x 2 + 2 x + 1 = 0

D = 0

х = - 1 график пересекает ось «х» в точке (-1; 0)

В) f (0) = 1 график пересекает ось «у» в точке (0;1)

А) «нули» функции:

- x 2 + 4 x - 5 = 0

D = - 4 уравнение корней не имеет график не пересекает ось «х»

В) f (0) = - 5 график пересекает ось «у» в точке (0;-5)

Вариант I Вариант III Вариант II 4 f ´ (x) = (x 2 – 10x + 9) ´ = = 2x - 10 5 f ´ (x) = (x 2 + 2x + 1) ´= = 2x + 2 f ´ (x) = 0  2x – 10 = 0 2x = 10 x = 5 - критическая точка 6 f ´ (x) = (- x 2 + 4x – 5) ´= = - 2x + 4 f ´ (x) = 0 2x + 2 = 0 2х = - 2 х = - 1 – критическая точка   f ´ ( 1 ) = 2  · 1 – 10 = - 8  f ´ ( 6 ) = 2  · 6 – 10 = 2 7 f ´ (x) = 0 - 2x + 4 = 0 - 2х = - 4 х = 2 – критическая точка 8 f( 5 )= 5 2 – 10  · 5 + 9 = - 16   f ´ ( -2 ) = 2  · (-2) + 2 = - 2 f ´ ( 0 ) = 2  · 0 + 2 = 2        f( -1 )= (-1) 2 + 2  · (-1) + 1 = 0   f ´ ( 0 ) = - 2  · 0 + 4 = 4 f ´ ( 3 ) = - 2  · 3 + 4 = - 2 f ( 2 ) = - 2 2 + 4 · 2 – 5  = -1 + - + + - - - 1 2 5 х х х f ´(x) (- ∞;2) f ´(x) (- ∞;-1) (- ∞;5) f ´(x) f (x) -1 5 f (x) 2 f (x) - + - (-1;+ ∞) (2;+ ∞) (5;+ ∞) 0 0 0    - -1 0 + + -16 min  min   max

Вариант I

Вариант III

Вариант II

4

f ´ (x) = (x 2 – 10x + 9) ´ = = 2x - 10

5

f ´ (x) = (x 2 + 2x + 1) ´=

= 2x + 2

f ´ (x) = 0

2x – 10 = 0

2x = 10 x = 5 - критическая точка

6

f ´ (x) = (- x 2 + 4x – 5) ´=

= - 2x + 4

f ´ (x) = 0

2x + 2 = 0

2х = - 2 х = - 1 – критическая точка

f ´ ( 1 ) = 2 · 1 – 10 = - 8

f ´ ( 6 ) = 2 · 6 – 10 = 2

7

f ´ (x) = 0

- 2x + 4 = 0

- 2х = - 4

х = 2 – критическая точка

8

f( 5 )= 5 2 – 10 · 5 + 9 = - 16

f ´ ( -2 ) = 2 · (-2) + 2 = - 2

f ´ ( 0 ) = 2 · 0 + 2 = 2

f( -1 )= (-1) 2 + 2 · (-1) + 1 = 0

f ´ ( 0 ) = - 2 · 0 + 4 = 4

f ´ ( 3 ) = - 2 · 3 + 4 = - 2

f ( 2 ) = - 2 2 + 4 · 2 – 5 = -1

+

-

+

+

-

-

- 1

2

5

х

х

х

f ´(x)

(- ∞;2)

f ´(x)

(- ∞;-1)

(- ∞;5)

f ´(x)

f (x)

-1

5

f (x)

2

f (x)

-

+

-

(-1;+ ∞)

(2;+ ∞)

(5;+ ∞)

0

0

0

-

-1

0

+

+

-16

min

min

max

Вариант I Вариант II Вариант III 9 f (x) = x 2 – 10x + 9               f (x) = x 2 + 2x + 1 f (x) = - x 2 + 4x – 5 y y y 0 x x 2 -1 5 1 0 9 1 5 0 -1 x - 16

