Парабола в оптике

Парабола

В ОПТИКЕ

Выполнил: ученик 7 класса ЧОУ СОШ «Исток» Смирнов А.

• Цель : установить, как связаны знания о графике квадратичной функции с оптическими приборами

• Задачи :
• Познакомиться с оптическими свойствами параболы
• Выяснить какие элементы оптических приборов эти свойства используют

Знакомая незнакомка

Функция y=x² – одна из самых простых и знакомых функций во всём школьном курсе математики, и кажется, что про неё всё уже должно быть известно. Но не так всё просто. Например, график этой функции называется параболой , слово это греческое. Переводят его как приближение, сравнение и иногда как приложение . А откуда это название?

Что знали о параболе древние греки?

Современная математическая символика возникла в XVI веке. У древнегреческих же математиков не было ни координатного метода, ни понятия функции. Тем не менее свойства параболы были изучены ими очень подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение – ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей. Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Апполоний Пергский, живший в III в. до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Возьмём неограниченную поверхность, которую называют конической. Пересечём её какой-нибудь плоскостью. В зависимости от того, как расположена эта плоскость, мы получим в сечении гиперболу, параболу или эллипс .

Эти кривые линии объединялись общим названием: коничиские сечения (то есть сечения конуса).

А название парабола связано с задачей построения прямоугольника с заданной стороной, равновеликого данному квадрату: если заданный квадрат имеет площадь x², а одна из сторон искомого прямоугольника должна быть равна a, то верно равенство x²=ay. Построение такого прямоугольника называлось приложением, это название перешло и на связанную с ним кривую.

Геометрия параболы

Парабола имеет очень интересные геометрические свойства. Например, для каждой параболы существует такая прямая (её называют директрисой ) и такая точка ( фокус ), что каждая точка параболы одинаково удалена от фокуса и директрисы. Если провести ось ординат через фокус перпендикулярно директрисе, а ось абсцисс через середину отрезка, соединяющего фокус и директрису, то уравнение параболы будет выглядеть так: y=x²/2p. Фокус такой параболы находится в точке с координатами (0;p/2).

Расстояние от Pn до фокуса F такое же, как и от Pn до Qn (на директрисе L)

Вот ещё одно замечательное свойство параболы. Выберем какую-нибудь точку на параболе и проведём через неё два луча: один через фокус параболы, а другой параллельно оси симметрии. Если теперь провести касательную к параболе в этой точке, то она образует одинаковые углы с построенными лучами.

Это значит, что если мы поместим в фокусе параболы источник света, то лучи от него, отражаясь от параболы, пойдут дальше параллельно её оси. Поэтому отражатели прожекторов делают в форме параболоидов вращения (поверхностей, которые получаются в результате вращения параболы вокруг её оси). Свет такого прожектора образует сильный, узконаправленный луч.

Хотите увидеть параболоид вращения? Налейте в стакан воды и размешайте ложкой. Когда вы вынете ложку, поверхность воды примет форму параболоида вращения.

Следующий способ построения параболы y=x² вы легко сможете обосновать самостоятельно. Пусть известны вершина О параболы и ещё одна точка М, лежащая на параболе. Опустим из точки М перпендикуляр МК на ось абсцисс и разделим отрезок МК на несколько равных отрезков. Затем разделим отрезок ОК на такое же количество равных между собой отрезков и через каждую из полученных на оси абсцисс точек проведём к ней перпендикуляр. Если соединим точку О отрезком с какой-то из отмеченных точек на отрезке МК, то точка пересечения этого отрезка с перпендикуляром, имеющим тот же номер, лежит на параболе.

Свойства параболы в моем приборе

• В телескопе, с помощью которого я наблюдаю за звездным небом, много всевозможных линз.

• Линзы для телескопов изготавливают на сложном оборудовании с огромной точностью

Сферическая аберрация возникает из-за того, что лучи света, параллельные главной оптической оси объектива, падая на сферическую поверхность линзы или зеркала, после преломления или отражения пересекаются не в одной точке. Края объектива строят изображение ближе к объективу, а центральная часть – дальше. В результате изображение имеет в фокальной плоскости нерезкий вид. В рефракторах сферическая аберрация совместно с хроматической аберрацией устраняется подбором линз. В рефлекторах зеркалу придают не сферическую, а параболическую форму. 

Вывод:

• Изучение технических характеристик домашней оптики помогло детально изучить свойства линз, связанных с ними физических и математических понятий