Олимпиада по математике. 8 класс

Олимпиада по математике. 8 класс.

Задача №1

Работник заключил контракт на месяц на следующих условиях. За каждый отработанный день он получает 100 рублей. Если же он прогуливает, то не только ничего не получает, но подвергается штрафу в размере 25 рублей за каждый день прогула. Через 30 дней выяснилось, что работник ничего не заработал. Сколько дней он действительно работал?

Решение:

Так сумма штрафа за прогул рабочего дня в четыре раза меньше заработка в день, то мы получим в итоге ноль, если на каждый день, в течение которого работник трудился, будет приходиться четыре прогула. Пусть он работал х дней, тогда прогуливал 4х. Тогда 5х=30, т.е. х=6.

Ответ: 6 дней.

Задача № 2 :

В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек. За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую. За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?

Решение :

Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.

Ответ: 4 хода.

Задача № 3 :

Нарисуйте на плоскости пять различных прямых так, чтобы они пересекались ровно в семи различных точках.

Решение :

Три возможных ответа изображены на рисунке 1. Можно показать, что других конфигураций из пяти прямых, пересекающихся ровно в семи различных точках, нет.

Задача № 4:

Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60°. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60°.

Решение :

Пусть биссектрисы AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I (рис.2). Допустим, что AIC1 = 60°. По теореме о внешнем угле треугольника

откуда

BAC + BCA = 120°

и

ABC = 180°– BAC – BCA = 60°.

Но это еще не все решение: ведь может случиться, что AIC = 60°. Однако тогда

IAC + ICA = 120°,

откуда

BAC + BCA = 240°,

что невозможно.

Задача № 5 :

Когда Вини - Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

Ответ : от сгущенки.

Решение :

По условию

3м + 4с + 2в 2м + 3с + 4в,

откуда

м + с 2в. (*)

По условию же

3м + 4с + 2в 4м + 2с + 3в,

откуда

2с м + в.

Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с м + 3в, откуда с в.