Проект "Педальный треугольник"

Педальный треугольник

Работу выполнила

ученица 10 Б класса

МБОУ ЭКЛ

г.Новосибирска

Бобылева София

Руководитель: Кривченкова Татьяна Владимировна, учитель математики ВК

Искусство решать геометрические задачи

чем-то напоминает трюки иллюзионистов - иногда,

даже зная решение задачи, трудно понять,

как можно было до него додуматься.

/И. Д. Новиков/

1

ВВЕДЕНИЕ

Треугольник – одна из основных фигур, изучаемых в геометрии. В школьной программе рассматриваются несколько видов треугольников, а, чтобы расширить представление об этих необычайно интересных фигурах и их свойствах, мы захотели познакомиться с педальным треугольником. Свойства педального треугольника позволяют решать сложные математические задачи просто, красиво и понятно.

В нашей работе мы собираемся рассмотреть несколько вопросов этого раздела, исходя из этого, мы поставили перед собой следующие цели и задачи.

1

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ

Цель : применение теорем о педальном треугольнике при решении задач.

Задачи:

• Узнать, какой треугольник является педальным.
• Разобрать главные свойства педального треугольника.
• Изучить его историю.
• Решить несколько задач по данной теме.

ПЕДАЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Треугольник , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным (подерным) треугольником треугольника ABC для «педальной точки» P .

1

ТОЧКА БРОКАРА

Точка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника , возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах.

Названы в честь французского метеоролога и геометра Анри Брокара , описавшего

точки и их построение в 1875 году.

1

ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ БРОКАРА

Треугольник Брокара  – треугольник, образуемый точками пересечения линий, проведённых из двух различных вершин заданного треугольника через различные точки Брокара.

Окружность Брокара   ( окружность семи точек ) — окружность, диаметром которой является отрезок, соединяющий центр описанной окружности данного треугольника и его точку Лемуана.

1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Если точка Брокара Р является пересечением медианы СМ с биссектрисой АЕ, то треугольник правильный.

Дано:

АВС – треугольник

СМ – медиана

АЕ – биссектриса

Р – точка Брокара

Доказать:

АВС – правильный треугольник

1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Если точка Брокара Р является точкой пересечения медианы СМ с высотой ВD, то треугольник АВС правильный.

1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный.

1

СВОЙСТВО ПЕДАЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Третий педальный треугольник подобен исходному.

1

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задача 1

Построение педального треугольника.

1

построение

• Берем произвольную точку P внутри треугольника ABC.
• Из точки P опустим перпендикуляры на стороны BC, AC, AB.
• Соединим полученные точки A 1 , B 1 , C 1 .
• Получим треугольник A 1 B 1 C 1 педальный.

1

ЗАДАЧА 2

Из точки P опущены перпендикуляры PA 1 , PB 1 , PC 1 на стороны треугольника ABC. Прямая l a соединяет середины отрезков PA и B 1 C 1 . Аналогично определяются прямые l b и l c . Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

1

Доказательство

• Точки B 1 и C 1 лежат на одной окружности с диаметром AP.
• Значит, середина отрезка AP является центром окружности, описанной около ∆ AB 1 C 1 .
• Следовательно, l a – серединный перпендикуляр к отрезку B 1 C 1 .
• Поэтому прямые l a , l b , l c пересекаются в одной точке – центре окружности, описанной около треугольника A 1 B 1 C 1 .

1

ЗАДАЧА 3

Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что педальная окружность точки D относительно треугольника ABC проходит через точку пересечения его диагоналей̆.

1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

• В нашей работе мы узнали, что такое педальный треугольник, познакомились с теоремами и свойствами.
• Нам было очень интересно работать над проектом, хотя было порой сложно, мы узнали много нового, разобрали и решили задачи.
• Работа получилась достаточно информативной, мы очень старались, работая над ней.

1

ВЫВОДЫ

• Мы узнали, что называют педальным треугольником.
• Рассмотрели теоремы и свойства педального треугольника, а также решили несколько задач на эту тему.
• Знание свойств педального треугольника, месторасположения точки Брокара значительно упрощают решение сложных математических задач.
• Работая над педальным треугольником , мы научились решать задачи, повышенного уровня.
• Также рекомендуем ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

1

Список литературы и Интернет-ресурсов:

• 1 . Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л., Новые встречи с геометрией. – М: Наука, 1978;
• 2. Кубышева М.А., Избранные вопросы геометрии.- М, 2006;
• 3. Прасолов В.В., Задачи по планиметрии. – М: МЦНМО, 2006;
• 4. Прасолов В.В., Точки Брокара. Ж: Квант № 1, 1992, с.42; 5. https://pandia.ru/text/78/101/1832.php
• 6. http://yavix.ru/вики%20Точка%20Брокара
• 7. https://ru.wikipedia.org/ wiki / Подерный_треугольник
• 8. https://gigabaza.ru/ doc /28479.html
• 9. http://geometry-and-art.ru/tsitat.html
•  

1