kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Проект "Педальный треугольник"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Целью проекта является применение теорем о педальном треугольнике при решении задач. В проекте дается определение педального треугольника, доказываются теоремы о нем, а также рассматриваются точка Брокара, треугольник и окружность Брокара. В практической части показывается как построить педальный треугольник, решаются задачи с помощью теорем о педальном треугольнике.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Проект "Педальный треугольник"»

Педальный треугольник Работу выполнила ученица 10 Б класса МБОУ ЭКЛ г.Новосибирска  Бобылева София Руководитель: Кривченкова Татьяна Владимировна, учитель математики ВК

Педальный треугольник

Работу выполнила

ученица 10 Б класса

МБОУ ЭКЛ

г.Новосибирска

Бобылева София

Руководитель: Кривченкова Татьяна Владимировна, учитель математики ВК

Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов - иногда, даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.   /И. Д. Новиков/  1

Искусство решать геометрические задачи

чем-то напоминает трюки иллюзионистов - иногда,

даже зная решение задачи, трудно понять,

как можно было до него додуматься.

/И. Д. Новиков/

1

ВВЕДЕНИЕ Треугольник – одна из основных фигур, изучаемых в геометрии. В школьной программе рассматриваются несколько видов треугольников, а, чтобы расширить представление об этих необычайно интересных фигурах и их свойствах, мы захотели познакомиться с педальным треугольником. Свойства педального треугольника позволяют решать сложные математические задачи просто, красиво и понятно. В нашей работе мы собираемся рассмотреть несколько вопросов этого раздела, исходя из этого, мы поставили перед собой следующие цели и задачи. 1

ВВЕДЕНИЕ

Треугольник – одна из основных фигур, изучаемых в геометрии. В школьной программе рассматриваются несколько видов треугольников, а, чтобы расширить представление об этих необычайно интересных фигурах и их свойствах, мы захотели познакомиться с педальным треугольником. Свойства педального треугольника позволяют решать сложные математические задачи просто, красиво и понятно.

В нашей работе мы собираемся рассмотреть несколько вопросов этого раздела, исходя из этого, мы поставили перед собой следующие цели и задачи.

1

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ Цель : применение теорем о педальном треугольнике при решении задач.  Задачи:

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ

Цель : применение теорем о педальном треугольнике при решении задач.

Задачи:

  • Узнать, какой треугольник является педальным.
  • Разобрать главные свойства педального треугольника.
  • Изучить его историю.
  • Решить несколько задач по данной теме.
ПЕДАЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК Треугольник , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным (подерным) треугольником треугольника ABC для «педальной точки» P .   1

ПЕДАЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Треугольник , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным (подерным) треугольником треугольника ABC для «педальной точки» P .

  •  

1

ТОЧКА БРОКАРА Точка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника , возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах. Названы в честь французского метеоролога и геометра Анри Брокара , описавшего точки и их построение в 1875 году. 1

ТОЧКА БРОКАРА

Точка Брокараодна из двух точек внутри треугольника , возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах.

Названы в честь французского метеоролога и геометра Анри Брокара , описавшего

точки и их построение в 1875 году.

1

ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ БРОКАРА Треугольник Брокара  – треугольник, образуемый точками пересечения линий, проведённых из двух различных вершин заданного треугольника через различные точки Брокара. Окружность Брокара   ( окружность семи точек ) — окружность, диаметром которой является отрезок, соединяющий центр описанной окружности данного треугольника и его точку Лемуана. 1

ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ БРОКАРА

Треугольник Брокара  – треугольник, образуемый точками пересечения линий, проведённых из двух различных вершин заданного треугольника через различные точки Брокара.

Окружность Брокара   ( окружность семи точек ) — окружность, диаметром которой является отрезок, соединяющий центр описанной окружности данного треугольника и его точку Лемуана.

1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ Если точка Брокара Р является пересечением медианы СМ с биссектрисой АЕ, то треугольник правильный. Дано: АВС – треугольник СМ – медиана АЕ – биссектриса Р – точка Брокара Доказать: АВС – правильный треугольник 1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Если точка Брокара Р является пересечением медианы СМ с биссектрисой АЕ, то треугольник правильный.

Дано:

АВС – треугольник

СМ – медиана

АЕ – биссектриса

Р – точка Брокара

Доказать:

АВС – правильный треугольник

1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ Если точка Брокара Р является точкой пересечения медианы СМ с высотой ВD, то треугольник АВС правильный. 1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Если точка Брокара Р является точкой пересечения медианы СМ с высотой ВD, то треугольник АВС правильный.

1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный. 1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный.

1

СВОЙСТВО ПЕДАЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА Третий педальный треугольник подобен исходному. 1

СВОЙСТВО ПЕДАЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Третий педальный треугольник подобен исходному.

1

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задача 1 Построение педального треугольника. 1

Задача 1

Построение педального треугольника.

1

построение Берем произвольную точку P внутри треугольника ABC. Из точки P опустим перпендикуляры на стороны BC, AC, AB. Соединим полученные точки A 1 , B 1 , C 1 . Получим треугольник A 1 B 1 C 1 педальный. 1

построение

  • Берем произвольную точку P внутри треугольника ABC.
  • Из точки P опустим перпендикуляры на стороны BC, AC, AB.
  • Соединим полученные точки A 1 , B 1 , C 1 .
  • Получим треугольник A 1 B 1 C 1 педальный.

