«теория многочленов и уравнения высших степеней»

МОУ СШ №1 р.п. Новоспасское

Ульяновская область

Рабочая программа

элективного курса

«Теория многочленов и уравнения высших степеней»

для 10 А, Б классов

Учитель математики:

Ананьева Е.В.

2022-2023 уч. год

Пояснительная записка

Программа элективного курса предназначена для учащихся 10 классов, изучающих математику. Рассчитана на реализацию в течении одного учебного года.

Основой для разработки программы послужило содержание учебной программы «Математики» в 10 классе. Теме «Многочлены» в программе основной школы уделяется большое внимание. Учащиеся овладевают навыками сложения и вычитания, умножения многочленов от одной и нескольких переменных. Значительное место отводится заданиям, связанным с разложением многочленов на множители, решению алгебраических уравнений. При изучении математики в курсе основной школы упор делается на изучение квадратного трехчлена, а в старшей школе тема «Многочлены» не изучается. И часто учащиеся, встретив в задании многочлены третьей, четвертой степеней от одной переменной, затрудняются выполнять какие-либо операции с ними. Сказывается отсутствие необходимых навыков.

Актуальность определяется важностью повторения, изученной в основной школе темы «Многочлены», углубления знаний по ней, и изучения алгебраических уравнений высших степеней (в том числе возвратные, однородные), приемов решения которых тесно связаны с отысканием корней многочленов (методы отыскания корней многочленов, операции деления многочлена на многочлен).

Цель курса:

• сформировать представление о методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений (третьей и четвертой степеней) на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов.

Задачи курса:

• создавать положительную мотивацию обучения;

• активизировать познавательную деятельность школьников;

• углубить теоретические знания учащихся по теории многочленов:

делить многочлен на многочлен, выделять полный квадрат и доказывать несложные утверждения, опираясь на его свойства.

• сформировать навык распознавания возвратных (симметрических), однородных уравнений;

• формировать умение преобразовывать многочлены высших степеней;

• сформировать навыки решения несложных алгебраических уравнений высших степеней, нахождение корней которых связано с отысканием корней многочленов;

• продолжить развитие исследовательских умений и навыков учащихся;

• подготовить учащихся к решению заданий ЕГЭ повышенной сложности.

Функциями элективного курса в соответствии с целями и задачами обучения являются:

-дополнение и углубление базового предметного образования;

-компенсация недостатков обучения по предмету;

-подготовка к ЕГЭ по предмету.

Методы изучения:

• проблемное изучение материала

• самостоятельная поисковая творческая работа учащихся

• актуализация ранее изученного материала

Программа рассчитана на 0,5 часа в неделю, всего 18 часов.

Планируемые результаты

Углубление темы «Многочлены» позволит учащимся распознавать виды многочленов и алгебраических уравнений, уверенно выполнять их преобразования, выбирая наиболее рациональные приемы.

Кругозор учащихся, интересующихся математикой, пополнится знанием теоремы Безу, теоремы о корнях многочлена, следствиями из этих теорем, знанием метода неопределенных коэффициентов.

Данный элективный курс предназначенный учащимся десятых классов, поможет создать более целостное представление о многочленах от одной переменной, вызовет интерес к способу их преобразований, тем самым обеспечивается мотивация к выбору обучения, связанного с математикой. Готовясь к творческому отчету или выполняя итоговую работу, учащиеся столкнутся с необходимостью выделять главное, обобщать, систематизировать материал и делать выводы. При выполнении проектной работы, учащимся придется не только изучить теоретический материал по выбранной теме, систематизировать его, да еще и показать применение к заданиям ЕГЭ, приходящимся на раздел повышенной сложности.

Овладевая довольно сложными математическими преобразованиями многочленов высших степеней, школьникам придется постоянно анализировать, классифицировать, перебирать различные варианты решений, отыскивать наиболее рациональные способы, выполнять самоанализ и при этом быть предельно внимательными и точными,

Проводя цепочку логических рассуждений, учащиеся видят немыслимо сложное выражение, но в процессе преобразования приобретающее простые формы.

Курс позволит учащимся лучше подготовиться к ЕГЭ.

Содержание программы

Содержание курса состоит из пяти разделов, включая итоговое занятие, на котором учащиеся должны защитить свои творческие работы.

1. Операция над многочленами от нескольких переменных

- понятие многочлена;

- равенство многочленов;

- действия над многочленами;

- разложение многочлена на множители.

2. Делимость многочленов от одной переменной

- деление многочлена на многочлен;

- теорема Безу и следствие из нее для решения упражнений с многочленами.

3. Отыскание корней многочленов

- утверждение о корне многочлена и следствие из него;

- нахождение корней многочленов;

- рациональные корни многочлена;

- кратные корни многочлена;

- обобщенная теорема Виета.

4. Решение алгебраических уравнений высших степеней

- основные методы решения уравнений;

- уравнения вида (х-а)(х-в)(х-с)(х-d)=m;

- симметрические уравнения;

- возвратные уравнения;

- рациональные уравнения;

- однородные уравнения.