Вариант I

Вариант II

Вариант III

9

f (x) = x 2 – 10x + 9

f (x) = x 2 + 2x + 1

f (x) = - x 2 + 4x – 5

y

y

y

0

x

x

2

-1

5

1

0

9

1

5

0

-1

x

- 16

Задание: исследовать функцию и построить её график 5 f (x) = 3x – x  3  D = ……………..  f (- x) =  3(-x) - (-x) 3 = - 3x + x  3 = -(3x – x 3 ) = - f (x)   функция ………………  график ……………… А) f (x) = 0     3x - x  3 = 0    x(3 – x 2 ) = 0      x = 0 или 3 – x 2 = 0 x 2 = 3 x =  √3 график пересекает ось «х» в точках: (0;0), ( √3 ;0), (- √3 ;0) В) f ( 0 ) = 3 · 0 - 0  3  = 0   график пересекает ось «у» в точке (0;0)  f ´ (x) = ( 3х - x  3 ) ´= 3 -  3  х 2  5. 3 - 3  х 2 = 0    3х 2 = 3  х 2 = 1   х =  1 - критические точки функции у х

Задание: исследовать функцию и построить её график

5

  • f (x) = 3x x 3
  • D = ……………..
  • f (- x) = 3(-x) - (-x) 3 = - 3x + x 3 = -(3x – x 3 ) = - f (x) функция ……………… график ………………
  • А) f (x) = 0 3x - x 3 = 0 x(3 – x 2 ) = 0

x = 0 или 3 – x 2 = 0 x 2 = 3 x = √3 график пересекает ось «х» в точках: (0;0), ( √3 ;0), (- √3 ;0) В) f ( 0 ) = 3 · 0 - 0 3 = 0 график пересекает ось «у» в точке (0;0)

  • f ´ (x) = ( 3х - x 3 ) ´= 3 - 3 х 2

5. 3 - 3 х 2 = 0 2 = 3 х 2 = 1 х = 1 - критические точки функции

у

х

0 f ´ ( 2 ) = 3 - 3 ( 2 ) 2 = 3 - 12 = - 9 f (- 1) = 3(-1) - (-1) 3 = - 3 + 1 3 = - 2 f ( 1 ) = 3 · 1 - 1 3 = 3 - 1 = 2 8. - 1 1 x f ´(x) (- ∞; -1) f (x) - -1  ( -1; 1) 0 + 1 - 2 0  (1;+ ∞) min 2 -  max" width="640"

-

-

+

6.

f ´ (- 2 ) = 3 - 3 (- 2 ) 2 = 3 - 12 = - 9

f ´ ( 0 ) = 3 - 3 ( 0 ) 2 = 3 0 f ´ ( 2 ) = 3 - 3 ( 2 ) 2 = 3 - 12 = - 9

  • f (- 1) = 3(-1) - (-1) 3 = - 3 + 1 3 = - 2

f ( 1 ) = 3 · 1 - 1 3 = 3 - 1 = 2

8.

- 1

1

x

f ´(x)

(- ∞; -1)

f (x)

-

-1

( -1; 1)

0

+

1

- 2

0

(1;+ ∞)

min

2

-

max

y f (x) = 3x – x  3 2 0 1 -1 x -2

y

f (x) = 3x x 3

2

0

1

-1

x

-2

Задание: исследовать функцию и построить её график 6 f (x) = x  4 – 50 х 2 D = ……………..  f (- x) = (-x) 4 - 50 (-x) 2 = x 4  - 50 x  2 = f (x)   функция ………………  график ……………… А) f (x) = 0   x 4  - 50 x  2 = 0    x  2 (x 2  – 50) = 0      x = 0 или x 2  - 50 = 0 x 2 = 50 x =  5 √ 2 (≈ 7,1) график пересекает ось «х» в точках: (0;0), (- 7,1 ;0), (7,1;0) В) f ( 0 ) =  0 4  – 50 ·  0  2  = 0   график пересекает ось «у» в точке (0;0)  f ´ (x) = (x 4  - 50 x  2 ) ´= 4  х 3 – 50 · 2х = 4х 3 – 100х  4х 3 – 100х  = 0 |  : 4   х 3 – 25 х = 0  х(х 2 – 25) = 0  х = 0 или х 2 – 25 = 0  х 2 = 25  х =  5 х =  5 - критические точки функции  х = 0 у } х

