Проект "Педальный треугольник"

Департамент образования мэрии города Новосибирска

Дворец творчества детей и учащейся молодежи «Юниор»

Городской конкурс исследовательских проектов

учащихся 5-8 классов

Направление: научно-техническое

«Педальный треугольник»

Автор:

Бобылева София Сергеевна

МБОУ ЭКЛ, 8 класс,

Центральный округ г.Новосибирска

Консультант проекта: Кривченкова

Татьяна Владимировна,

учитель математики ВК

Контактный телефон руководителя:

8-913-956-83-47

Новосибирск, 2021

Оглавление

Введение 3

Основная часть 4

Что такое педальный треугольник? 4

Что такое точка Брокара? 4

Треугольник Брокара 5

Окружность Брокара 5

Теоремы о педальном треугольнике 6

Практическая часть 9

Заключение 13

Список литературы 15

Введение

Искусство решать геометрические задачи

чем-то напоминает трюки иллюзионистов - иногда,

даже зная решение задачи, трудно

понять, как можно было до него додуматься.

/И. Д. Новиков/

Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах. В Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу.

В герметической идеографии треугольник с устремленной к верху вершиной, символизирует огонь и отвечает идее вознесения, духовности.

Треугольник с горизонтальной чертой считается пассивным и означает воздух, умеренный огонь.

Перевернутый треугольник означает чашу, готовую принять воду; мудрость, порождающую главную идею.

Треугольник – одна из основных фигур, изучаемых в геометрии. В школьной программе рассматриваются несколько видов треугольников, а, чтобы расширить представление об этих необычайно интересных фигурах и их свойствах, мы захотели познакомиться с педальным треугольником. Свойства педального треугольника позволяют решать сложные математические задачи просто, красиво и понятно.

В нашей работе мы собираемся рассмотреть несколько вопросов этого раздела, исходя из этого, мы поставили перед собой следующие цель и задачи.

Цель: применение теорем о педальном треугольнике при решении задач.

Задачи:

1. Узнать, какой треугольник является педальным.

1. Изучить его историю.

2. Разобрать основные теоремы и свойства педального треугольника.

3. Решить несколько задач по данной теме.

Гипотеза: можно ли сказать, что применение теорем о педальном треугольнике помогает при решении сложных задач.

Методы исследования: сбор информации, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение.

Этапы исследования:

Первый этап – теоретический. Поиск и изучение теоретического материала (литературы и Интернет-ресурсов) по теме «Педальный треугольник».

Второй этап – практический. Доказательство теорем и свойств педального треугольника и решение задач с их использованием.

Третий этап – заключительный. Систематизация и обобщение теоретического материала. Анализ решения задач. Формулировка выводов.

Основная часть
Что такое педальный треугольник?

Пусть P любая точка внутри данного треугольника ABC и пусть перпендикуляры, опущенные из точки P на стороны BC, CA, AB треугольника будут P , P и P .

Определение: Треугольник , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным (подерным) треугольником треугольника ABC для «педальной точки» P.

При торможении автомобиля педаль тормоза бьет обратно в педаль, работая по принципу – точка – тире - точка.

Что такое точка Брокара?

Точкой Брокара называется такая педальная точка, которая при соединении с вершинами треугольника образует равные чередующиеся углы. Такие углы называются углами Брокара.

Т очка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника, возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах.

Считаются замечательными точками треугольника, с их помощью строятся многие объекты геометрии треугольника (в том числе, окружность Брокара , треугольник Брокара , окружность Нейберга (см. также Нойберг, Жозеф), окружности Схоуте). Названы в честь французского метеоролога и геометра Анри Брокара, описавшего точки и их построение в 1875 году, однако были известны и ранее, в частности, были построены в одной из работ немецкого математика и архитектора Августа Крелле, изданной в 1816 году.