5. Итоговое занятие

Тематическое планирование

№ п/п	Название раздела (темы)	Количество часов
1	Операция над многочленами от нескольких переменных	3
2	Делимость многочленов от одной переменной	3
3	Отыскание корней многочленов	5
4	Решение алгебраических уравнений высших степеней	6
5	Итоговое занятие	1
Всего		18

Календарно-тематическое планирование курса

«Теория многочленов и уравнения высших степеней»

(0,5 час в неделю, всего 18 часов)

№ п/п	дата			Название разделов и тем		Количество часов				Форма проведения		виды контроля
	По плану	факт	всего			теории	практики
1.			Операция над многочленами от нескольких переменных		3		1.5	1.5
1.1			Понятие многочлена. Равенство многочленов.		1		1		Лекция
1.2			Действия над многочленами		1		0.5	0.5	Лекция Практикум
1.3			Разложение многочлена на множители		1			1	Лекция Практикум		зачет
2.			Делимость многочленов от одной переменной		3		1	2
2.1			Деление многочлена на многочлен		1			1	Практикум
2.2			Теорема Безу и следствие из нее		1		1		Семинар-практикум
2.3			Использование теоремы Безу и следствия из нее для решения упражнений		1			1	Мастерская		Проверочная самостоятельная работа
3.			Отыскание корней многочленов		5		2	3
3.1			Утверждение о корне многочлена и следствие из него		1		1		Лекция
3.2			Нахождение корней многочленов		1			1	Практикум
3.3			Рациональные корни многочлена		1			1	Практикум
3.4			Кратные корни многочлена		1			1	Практикум
3.5			Обобщенная теорема Виета		1		1		Лекция Практикум		Зачет
4.			Решение алгебраических уравнений высших степеней		6		2.5	3.5
4.1			Основные методы решения уравнений		1		1		Лекция Практикум
4.2			Уравнения вида (х-а)(х-в)(х-с)(х-d)=m		1			1	Практикум
4.3			Симметрические уравнения		1		0.5	0.5	Практикум
4.4			Возвратные уравнения		1		0.5	0.5	Практикум
4.5			Рациональные уравнения		1			1	Практикум
4.6			Однородные уравнения		1		0.5	0.5	Практикум
5.			Итоговое занятие		1			1
			Всего:		18		7	11

Учебно-методический комплект:

1. Алгебра: для 8 кл.: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/Н.Я. Виленкин и др., под ред. Н.Я. Виленкина.-Просвещение, 1995.

2. Избранные вопросы математики: 10 кл. факультативный курс/А.М. Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев и др., сост.:С.И. Шварцбурд.-М.: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 1990.

3. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник/Олехник С.Н.,Потапов М.К., Пасиченко П.И. –М.;изд-во МГУ,1991.

4. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М.:Просвещение, 1995.

5. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учебное пособие для 10 класса средних школ.-М.:Просвещение, 1989.

6. Математика: 10 настоящих вариантов для подготовки к единому государственному экзамену 2016/А.Г. Клово,- Федеральный центр тестироваия, 2014.

7. ЕГЭ 2016. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2(С) ЕГЭ 2014 по математике. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В.

8. Сборник задач типа С по математике, А. Ларин

9. Задача С5 по математике: решение заданий типа с5 из ЕГЭ. Авторы: Козко А.И., Панферов В.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г.

Требования к уровню усвоения курса

По окончанию изучения курса учащиеся должны

знать:

-формулы куба суммы и разности двучлена;

-понятие коэффициентов, старшего члена, степени многочленов канонического вида;

-определение тождественно равных многочленов;

-алгоритм деления многочлена на многочлен «столбиком»;

-теорема Безу и следствие из неё;

-утверждение о корне многочлена и следствие из него.

уметь:

-выделить полный квадрат или куб;

-методом выделения полного квадрата доказывать, что многочлен принимает -только неотрицательные (неположительные) значения;

-уметь подбирать корни многочлена и выполнять разложение его не множители;

-делить многочлен на многочлен «столбиком»;

-решать уравнения высших степеней методом замены переменных, подбором корней среди делителей свободного члена;

-распознавать и решать возвратные, однородные алгебраические уравнения высших степеней.

В процессе изучения курса предполагаются следующие виды обучения: традиционное (объяснительно-иллюстративное) обучение, деятельностное (самостоятельное добывание знаний в процессе решения учебных проблем, развитие творческого мышления и познавательной активности учащихся) и инновационное (самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным материалом).

Эти виды обучения предполагают следующие формы организации обучения:

- коллективные, индивидуальные и групповые;

- взаимного обучения, самообучение, саморазвитие;

- отчеты в форме презентации курсовых работ.

Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразности – лекции, консультации, практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу.

Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля:

- самостоятельная работа;

- срезы знаний и умений в процессе обучения;

- итоговый контроль.

Итоговый контроль предусматривает:

- выполнение контрольной работы;

- защиту и презентацию курсовых работ.

Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике, творческую активность и результативность учащихся.

Примерные темы курсовых работ:

1. Решение возвратных уравнений четной и нечетной степени.

2. Решение уравнений с параметрами.

3. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.

4. Многочлены с комплексными коэффициентами.

5. Проект «Применение теории многочленов к решению заданий части С ЕГЭ».

Контрольная работа

1.Докажите, что выполняются данные ниже условия:

( Х³-2х²-5х+6) : (х²+4х+3)

( х³-2х²+х-2) : (х²+1)

2.Найти все значения параметров а и в, при которых выполняются условия:

(х³+3х²+ах+1) : (х-2)

(х³+3ах²+вх+2) : (х²-1)

3.Решить уравнение:

Х³+2х²-14х-3=0

Х³-4х²+5х-2=0

6х⁴-13х³+12х²-13х+6=0

6х⁴-25х³+12х²+25х+6=0