Задание: исследовать функцию и построить её график

6

  • f (x) = x 4 – 50 х 2
  • D = ……………..
  • f (- x) = (-x) 4 - 50 (-x) 2 = x 4 - 50 x 2 = f (x) функция ……………… график ………………
  • А) f (x) = 0 x 4 - 50 x 2 = 0 x 2 (x 2 – 50) = 0

x = 0 или x 2 - 50 = 0 x 2 = 50 x = 5 2 (≈ 7,1) график пересекает ось «х» в точках: (0;0), (- 7,1 ;0), (7,1;0) В) f ( 0 ) = 0 4 – 50 · 0 2 = 0 график пересекает ось «у» в точке (0;0)

  • f ´ (x) = (x 4 - 50 x 2 ) ´= 4 х 3 – 50 · 2х = 3 – 100х

  • 3 – 100х = 0 | : 4 х 3 – 25 х = 0 х(х 2 – 25) = 0 х = 0 или х 2 – 25 = 0 х 2 = 25 х = 5 х = 5 - критические точки функции

х = 0

у

}

х

0 f ´ ( 1) = 1 3 – 25 · 1 2 = 1 - 2 5 f ´ ( 6) = 6 3 – 25 · 6 = 216 - 1 50 0 f ( ± 5) = ( ± 5) 4 - 50 · ( ± 5) 2 = 625 - 1250 = - 625 f (0) = 0 8. - 5 5 0 x f ´(x) (- ∞; - 5) f (x) - 5 - ( - 5; 0)  0 0 - 625 +  m I n 0 ( 0; 5) 5 0 - m a x (5;+ ∞) 0  + - 625  m I n" width="640"

+

-

+

-

6.

f ´ (- 6) = (- 6) 3 - 25(- 6) = - 216 + 1 50

f ´ (- 1) = (- 1) 3 - 25(- 1) = -1 + 25 0 f ´ ( 1) = 1 3 25 · 1 2 = 1 - 2 5

f ´ ( 6) = 6 3 25 · 6 = 216 - 1 50 0

  • f ( ± 5) = ( ± 5) 4 - 50 · ( ± 5) 2 = 625 - 1250 = - 625

f (0) = 0

8.

- 5

5

0

x

f ´(x)

(- ∞; - 5)

f (x)

- 5

-

( - 5; 0)

0

0

- 625

+

m I n

0

( 0; 5)

5

0

-

m a x

(5;+ ∞)

0

+

- 625

m I n

f (x) = x  4 – 50 х 2 y 5 - 5 -7,1 7,1 0 x - 625

f (x) = x 4 – 50 х 2

y

5

- 5

-7,1

7,1

0

x

- 625

Задание: исследовать функцию и построить её график 7 f (x) = 2x 3  – x  4  D = ……………..  f (- x) =  2(-x) 3 - (-x)  4 = - 2x 3 - x  4 = -(2x 3 + x 4 )   ± f (x)   функция ………………  график ……………… А) f (x) = 0   2x 3 - x 4 = 0 x  3 (2 – x) = 0    x = 0 или 2 – x = 0 x = 2 график пересекает ось «х» в точках: (0;0), ( 2 ;0 ) В) f ( 0 ) = 3 · 0 - 0  3  = 0   график пересекает ось «у» в точке (0;0)  f ´ (x) = (  2 х 3 - x  4 ) ´= 2 · 3 x 2 - 4 х  3 = 6x 2 - 4 х  3   6x 2 - 4 х  3  = 0|:2    3х 2  – 2x 3 = 0   х 2 (3 – 2x) = 0    x = 0 или 3 – 2х = 0  х = 1,5 х = 0 - критические точки функции  х = 1,5 у } х