Брокар Анри (12.05.1845 – 16.02.1922) – французский математик, специалист в области геометрии треугольника и круга. Ряд геометрических образов, связанных с треугольником и кругом, носит в настоящее время имя Брокара (круг, первый и второй треугольники, точки и углы, но только «круг Брокара» принадлежит ему самому). Брокар составил один из наиболее подробных справочников по замечательным кривым. В работе имеются два плаката, формата А3, показывающие расположение точек Брокара внутри треугольника.

Угол Брокара определяется по формуле  , а площадь педального треугольника точки Брокара равна  , где S – площадь данного треугольника.

Треугольник Брокара

Треугольник Брокара – треугольник, образуемый точками пересечения линий, проведённых из двух различных вершин заданного треугольника через различные точки Брокара: для  △ABC и его точек Брокара B1  и  B2  вершины одного из треугольников Брокара будут находиться на пересечениях  AB1∩BB2 ,  AB1∩CB2 и  AB2∩BB1. Треугольник Брокара вписан в окружность Брокара.

Окружность Брокара

Окружность Брокара (окружность семи точек) — окружность, диаметром которой является отрезок, соединяющий центр описанной окружности данного треугольника и его точку Лемуана. Две точки Брокара лежат на этой окружности, так же, как и три вершины треугольника Брокара. Эта окружность концентрическая с первой окружностью Лемуана.

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности и точка Лемуана совпадают, поэтому его окружность Брокара вырождается в точку.

Теоремы о педальном треугольнике

1. Если точка Брокара Р является пересечением медианы СМ с биссектрисой АЕ, то треугольник правильный.

Дано:

АВС – треугольник

СМ – медиана

АЕ – биссектриса

Р – точка Брокара

Доказать:

АВС – правильный треугольник

Доказательство

1. Так как ВР=АР, то отрезок РМ в равнобедренном треугольнике АВР служит медианой, так и высотой.

2. Тогда отрезок СМ в треугольнике АВС также служит высотой и медианой, а значит и биссектрисой.

3. Следовательно, точка Р – пересечение биссектрис, треугольник АВС правильный, что и требовалось доказать.

1. Е сли точка Брокара Р является точкой пересечения медианы СМ с высотой ВD, то треугольник АВС правильный.

Дано

АВС – треугольник

СМ – медиана

ВD – высота

Р – точка Брокара

ВD СМ = Р

Доказать:

АВС – правильный треугольник

Доказательство

1. Из подобия треугольников МВР и МСВ следует, что МВ:МС=МР:МВ или МВ²=МС*МР

2. По условию МВ=МА, тогда МА²=МС*МР и МА:МС=МР:МА

3. Следовательно, треугольник АМР подобен треугольнику СМА и угол МАР равен углу МСА, а значит и AB=BC, Р – точка пересечения медиан, т.е. треугольник АВС правильный, что и требовалось доказать.

1. Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный.

Дано:

АВС – треугольник

СМ – биссектриса

ВD – высота

Р – точка Брокара

ВD СМ = Р

Доказать:

АВС – правильный треугольник

Доказательство

1. Так как Р – точка Брокара, то и (СМ является биссектрисой в треугольнике АВС). Отсюда следует, что в треугольнике АРС, тогда стороны АР и РС равны.

2. В равнобедренном треугольнике АРC высота PD является и медианой, т.е. AD=DC.

3. Следовательно, высота BD в треугольнике АВС является и медианой.

4. Точка Брокара Р в треугольнике АВС является пересечением биссектрисы СМ с медианой BD, отсюда, по предыдущей теореме, треугольник АВС правильный, что и требовалось доказать.

Свойство педального треугольника

1. Третий педальный треугольник подобен исходному.

Дано:

АВС – треугольник

Р – педальная точка.

Доказать:

подобен

Доказательство:

1. Если соединить точки А и Р, то получим двойники: одна - при вершине В₁, а другая при вершине С₁, далее при вершинах С₂ и В₂ и, наконец, обе – при вершине А₃.

