МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

Программа занятий кружка по математике для 6 класса «История развития математики».

Современная образовательная технология «Развивающее обучение».

Об актуальности курса

Одна из основных целей работы математического кружка – формирование у учащихся интереса к изучаемому предмету. И в первую очередь в этом нуждаются ученики, равнодушные к математике или даже боящиеся ее. Психологи утверждают, что пик интереса к математике приходится на 12-13 лет, и задача учителя – пробудить, развить и закрепить его. Сведения исторической рубрики учебников слишком разрозненны, не дают возможности последовательного системного восприятия истории развития математики.

Курс математики 7 класса – качественный скачок в ее изучении. Это подразумевает и разделение материала на алгебру и геометрию, и подтверждение основной части новых теоретических сведений доказательствами, и применение математических знаний и навыков при изучении и решении других дисциплин. Поэтому надо их лучше подготовить к этой ступени изучения математики.

Кроме того, в 5 и 6 классах учащиеся осваивают курс истории Древнего мира и Средних веков. Эти знание помогают им лучше ориентироваться на занятиях кружка.

И все же главной причиной необходимости ознакомления детей с данным курсом является его структурная особенность. Материал выстроен так, чтобы показать, что математическое знание – лишь элемент восприятия целостного мира, лишь один из тесно переплетенных между собой разделов естествознания, лишь одна (но не крайняя) ветвь на древе науки человечества. Отсутствие в школьной программе курса «История естествознания» влечет за собой множество проблем. Для учеников переходы из класса в класс, из кабинета в кабинет, от предмета к предмету – это не путешествие по лестнице науки, где каждая ступень – новая грань в кристалле человеческого знания, а прыжки с кочки на кочку в «болоте» поверхностной, мозаичной информации о них. Учащиеся воспринимают физику, химию, биологию, математику и другие дисциплины как совершенно самостоятельные, обособленные области знаний, не видят их общего истока и тесной взаимосвязи. Отсюда неполнота восприятия материала, ограниченность творческого потенциала учащихся, отсутствие логических аналогий в рассуждениях.

Конечно, 32 часа занятий кружка не заполнят эту нишу в полном объеме, но, возможно, пробудят интерес к истории науки, тягу к пониманию красоты и познанию гармонии мира. Через восприятие внешней красоты придет и наслаждение внутренним совершенством, разнообразием свойств и взаимосвязей элементов научной картины мира.

Методические основы

В основу курса положен материал, содержащийся в пособиях по курсу истории естествознания, разработанных Марчуковой Светланой Марковной (кафедра теории и методики естественнонаучного образования СПб АППО).

В структуре курса предусмотрено выполнение учащимися самостоятельных работ творческого характера, разнообразных занимательных и старинных задач, задач повышенной трудности, практических заданий по изготовлению геометрических фигур, выполнению геометрических построений, разнообразные дискуссии и обсуждения по изучаемым вопросам.

Материал занятий рассчитан на ученика любого уровня подготовленности. Некоторые из рассматриваемых вопросов выходят за рамки школьной программы по алгебре и геометрии, но тесно перекликаются с ней. Оригинальность курса в его насыщенности сведениями из истории естествознания, являющимися истоками точных наук и позволяющими систематизировать школьные знания.

Особый интерес у ребят вызывают темы «О пространстве…». Форма подачи материала в виде хорошо иллюстрированной игры с наглядной моделью пространства позволяет в увлекательной и доступной форме подвести учеников к современным представлениям об удивительных свойствах пространства, его парадоксах и особенностях, к началам теории относительности и актуальным вопросам философии современного естествознания.

Темы занятий

Занятие №19

Открытие иррациональности. Постижение бесконечного. Зенон Элейский, его парадоксы (примерное содержание).

- Вопрос к учащимся: Что называют отношением? Что показывает отношение? Приведите примеры отношений.

Вначале пифагорейцы полагали, что отношение любых физических или геометрических величин можно выразить отношениями целых чисел. В частности, они считали, что все отрезки соизмеримы, то есть, для любых двух отрезков AB и CD существует такой отрезок, который целое число раз укладывается и по длине AB и по длине CD, а значит, геометрию можно свести к арифметике. Однако вскоре пифагорейцы сделали открытие, которое перевернуло все их взгляды: они доказали, что отношение длины диагонали квадрата к стороне квадрата нельзя выразить отношением целых чисел.

Вначале пифагорейцы старались держать свое открытие в секрете. Об этом рассказано в одной легенде, согласно которой Гиппас Метапонтский, выдавший секрет, погиб во время кораблекрушения, будучи наказан богами за болтливость.