Задание: исследовать функцию и построить её график

7

  • f (x) = 2x 3 x 4
  • D = ……………..
  • f (- x) = 2(-x) 3 - (-x) 4 = - 2x 3 - x 4 = -(2x 3 + x 4 ) ± f (x) функция ……………… график ………………
  • А) f (x) = 0 2x 3 - x 4 = 0 x 3 (2 – x) = 0 x = 0 или 2 – x = 0 x = 2 график пересекает ось «х» в точках: (0;0), ( 2 ;0 ) В) f ( 0 ) = 3 · 0 - 0 3 = 0 график пересекает ось «у» в точке (0;0)

  • f ´ (x) = ( 2 х 3 - x 4 ) ´= 2 · 3 x 2 - 4 х 3 = 6x 2 - 4 х 3

  • 6x 2 - 4 х 3 = 0|:2 2 – 2x 3 = 0 х 2 (3 – 2x) = 0 x = 0 или 3 – 2х = 0 х = 1,5 х = 0 - критические точки функции

х = 1,5

у

}

х

0 f ´ ( 1) = 3 · 1 2 - 2 · 1 3 = 3 - 2 = 1 0 f ´ ( 2) = 3 · 2 2 - 2 · 2 3 = 12 - 16 = – 4 f (1,5) = 2 · (1,5) 3 – (1,5) 4 = 2 · 3,375 – 5,0625 ≈ 1,7 f (0) = 0 8. 1,5 0 x f ´(x) (- ∞; 0) f (x) + 0 0  ( 0; 1,5) + 1,5 0  0 (1,5;+ ∞) Пе ре гиб 1,7 -  m a x" width="640"

-

+

+

6.

f ´ (- 1) = 3(- 1) 2 - 2(- 1) 3 = 3 + 2 = 5 0 f ´ ( 1) = 3 · 1 2 - 2 · 1 3 = 3 - 2 = 1 0

f ´ ( 2) = 3 · 2 2 - 2 · 2 3 = 12 - 16 = 4

  • f (1,5) = 2 · (1,5) 3 (1,5) 4 = 2 · 3,375 5,0625 ≈ 1,7

f (0) = 0

8.

1,5

0

x

f ´(x)

(- ∞; 0)

f (x)

+

0

0

( 0; 1,5)

+

1,5

0

0

(1,5;+ ∞)

Пе ре гиб

1,7

-

m a x

y f (x) = 2x 3  – x  4 1, 7 0 x 2 1,5

y

f (x) = 2x 3 x 4

1, 7

0

x

2

1,5


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Алгоритм исследования функции

Автор: Трушникова Галина Петровна

Дата: 14.05.2015

Номер свидетельства: 211405

Похожие файлы

object(ArrayObject)#865 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(194) "Презентация к практическому занятию "Решение задач по теме «Исследование функции с помощью производной» "
    ["seo_title"] => string(122) "priezientatsiia-k-praktichieskomu-zaniatiiu-rieshieniie-zadach-po-tiemie-issliedovaniie-funktsii-s-pomoshch-iu-proizvodnoi"
    ["file_id"] => string(6) "119420"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1413401151"
  }
}
object(ArrayObject)#887 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(118) "Решение задач на применения производной к исследованию функций "
    ["seo_title"] => string(73) "rieshieniie-zadach-na-primienieniia-proizvodnoi-k-issliedovaniiu-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "181424"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1425352790"
  }
}
object(ArrayObject)#865 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(80) "Исследование функции с помощью производной"
    ["seo_title"] => string(48) "issledovanie_funktsii_s_pomoshchiu_proizvodnoi_1"
    ["file_id"] => string(6) "604728"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1649854576"
  }
}
object(ArrayObject)#887 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(142) "конспект урока математики по теме  "Признаки возрастания и убывания функции". "
    ["seo_title"] => string(80) "konspiekt-uroka-matiematiki-po-tiemie-priznaki-vozrastaniia-i-ubyvaniia-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "116382"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1412439795"
  }
}
object(ArrayObject)#865 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(109) "Урок-зачет "Применение производной к исследованию функций" "
    ["seo_title"] => string(64) "urok-zachiet-primienieniie-proizvodnoi-k-issliedovaniiu-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "121702"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1414053528"
  }
}




ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства