kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Проект "Педальный треугольник"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Целью проекта является применение теорем о педальном треугольнике при решении задач. В проекте дается определение педального треугольника, доказываются теоремы о нем, а также рассматриваются точка Брокара, треугольник и окружность Брокара. В практической части показывается как построить педальный треугольник, решаются задачи с помощью теорем о педальном треугольнике.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Проект "Педальный треугольник"»

Педальный треугольник Работу выполнила ученица 10 Б класса МБОУ ЭКЛ г.Новосибирска  Бобылева София Руководитель: Кривченкова Татьяна Владимировна, учитель математики ВК

Педальный треугольник

Работу выполнила

ученица 10 Б класса

МБОУ ЭКЛ

г.Новосибирска

Бобылева София

Руководитель: Кривченкова Татьяна Владимировна, учитель математики ВК

Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов - иногда, даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.   /И. Д. Новиков/  1

Искусство решать геометрические задачи

чем-то напоминает трюки иллюзионистов - иногда,

даже зная решение задачи, трудно понять,

как можно было до него додуматься.

/И. Д. Новиков/

1

ВВЕДЕНИЕ Треугольник – одна из основных фигур, изучаемых в геометрии. В школьной программе рассматриваются несколько видов треугольников, а, чтобы расширить представление об этих необычайно интересных фигурах и их свойствах, мы захотели познакомиться с педальным треугольником. Свойства педального треугольника позволяют решать сложные математические задачи просто, красиво и понятно. В нашей работе мы собираемся рассмотреть несколько вопросов этого раздела, исходя из этого, мы поставили перед собой следующие цели и задачи. 1

ВВЕДЕНИЕ

Треугольник – одна из основных фигур, изучаемых в геометрии. В школьной программе рассматриваются несколько видов треугольников, а, чтобы расширить представление об этих необычайно интересных фигурах и их свойствах, мы захотели познакомиться с педальным треугольником. Свойства педального треугольника позволяют решать сложные математические задачи просто, красиво и понятно.

В нашей работе мы собираемся рассмотреть несколько вопросов этого раздела, исходя из этого, мы поставили перед собой следующие цели и задачи.

1

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ Цель : применение теорем о педальном треугольнике при решении задач.  Задачи:

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ

Цель : применение теорем о педальном треугольнике при решении задач.

Задачи:

  • Узнать, какой треугольник является педальным.
  • Разобрать главные свойства педального треугольника.
  • Изучить его историю.
  • Решить несколько задач по данной теме.
ПЕДАЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК Треугольник , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным (подерным) треугольником треугольника ABC для «педальной точки» P .   1

ПЕДАЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Треугольник , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным (подерным) треугольником треугольника ABC для «педальной точки» P .

  •  

1

ТОЧКА БРОКАРА Точка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника , возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах. Названы в честь французского метеоролога и геометра Анри Брокара , описавшего точки и их построение в 1875 году. 1

ТОЧКА БРОКАРА

Точка Брокараодна из двух точек внутри треугольника , возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах.

Названы в честь французского метеоролога и геометра Анри Брокара , описавшего

точки и их построение в 1875 году.

1

ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ БРОКАРА Треугольник Брокара  – треугольник, образуемый точками пересечения линий, проведённых из двух различных вершин заданного треугольника через различные точки Брокара. Окружность Брокара   ( окружность семи точек ) — окружность, диаметром которой является отрезок, соединяющий центр описанной окружности данного треугольника и его точку Лемуана. 1

ТРЕУГОЛЬНИК И ОКРУЖНОСТЬ БРОКАРА

Треугольник Брокара  – треугольник, образуемый точками пересечения линий, проведённых из двух различных вершин заданного треугольника через различные точки Брокара.

Окружность Брокара   ( окружность семи точек ) — окружность, диаметром которой является отрезок, соединяющий центр описанной окружности данного треугольника и его точку Лемуана.

1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ Если точка Брокара Р является пересечением медианы СМ с биссектрисой АЕ, то треугольник правильный. Дано: АВС – треугольник СМ – медиана АЕ – биссектриса Р – точка Брокара Доказать: АВС – правильный треугольник 1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Если точка Брокара Р является пересечением медианы СМ с биссектрисой АЕ, то треугольник правильный.

Дано:

АВС – треугольник

СМ – медиана

АЕ – биссектриса

Р – точка Брокара

Доказать:

АВС – правильный треугольник

1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ Если точка Брокара Р является точкой пересечения медианы СМ с высотой ВD, то треугольник АВС правильный. 1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Если точка Брокара Р является точкой пересечения медианы СМ с высотой ВD, то треугольник АВС правильный.

1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный. 1

ТЕОРЕМЫ О ПЕДАЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный.

1

СВОЙСТВО ПЕДАЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА Третий педальный треугольник подобен исходному. 1

СВОЙСТВО ПЕДАЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Третий педальный треугольник подобен исходному.

1

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задача 1 Построение педального треугольника. 1

Задача 1

Построение педального треугольника.

1

построение Берем произвольную точку P внутри треугольника ABC. Из точки P опустим перпендикуляры на стороны BC, AC, AB. Соединим полученные точки A 1 , B 1 , C 1 . Получим треугольник A 1 B 1 C 1 педальный. 1

построение

  • Берем произвольную точку P внутри треугольника ABC.
  • Из точки P опустим перпендикуляры на стороны BC, AC, AB.
  • Соединим полученные точки A 1 , B 1 , C 1 .
  • Получим треугольник A 1 B 1 C 1 педальный.

1

ЗАДАЧА 2 Из точки P опущены перпендикуляры PA 1 , PB 1 , PC 1 на стороны треугольника ABC. Прямая l a соединяет середины отрезков PA и B 1 C 1 . Аналогично определяются прямые l b и l c . Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке. 1

ЗАДАЧА 2

Из точки P опущены перпендикуляры PA 1 , PB 1 , PC 1 на стороны треугольника ABC. Прямая l a соединяет середины отрезков PA и B 1 C 1 . Аналогично определяются прямые l b и l c . Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

1

Доказательство Точки B 1 и C 1 лежат на одной окружности с диаметром AP. Значит, середина отрезка AP является центром окружности, описанной около ∆ AB 1 C 1 . Следовательно, l a – серединный перпендикуляр к отрезку B 1 C 1 . Поэтому прямые l a , l b , l c пересекаются в одной точке – центре окружности, описанной около треугольника A 1 B 1 C 1 . 1

Доказательство

  • Точки B 1 и C 1 лежат на одной окружности с диаметром AP.
  • Значит, середина отрезка AP является центром окружности, описанной около AB 1 C 1 .
  • Следовательно, l a – серединный перпендикуляр к отрезку B 1 C 1 .
  • Поэтому прямые l a , l b , l c пересекаются в одной точке – центре окружности, описанной около треугольника A 1 B 1 C 1 .

1

ЗАДАЧА 3 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что педальная окружность точки D относительно треугольника ABC проходит через точку пересечения его диагоналей̆. 1

ЗАДАЧА 3

Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что педальная окружность точки D относительно треугольника ABC проходит через точку пересечения его диагоналей̆.

1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В нашей работе мы узнали, что такое педальный треугольник, познакомились с теоремами и свойствами. Нам было очень интересно работать над проектом, хотя было порой сложно, мы узнали много нового, разобрали и решили задачи. Работа получилась достаточно информативной, мы очень старались, работая над ней.  1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  • В нашей работе мы узнали, что такое педальный треугольник, познакомились с теоремами и свойствами.
  • Нам было очень интересно работать над проектом, хотя было порой сложно, мы узнали много нового, разобрали и решили задачи.
  • Работа получилась достаточно информативной, мы очень старались, работая над ней.

1

ВЫВОДЫ Мы узнали, что называют педальным треугольником. Рассмотрели теоремы и свойства педального треугольника, а также решили несколько задач на эту тему. Знание свойств педального треугольника, месторасположения точки Брокара значительно упрощают решение сложных математических задач. Работая над педальным треугольником , мы научились решать задачи, повышенного уровня. Также рекомендуем ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.    1

ВЫВОДЫ

  • Мы узнали, что называют педальным треугольником.
  • Рассмотрели теоремы и свойства педального треугольника, а также решили несколько задач на эту тему.
  • Знание свойств педального треугольника, месторасположения точки Брокара значительно упрощают решение сложных математических задач.
  • Работая над педальным треугольником , мы научились решать задачи, повышенного уровня.
  • Также рекомендуем ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.
  •  

1

Список литературы и Интернет-ресурсов:   1 .  Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л., Новые встречи с геометрией. – М: Наука, 1978; 2.  Кубышева М.А., Избранные вопросы геометрии.- М, 2006; 3.  Прасолов В.В., Задачи по планиметрии. – М: МЦНМО, 2006; 4.  Прасолов В.В., Точки Брокара. Ж: Квант № 1, 1992, с.42; 5. https://pandia.ru/text/78/101/1832.php 6. http://yavix.ru/вики%20Точка%20Брокара 7. https://ru.wikipedia.org/ wiki / Подерный_треугольник 8. https://gigabaza.ru/ doc /28479.html 9. http://geometry-and-art.ru/tsitat.html   1

Список литературы и Интернет-ресурсов:

  • 1 . Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л., Новые встречи с геометрией. – М: Наука, 1978;
  • 2. Кубышева М.А., Избранные вопросы геометрии.- М, 2006;
  • 3. Прасолов В.В., Задачи по планиметрии. – М: МЦНМО, 2006;
  • 4. Прасолов В.В., Точки Брокара. Ж: Квант № 1, 1992, с.42; 5. https://pandia.ru/text/78/101/1832.php
  • 6. http://yavix.ru/вики%20Точка%20Брокара
  • 7. https://ru.wikipedia.org/ wiki / Подерный_треугольник
  • 8. https://gigabaza.ru/ doc /28479.html
  • 9. http://geometry-and-art.ru/tsitat.html
  •  

1


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Проект "Педальный треугольник"

Автор: Бобылева София, Кривченкова Татьяна Владимировна

Дата: 03.02.2021

Номер свидетельства: 572195

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(56) "Проект "Педальный треугольник""
    ["seo_title"] => string(26) "proekt_pedalnyi_treugolnik"
    ["file_id"] => string(6) "572133"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "meropriyatia"
    ["date"] => string(10) "1612275708"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1560 руб.
2400 руб.
1380 руб.
2130 руб.
1730 руб.
2660 руб.
1360 руб.
2090 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Проверка свидетельства