2. Следовательно, треугольник АВС и треугольник имеют равные углы при вершинах А и А₃.

3. Аналогично, они имеют равные углы В и В₃. таким образом, теорема доказана.

Замечание:

Для решения задач нам пригодятся формулы для нахождения сторон педального треугольника:

Если педальная точка Р является центром вписанной окружности, то

,  , 

, где .

Практическая часть

Задача1. Построение педального треугольника.

Построение

1. Берем произвольную точку P внутри треугольника ABC

2. Из точки P опустим перпендикуляры на стороны BC, AC, AB

3. Соединим полученные точки A₁, B₁, C₁

4. Получим треугольник A₁B₁C₁ педальный.

В работе есть плакат на котором показано построение.

Задача2. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что педальная окружность точки D относительно треугольника ABC проходит через точку пересечения его диагоналей̆.

Доказательство

1. Пусть A₁, B₁, C₁ – основания перпендикуляров, опущенных на стороны ∆ ABC: BC, AC, AB, точка пересечения диагоналей̆ параллелограмма – O.

2. Точки A₁, C, D, B₁ лежат на одной̆ окружности, следовательно,

∠ B₁A₁D = ∠ B₁CD.

1. Прямые AB и CD параллельны, значит, ∠ B₁CD = ∠ C₁AO =

∠ B₁A₁D = ∠ C₁AO.

1. Точки B, A₁, D, C₁ лежат на одной̆ окружности, откуда ∠ BA₁C₁ =

∠ BDC₁.

1. Так как ∠ BC₁D = 90°, то C₁O = OD и ∠ OC₁D = ∠ BDC₁, значит

∠ BA₁C₁ = ∠ OC₁D.

1. Из развернутого угла BAC: ∠ C₁A₁B₁ = 180° - ∠ BA₁C₁ - ∠ B₁A₁D – 90° = 180° - ∠ OC₁D - ∠ C₁AO – 90° = ∠ C₁OA.

2. Получили, что четырехугольник C₁A₁B₁O – вписанный̆, т.е. точка O принадлежит описанной̆ окружности ∆ A₁B₁C₁, что, в свою очередь, означает, что педальная окружность точки D относительно ∆ ABC проходит через точку O, т.е. точку пересечения диагоналей̆ данного параллелограмма ABCD.

Задача3. Из точки P опущены перпендикуляры PA₁, PB₁, PC₁ на стороны треугольника ABC. Прямая l_a соединяет середины отрезков PA и B₁C₁. Аналогично определяются прямые l_b и l_c. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Доказательство

1. Точки B₁ и C₁ лежат на одной окружности с диаметром AP.

2.Значит, середина отрезка AP является центром окружности, описанной около ∆ AB₁C₁.

3.Следовательно, l_a – серединный перпендикуляр к отрезку B₁C₁.

4.Поэтому прямые l_a, l_b, l_c пересекаются в одной точке – центре окружности, описанной около треугольника A₁B₁C₁.

Задача 4. Найти площадь педального треугольника точки Брокара, если стороны треугольника равны 4, 7 и 5 см.

Решение.

По формуле Герона:

.

Воспользуемся формулой  

Тогда

Ответ: 1,57.

Задача 5. Определите угол Брокара, если треугольник имеет следующие стороны 3, 2 и 5.

Решение.

Нам известна формула для нахождения угла Брокара:

  .

Тогда, используя опять формулу Герона для нахождения площади треугольника, получим:

Найдем угол по таблице Брадиса: .

Ответ:

Задача 6.Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках А и Р, АР=12. Найдите периметр этого треугольника.

Данная задача использована в учебно-тренировочных материалах для подготовки учащихся к ЕГЭ

Решение.

I  способ

Пусть BCF – равнобедренный треугольник с основанием BF. Проведем высоту CH. Тогда BH=HF и BF=2BH=36. Следовательно, FH=BH=18. Тогда по свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, AB=BH=HF=FP=18.

