Айналу денелері

Тақырыбы: ШАР

Мақсаты: шеңбердің ұзындығы мен дөңгелектің ауданын қайталау. Шар –геометриялық фигурасымен таныстыру

Қайталау.

Қандай фигураны шеңбер деп атаймыз?

Қандай фигураны дөңгелек деп атаймыз?

Шеңбердің ұзындығын табатын формуланы жазыңыз.

Дөңгелектің ауданын табатын формуланы жазыңыз.

r

5 м

d

C

4м

1,6дм

S

14дм

12,56м

9,42дм

.

Шар — сферамен шектелген дене. Сфера - берілген нүктедең берілген қашықтағы кеңістік нүктелерінің геометриялық орны.

Шардың беті –сфера.

«Сфера» - грек сөзінің латын формасынан «сфайра» - доп.

Цилиндр деп тік төртбұрышты оның қабырғаларының бірінен айналдырғанда шығатын денені атайды.

Дөңгелектер цилиндрдің табандары деп аталады, ал олардың радиусы цилиндрдің радиусы деп аталады. Дөңгелектердің сәйкес нүктелерін қосатын кесінділерді цилиндрдің жасаушылары деп атайды.

Цилиндрдің биіктігі деп табан жазықтықтарының ара қашықтығын атайды.

Цилиндрдің осі деп табандарының центрлерінен өтетін түзуді атайды.

• Цилиндрдің табандары тең.

• Цилиндрдің табандары параллель жазықтықтарда жатады.

• Цилиндрдің жасаушылары параллель және тең.

Цилиндрдің түрлері

Цилиндрдің қималары

Цилиндрдің түрлері

Тік цилиндр

Егер жасаушылары цилиндрдің табандарына перпендикуляр, яғни цилиндрдің биіктігіне тең болса, онда цилиндр тік цилиндр деп аталады.

Цилиндрдің түрлері

Көлбеу цилиндр

Егер цилиндрдің жасаушылары табанына қандай да бір  бұрышын жасап көлбеген болса, онда ол цилиндрді көлбеу цилиндр деп атайды.

Цилиндрдің қималары

D

Цилиндр осіне параллель қима

Қима тік төртбұрыш болып келеді. Оның екі қабырғасы – цилиндрдің жасаушылары, ал екі қабырғасы – табан хордалары болып табылады.

AB, DC – жасаушылар ;

AD, BC – хордалар.

•

О

А

С

О 1

•

В

Цилиндрдің қималары

Осьтік қима

Бұл цилиндрдің осі арқылы өтетін қима. Екі қабырғалары – жасаушылары, ал екі қабырлары – табан диаметрлері.

AB – осі ;

CDEF – тік төртбұрыш.

Цилиндрдің қималары

Табан жазықтықтарына параллель жүргізілген қима. Бұл жағдайда қима дөңгелек болып келеді және ол табандарына тең.

Бұл цилиндрге сырттай сызылған призма

Цилиндрге сырттай сызылған призма деп табандары цилиндрдің табандарына сырттай сызылған призманы атайды.

Бұл цилиндрге іштей

сызылған призма

Цилиндрге іштей сызылған призма деп табандары цилиндрдің табандарына іштей сызылған призманы атайды.

Цилиндр туралы тусінік.

• Цилиндр - айналу денесі. Анықтама. Цилиндр деп тік төртбұрышты оның қабырғаларының бірінен айналдырғанда шығатын фигураны айтамыз.

L

цилиндр осі

О

В

жасаушысы

биіктігі

F

табаны

диаметрі

О 1

К

Л

А

(1-сурет)

Мысалға қандай да бір F фигуррасын L осіне айналдырсақ бізде айналу денесі цилиндр пайда болады.

L

F

F

• (2-сурет) АОО1В тікбұрышын ОО1 қабырғасынан айналдырғанда шыққан цилиндр кескінделген.

• Тікбұрыштың ОА және О1В қабырғалары параллель жазықтықтарда жататын тең дөңгелектер жасайды. Бұл дөңгелектер цилиндрдің табаны деп, ал олардың радиусы цилиндр радиусы деп аталады.
• АВ қабырғасы цилиндрдің осьіне параллель болады, ол цилиндрдің жасаушысы деп аталады және цилиндрдің бүйір беті деп аталатын қисық сызық бетті жасайды.
• Жасаушының ұзындығы цилиндрге биіктік болып табылады. Ол табан жазықтықтарының арақашықтықтығына, яғни ОО 1 кесіндісінің ұзындығына тең.

Егер жасаушылары табандарына перпендикуляр, яғни цилиндрдің биіктігіне тең болса, онда цилиндр тік дөңгелек цилиндр деп аталады.

Геометрияда және бізді қоршаған ортада цилиндрдің басқа да түрлері кездеседі, мысалы, көлбеу цилиндрлер. (3-сурет)

О 1

В

О

А

(2-сурет)

(3-сурет)

Цилиндр қимасы Цилиндрдің жазықтықпен қимасы деп жалғыз нүктеден, цилиндрдің жасаушысынан немесе табанынан өзгеше фигураны, яғни цилиндр мен жазықтықтың ортақ бөлігін айтады.

Қиманың цилиндрдің осіне параллель жүргізуге болады. Суретте М N ЕК қимасы ОО 1 осіне параллель өтіп тұр. Бұл қима цилиндр мен екі жасаушы арқылы өтетін жазықтықтың қиылысуынан алынып тұр.

О 1

М

К

О

N

E

(4-сурет)

Цилиндр жазбасы мен бетінің ауданы . Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы табан шеңберінің ұзындығын оның биіктігіне көбейткенге тең. Яғни S ц.б.б =2 П RH . Цилиндрдің толық бетінің ауданын табу үшін оның бүйір бетінің ауданына табандарының ауданын қосу керек: S ц.т.б =2 П R ( H+R ) .

.

О 1

А

2П R

Н

В

.

О

(5-сурет)

Цилиндрдің көлемі.

Тік дөңгелек цилиндрдің әрбір көлденең қимасы оның табанына тең дөңгелек болады.

α

6-суретте дөңгелек тік цилиндрдіңтабандарына параллель α жазықтығы цилиндрдің дөңгелек болып келген көлденең қимасын анықтап тұр .

(6-сурет)

Көлемінің формуласы.

• Бізге табанының ауданы S және h болатындөңгелек тік цилиндр берілген (7.1-сурет).
• Цилиндр көлемін есептеу формуласын табу керек. Бұл теореманы дәлелдеу үшін біз Кавальери принципін қолданамыз. Ол үшін мына салуларды орындаймыз.

S

S

S

α

(7. 1 -сурет)

(7. 2 -сурет)

(7. 3 -сурет)

(мұндағы S -цилиндр ауданы, h биіктігі).

V цил . =S x h

Теорема . Дөңгелек тік цилиндрдің көлемі оның ауданы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең.

Табанының ауданы берілген цилиндрдің табан ауданына тең призма саламыз. Призма α жазықтығында және оның бір бетіне орналасатындай етіп саламыз. Призманың биіктігі призманың биіктігіне тең болуы тиіс (7.2-сурет).