Олимпиада по математике 9 класс

Олимпиадные задания по математике для учащихся составлены на основе методических рекомендаций первого этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике 2022-2023 учебного года. Задания не выходят за рамки программы основной школы по математике на момент проведения Олимпиады и направлены на выявления наиболее способных учащихся.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Олимпиада по математике 9 класс»

ШКОЛЬНЫЙ ТУР

9 класс

Пояснительная записка

Цели олимпиады по математике:

• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин.

• интеллектуальное развитие, формирование умений точно, грамотно, аргументировано излагать мысли овладение методами поиска, систематизации, анализа, классификации информации

• формирование представлений об идеях и методах математики как средства моделирования явлений и процессов;

• воспитание отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса.

Время, отводимое на решение задач:

9-11 классы - 235 минут

Рекомендуется при проверке решений задач городских (районных) олимпиад исходить из 7-балльного оценивания каждой задачи (независимо от её сложности). При этом можно придерживаться следующих критериев:

Число баллов	Критерии
7	Решение верное, полное, не содержит ошибок.
6	Решение верное, но содержит недочёты.
4-5	Решение в основных чертах верное, но не полно или содержит непринципиальные ошибки.
1-3	Решение неверное, но содержит разумные соображения, имеется некоторое продвижение вперёд в решении задачи.
0	Решение неверное или отсутствует.

Решение считается неполным, если оно:

– содержит все идеи, но не доведено до конца;

– при верной общей схеме рассуждений содержит пробелы, то есть явно или

скрыто опирается на недоказанные утверждения, которые нельзя считать

известными или очевидными.

При оценивании олимпиадных заданий жюри следует учитывать, что:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой обучающегося, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.

д) Нахождение второго варианта решения задачи оценивать в 1-2 балла, в

зависимости от сложности задачи. За наличие «красивых» (оригинальных) идей в решении можно поощрять дополнительным баллом.

При присваивании призовых мест желательно придерживаться следующих

соображений:

1 место присуждается при наборе учеником не менее 75% общего числа

баллов.

2 место присуждается при наборе учеником 60% – 75% общего числа баллов.

3 место присуждается при наборе учеником 50% – 60% общего числа баллов.

1.Найти наименьшее шестизначное число, делящееся на 9, все цифры которого различны.

2. Сократите дробь:

3. Решите систему уравнений:

4. Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного отрезка получить все известные виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, разносторонний, прямоугольный, остроугольный, тупоугольный.

5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

(Математическая монета или симметричная монета, лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством. Монета с точки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется "орел", а другая — "решка". Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Ни какие другие свойства математической монете не присущи).

6. Покупатель взял у продавца товара на 10 рублей и дал 25 рублей. У продавца не нашлось сдачи, и он разменял деньги у соседа. Когда они расплатились и покупатель ушел, сосед обнаружил, что 25 рублей фальшивые. Продавец вернул соседу 25 рублей и задумался. Какой убыток понес продавец?

7. Буратино зарыл на поле Чудес золотую монету. Из нее выросло дерево, а на нем – две монеты: серебряная и золотая. Серебряную монету Буратино спрятал в карман, а золотую зарыл, и опять выросло дерево….. Каждый раз на дереве вырастали монеты; либо две золотые, либо золотая и серебряная, либо две серебряные. Серебряные монеты Буратино складывал в карман, а золотые закапывал. Когда закапывать стало нечего, в кармане у Буратино было 2010 серебряных монет. Сколько монет закопал Буратино?

Решение и ответы к заданиям.

1.Ответ: 102348. Наименьшее число должно начинаться так: 10234. Последнюю цифру подбираем таким образом, чтобы выполнялся признак делимости на 9.

2. = = х+2

3.Одно из возможных решений: ввести новые переменные а=3х+у; в=х-у, решить систему уравнений относительно переменных а и в. Затем найти х и у.

Ответ (3;-1);(-3;1)

4. Треугольник с углами 60, 30 и

С А

Угол А= 60 градусов, угол В=30 градусов. Треугольник АВС – прямоугольный, АКС – остроугольный, КВС – тупоугольный, АКС – равносторонний, СКВ – равнобедренный, АСВ – разносторонний.

5. Ответ: 0,375. Решение:

Какие возможны исходы трех бросаний монеты?
1) Решка, решка, решка.
2) Решка, решка, орел.
3) Решка, орел, решка.
4) Орел, решка, решка.
5) Решка, орел, орел.
6) Орел, решка, орел.
7) Орел, орел, решка.
8) Орел, орел, орел.
Это все возможные события, других нет. Нас интересует вероятность 5-го, 6-го или 7-го события.
Всего возможных исходов – 8.
Благоприятных иcходов – 3.
Отношение 3/8 = 0,375.

6. Ответ: 25 рублей. Решение: Одолженные и возвращенные соседу деньги можно не принимать во внимание. Так как покупатель расплатился фальшивыми деньгами, то продавец понес убыток 25 рублей.

7. Ответ: 2009.

Назовем монету, из которой что-то выросло – «родителем», а монету, которая выросла из какой-нибудь монеты – «ребенком». Заметим, что «детьми» являются все монеты, кроме первой, а каждая золотая монета (и только она) является «родителем». Поскольку у каждого «родителя» – два «ребенка», то «детей» – в два раза больше, чем «родителей».

Пусть x – количество золотых монет, а y – количество серебряных, тогда всего монет будет x + y, из которых «детьми» являются (x + y) – 1 монет, а «родителями» – x. Составляем уравнение: (x + y) – 1 = 2x ⇔ x = y – 1, то есть, количество золотых монет меньше количества серебряных на 1, следовательно, Буратино закопал 2009 монет.