Позже были найедены и другие несоизмеримые отрезки. Теэтет (молодой талантливый афинский математик, был смертельно ранен в 360 году до н.э.на поле брани под Коринфом) доказал, что если площадь квадрата равна любым целым неквадратным числам (2,3,5,6,7,8,10 и т.д.), то сторона квадрата несоизмерима с единицей. Теэтет дал и алгебраическое и геометрическое доказателство иррациональности чисел – корней квадратныхиз 2 и 3.

Открыв иррациональные числа, древнегреческие мыслители заключили, что арифметика не может быть основой для геометрии, так как геометрические величины имеют более общую природу, чем числа и их отношения. Значит, в основу математики следует положить геометрию. Геометрическое облачение придало математике необыкновенную красоту и монолитность. Учение о решении уравнений и сама арифметика приобрели геометрическю форму.

- Вопрос к учащимся: докажите геометрически, что (а*b)*c=a*(b*c). Что вам нравится в этом доказательстве?

Интересны четыре замчательные задачи, поставленные древними греками. Этими задачами человечество занималось свыше двух с половиной тысячелетий.

Вот они:

1. Разделить окружность или дугу на произвольное число равных частей (построить в окружности правильный многоугольник с любым числом сторон);

2. Удвоить куб, то есть построить куб вдвое большего объема;

3. Разделить любой угол на три равные части (трисекция угла);

4. Построить квадрат площадью, равной площади данного круга (о квадратуре круга).

Все задачи требовалось решать точно, пользуясь только циркулем и линейкой без делений. Несмотря на кажущуюся простоту, эти задачи неразрешимы, что было установлено лишь во второй половине XIX века.

- Вопрос к учащимся: Вы знаете, что такое бесконечность? Приведите примеры бесконечности. Как вы ее себе представляете? А вы знаете как обозначают бесконечность. Почему?А как называется этот знак? (ответ:Лемниската)

Вместе с открытием несоизмеримых величин в греческой математике появилось понятие бесконечности. Несмотря на то, что греческие ученые были замечательными мастерами рассуждений и доказательств, они встретили трудности при решении задач с понятиями непрерывного и бесконечного. Одной из таких задач, в которой как будто првильные рассуждения приводят к явно нелепому результату, является знаменитая задача про Ахиллеса и черепаху.

Условия задач были такие: Быстроногий Ахиллес и черепаха стоят на одной и той же дороге, черепаха на одну меру пути впереди Ахиллеса. Они одновременно пускаются в путь в одном и том же направлении. Пусть Ахиллес двигается в 100 раз быстрее. Догонит ли бегун черепаху?

Рассуждали так: Когда бегун пробежит до того места, где стояла черепаха, скажем, 1 км, то черепаха уползет вперед на 100 м. Ахиллес пробежит еще 100м, а черепаха снова удалится от него на 1 метр и так далее до бесконечности. Выходит, что Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху. Но ведь это явно неверно!

- Задание учащимся: найдите ошибку в рассуждениях и самостоятельно решите задачу (Правильный ответ: чтобы догнать черепаху, Ахиллес должен пробежать 1+1/9 первоначального расстояния между ними).

Сформулировать этот парадокс (или «апорию» - трудность, безысходность) удалось Зенону Элейскому (490-430 гг до н.э.). Зенон из Элеи первым начал строить философию на основе логических рассуждений. Элеаты постоянно пользовались доказательствами путем приведения к абсурду. За мастерское владение диалектикой Зенон был прозван «двуязыким». В древности было известно более 40 апорий, из которых до нас дошло только девять. Свои апории Зенон направил против возможности движения. Но ведь тела движутся на наших глазах! В чем же дело? Размышления на эту тему изложил в своем небольшом стихотворении А.С.Пушкин:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не мог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей

Другой пример на память мне приводит:

Ведь каждый день пред нами солнце ходит,

Однако ж прав упрямый Галилей.

- Разбор стихотворения с учащимися. Учащиеся рассуждают, объясняют, как они поняли текст.

Общепринятой в греческой математике стала такая точка зрения: в малом не существует наименьшего, но всегда есть еще меньшее. В результате деления отрезка всегда будут получаться отрезки, которые по-прежнему остаются делимыми величинами, и таким путем мы никогда не дойдем до неделимых частиц. Это значит, что отрезок не состоит из точек, а есть «геометрическое место точек».

- Выводы по уроку. Что было особенно интересно? Что запомнилось? Какие имена вы запомнили? Задание: к следующему уроку постарайтесь узнать другие апории, по желанию: попробуйте изобразить бесконечность. Подумайте, есть ли разница между бесконечностью малого и бесконечностью большого? Если да, то в чем она?