 СН – ось симметрии треугольника ВСF, то центр вписанной окружности лежит на СН, а AB=FP. Следовательно, точки А и Р симметричны относительно прямой СН и поэтому АР||BF. Значит, треугольники АСР и BCF подобны.

Отсюда следует, что треугольник АСР равнобедренный и АС=СР. Пусть АС=х. Из подобия треугольников ACP и BCF следует  . Отсюда получаем  , значит, х=9. Поэтому, ВС=СF=х+18=27. Следовательно, искомый периметр треугольника BCF равен  BF+2BC=

=36+54=90.

II способ

Так как дана вписанная окружность, то J – есть педальная точка, тогда треугольник АРН – педальный.

, BC=CF, так как треугольник BCF- равнобедренный,

 ВС=х , АР=12,  (по формуле Герона).

По изученным свойствам педального треугольника(замечание), найдем

, 

В С=27, CF=27, BF=36.

P_BCF=27+27+36=90.

Таким образом, знание свойств педального треугольника, месторасположения точки Брокара значительно упрощают решение сложных математических задач.

Заключение

В нашей работе мы узнали, что такое педальный треугольник, познакомились с теоремами и свойствами, доказали их. В рассмотренных задачах показано практическое применение свойств педального треугольника для их решения. Следует отметить, что это позволяет решать сложные математические задачи просто, красиво, понятно. На примере задачи из ЕГЭ продемонстрировано значительное упрощение хода ее решения за счет знания понятия педального треугольника, его свойств. Нам было очень интересно работать над проектом, мы узнали много нового, решили задачи. Работа получилась достаточно информативной, мы очень старались, работая над ней.

Выводы:

Итак, в процессе работы: мы узнали, какой треугольник называют педальным.

Рассмотрели теоремы и свойства педального треугольника, доказали их, а также решили несколько задач на эту тему.

Знание свойств педального треугольника, месторасположения точки Брокара значительно упрощают решение сложных математических задач.

Работая над педальным треугольником, мы научились решать задачи, повышенного уровня.

В геометрических задачах, в первую очередь, обращаем внимание на то, правильно ли сделан рисунок. Мы знаем, что на олимпиадах и на ОГЭ, ЕГЭ по математике, в частности по геометрии, мы встречаемся с задачами. После работы над данной темой нам они стали даваться легче.

Наша гипотеза подтвердилась, то есть мы можем сказать уверенно, что теоремы и свойства о педальном треугольнике помогают при решении сложных задач.

Собранный нами материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического кружка.

Также рекомендуем ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Терминологический словарь

Педальный треугольник - треугольник, вершинами которого является основания перпендикуляров, опущенных из точки, находящейся внутри треугольника. А сама эта точка называется педальной точкой.

Точкой Брокара называется такая педальная точка, которая при соединении с вершинами треугольника образует равные чередующиеся углы. А такие углы называются углами Брокара.

Треугольник Брокара – треугольник, образуемый точками пересечения линий, проведённых из двух различных вершин заданного треугольника через различные точки Брокара.

Окружность Брокара (окружность семи точек) — окружность, диаметром которой является отрезок, соединяющий центр описанной окружности данного треугольника и его точку Лемуана.

Точка Лемуана - точка пересечения прямых, соединяющих середины сторон треугольника с серединами соответствующих им высот.

Список литературы и Интернет-ресурсов:

1. Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л., Новые встречи с геометрией. – М: Наука, 1978;

2. Виктор Прасолов, Точки Брокара и изогональное сопряжение. МЦНМО, 2012.

3. Кубышева М.А., Избранные вопросы геометрии.- М, 2006;

5. https://pandia.ru/text/78/101/1832.php

6.http://yavix.ru/вики%20Точка%20Брокара

7.https://ru.wikipedia.org/wiki/Подерный_треугольник

8.https://gigabaza.ru/doc/28479.html

9.http://geometry-and-art.ru/tsitat.html