Целью проекта является применение теорем о педальном треугольнике при решении задач. В проекте дается определение педального треугольника, доказываются теоремы о нем, а также рассматриваются точка Брокара, треугольник и окружность Брокара. В практической части показывается как построить педальный треугольник, решаются задачи с помощью теорем о педальном треугольнике.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Проект "Педальный треугольник"»
Педальный треугольник
Работу выполнила
ученица 10 Б класса
МБОУ ЭКЛ
г.Новосибирска
Бобылева София
Руководитель: Кривченкова Татьяна Владимировна, учитель математики ВК
Искусство решать геометрические задачи
чем-то напоминает трюки иллюзионистов - иногда,
даже зная решение задачи, трудно понять,
как можно было до него додуматься.
/И. Д. Новиков/
1
ВВЕДЕНИЕ
Треугольник – одна из основных фигур, изучаемых в геометрии. В школьной программе рассматриваются несколько видов треугольников, а, чтобы расширить представление об этих необычайно интересных фигурах и их свойствах, мы захотели познакомиться с педальным треугольником. Свойства педального треугольника позволяют решать сложные математические задачи просто, красиво и понятно.
В нашей работе мы собираемся рассмотреть несколько вопросов этого раздела, исходя из этого, мы поставили перед собой следующие цели и задачи.
1
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ
Цель : применение теорем о педальном треугольнике при решении задач.
Задачи:
Узнать, какой треугольник является педальным.
Разобрать главные свойства педального треугольника.
Изучить его историю.
Решить несколько задач по данной теме.
ПЕДАЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольник , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называетсяпедальным (подерным) треугольникомтреугольника ABC для «педальной точки» P.
1
ТОЧКА БРОКАРА
Точка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника , возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах.
Названы в честь французского метеоролога и геометра Анри Брокара , описавшего
точки и их построение в 1875 году.
1
ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ БРОКАРА
Треугольник Брокара – треугольник, образуемый точками пересечения линий, проведённых из двух различных вершин заданного треугольника через различные точки Брокара.
Окружность Брокара(окружность семи точек) — окружность, диаметром которой является отрезок, соединяющий центр описанной окружности данного треугольника и его точку Лемуана.
1
ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Если точка Брокара Р является пересечением медианы СМ с биссектрисой АЕ, то треугольник правильный.
Дано:
АВС – треугольник
СМ – медиана
АЕ – биссектриса
Р – точка Брокара
Доказать:
АВС – правильный треугольник
1
ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Если точка Брокара Р является точкой пересечения медианы СМ с высотой ВD, то треугольник АВС правильный.
1
ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный.
1
СВОЙСТВО ПЕДАЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Третий педальный треугольник подобен исходному.
1
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Задача 1
Построение педального треугольника.
1
построение
Берем произвольную точку P внутри треугольника ABC.
Из точки P опустим перпендикуляры на стороны BC, AC, AB.
Соединим полученные точки A1, B1, C1.
Получим треугольник A1B1C1педальный.
1
ЗАДАЧА 2
Из точки P опущены перпендикуляры PA1, PB1, PC1на стороны треугольника ABC. Прямая laсоединяет середины отрезков PA и B1C1. Аналогично определяются прямые lbи lc. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.
1
Доказательство
Точки B1и C1лежат на одной окружности с диаметром AP.
Значит, середина отрезка AP является центром окружности, описанной около∆AB1C1.
Следовательно, la– серединный перпендикуляр к отрезку B1C1.
Поэтому прямые la, lb, lcпересекаются в одной точке – центре окружности, описанной около треугольника A1B1C1.
1
ЗАДАЧА 3
Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что педальная окружность точки D относительно треугольника ABC проходит через точку пересечения его диагоналей̆.
1
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В нашей работе мы узнали, что такое педальный треугольник, познакомились с теоремами и свойствами.
Нам было очень интересно работать над проектом, хотя было порой сложно, мы узнали много нового, разобрали и решили задачи.
Работа получилась достаточно информативной, мы очень старались, работая над ней.
1
ВЫВОДЫ
Мы узнали, что называют педальным треугольником.
Рассмотрели теоремы и свойства педального треугольника, а также решили несколько задач на эту тему.
Знание свойств педального треугольника, месторасположения точки Брокара значительно упрощают решение сложных математических задач.
Работая над педальным треугольником , мы научились решать задачи, повышенного уровня.
Также рекомендуем ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.
1
Список литературы и Интернет-ресурсов:
1.Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л., Новые встречи с геометрией. – М: Наука, 1978;
2.Кубышева М.А., Избранные вопросы геометрии.- М, 2006;
3.Прасолов В.В., Задачи по планиметрии. – М: МЦНМО, 2006;