1

ЗАДАЧА 2 Из точки P опущены перпендикуляры PA 1 , PB 1 , PC 1 на стороны треугольника ABC. Прямая l a соединяет середины отрезков PA и B 1 C 1 . Аналогично определяются прямые l b и l c . Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке. 1

ЗАДАЧА 2

Из точки P опущены перпендикуляры PA 1 , PB 1 , PC 1 на стороны треугольника ABC. Прямая l a соединяет середины отрезков PA и B 1 C 1 . Аналогично определяются прямые l b и l c . Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

1

Доказательство Точки B 1 и C 1 лежат на одной окружности с диаметром AP. Значит, середина отрезка AP является центром окружности, описанной около ∆ AB 1 C 1 . Следовательно, l a – серединный перпендикуляр к отрезку B 1 C 1 . Поэтому прямые l a , l b , l c пересекаются в одной точке – центре окружности, описанной около треугольника A 1 B 1 C 1 . 1

Доказательство

  • Точки B 1 и C 1 лежат на одной окружности с диаметром AP.
  • Значит, середина отрезка AP является центром окружности, описанной около AB 1 C 1 .
  • Следовательно, l a – серединный перпендикуляр к отрезку B 1 C 1 .
  • Поэтому прямые l a , l b , l c пересекаются в одной точке – центре окружности, описанной около треугольника A 1 B 1 C 1 .

1

ЗАДАЧА 3 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что педальная окружность точки D относительно треугольника ABC проходит через точку пересечения его диагоналей̆. 1

ЗАДАЧА 3

Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что педальная окружность точки D относительно треугольника ABC проходит через точку пересечения его диагоналей̆.

1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В нашей работе мы узнали, что такое педальный треугольник, познакомились с теоремами и свойствами. Нам было очень интересно работать над проектом, хотя было порой сложно, мы узнали много нового, разобрали и решили задачи. Работа получилась достаточно информативной, мы очень старались, работая над ней.  1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  • В нашей работе мы узнали, что такое педальный треугольник, познакомились с теоремами и свойствами.
  • Нам было очень интересно работать над проектом, хотя было порой сложно, мы узнали много нового, разобрали и решили задачи.
  • Работа получилась достаточно информативной, мы очень старались, работая над ней.

1

ВЫВОДЫ Мы узнали, что называют педальным треугольником. Рассмотрели теоремы и свойства педального треугольника, а также решили несколько задач на эту тему. Знание свойств педального треугольника, месторасположения точки Брокара значительно упрощают решение сложных математических задач. Работая над педальным треугольником , мы научились решать задачи, повышенного уровня. Также рекомендуем ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.    1

ВЫВОДЫ

  • Мы узнали, что называют педальным треугольником.
  • Рассмотрели теоремы и свойства педального треугольника, а также решили несколько задач на эту тему.
  • Знание свойств педального треугольника, месторасположения точки Брокара значительно упрощают решение сложных математических задач.
  • Работая над педальным треугольником , мы научились решать задачи, повышенного уровня.
  • Также рекомендуем ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.
  •  

1

Список литературы и Интернет-ресурсов:   1 .  Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л., Новые встречи с геометрией. – М: Наука, 1978; 2.  Кубышева М.А., Избранные вопросы геометрии.- М, 2006; 3.  Прасолов В.В., Задачи по планиметрии. – М: МЦНМО, 2006; 4.  Прасолов В.В., Точки Брокара. Ж: Квант № 1, 1992, с.42; 5. https://pandia.ru/text/78/101/1832.php 6. http://yavix.ru/вики%20Точка%20Брокара 7. https://ru.wikipedia.org/ wiki / Подерный_треугольник 8. https://gigabaza.ru/ doc /28479.html 9. http://geometry-and-art.ru/tsitat.html   1

Список литературы и Интернет-ресурсов:

  • 1 . Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л., Новые встречи с геометрией. – М: Наука, 1978;
  • 2. Кубышева М.А., Избранные вопросы геометрии.- М, 2006;
  • 3. Прасолов В.В., Задачи по планиметрии. – М: МЦНМО, 2006;
  • 4. Прасолов В.В., Точки Брокара. Ж: Квант № 1, 1992, с.42; 5. https://pandia.ru/text/78/101/1832.php
  • 6. http://yavix.ru/вики%20Точка%20Брокара
  • 7. https://ru.wikipedia.org/ wiki / Подерный_треугольник
  • 8. https://gigabaza.ru/ doc /28479.html
  • 9. http://geometry-and-art.ru/tsitat.html
  •  

1


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Проект "Педальный треугольник"

Автор: Бобылева София, Кривченкова Татьяна Владимировна

Дата: 03.02.2021

Номер свидетельства: 572195

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(56) "Проект "Педальный треугольник""
    ["seo_title"] => string(26) "proekt_pedalnyi_treugolnik"
    ["file_id"] => string(6) "572133"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "meropriyatia"
    ["date"] => string(10) "1612275708"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства