Олимпиада по математике 11 класс

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ. 2022-2023 г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 11 КЛАСС

Пояснительная записка

к олимпиадным заданиям первого этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 2020- 2021учебного года

Первый этап всероссийской олимпиады школьников проводится в соответствии с требованиями к проведению указанного этапа Олимпиады, разработанными на основе методических рекомендаций по проведению школьного и муниципального этапов по математике 2020-2021 учебного года.

Участниками школьного этапа Олимпиады могут быть учащиеся 11 класса.

Олимпиадные задания предлагаются в виде текстовых задач, которые учащиеся оформляют письменно с развернутым ответом и обоснованием каждого этапа решения задачи.

На выполнение заданий школьного этапа Олимпиады рекомендуется отвести в 11 классах 180 мин. Каждому участнику Олимпиады раздаются задания.

Участникам олимпиады запрещено:

• обращаться с вопросами к кому-либо, кроме дежурных и членов Оргкомитета;

• проносить в классы тетради, справочную литературу, учебники, электронные устройства, служащие для передачи, получения или накопления информации

Участники Олимпиады обязаны по истечении времени, отведенного на выполнение школьного этапа Олимпиады, сдать задания. Участники могут сдать работу досрочно, после чего они должны покинуть класс.

Критерии оценивания

Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор одного из случаев методом, позволяющим решить задачу в целом, доказательство леммы, используемой в одном из доказательств, нахождение примера или доказательства оценки в задачах типа «оценка + пример» и т.п.). Наконец, возможны как существенные, так и не влияющие на логику рассуждений логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать все вышеперечисленное.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается из 7 баллов.

Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Полное верное решение.
6-7	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
5-6	Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.
2-3	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1	Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует.

Важно отметить, что любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снимать баллы за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри. Важно отметить, что исправления в работе (зачеркивания ранее написанного текста) не являются основанием для снятия баллов.

В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.

Победители и призеры олимпиады определяются жюри в соответствии с итоговой таблицей. Список победителей и призеров утверждается организатором соответствующего этапа олимпиады. Количество победителей и призеров олимпиады не должно превышать 45% от общего числа участников олимпиады. Важно отметить, что победителями олимпиады являются ВСЕ участники, набравшие наибольшие баллы. Поэтому жюри может определить в любом классе более чем одного победителя.

Задания, ответы и критерии оценивания

1. Во время распродажи Пётр купил брюки с 40 %-ной скидкой и рубашку с 20 %-ной скидкой. На следующий день Иван купил такие же брюки и рубашку без скидок. Мог ли Иван заплатить в полтора раза больше, чем Пётр? Ответ обоснуйте.

1. Приведите пример числа x, для которого выполняется равенство:

sin 2017xtg2016xcos 2015x. Ответ обоснуйте.

1. 
   Рубик сделал развертку куба размером 3 × 3 × 3 и отметил на ней две точки – см. рисунок. Каково будет расстояние между этими точками после того, как Рубик склеит из развёртки куб

1. Существуют ли такие три действительных числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он будет иметь два различных положительных корня, а если в другом порядке, то два различных отрицательных корня?

2. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника площади Sпроведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами.

3. В мешке лежат 26 синих и красных шаров. Среди любых 18 шаров есть хотя бы один синий, а среди любых 10 шаров есть хотя бы один красный. Сколько красных шаров в мешке?

4. Существует ли выпуклый многоугольник, число диагоналей которого в 10 раз больше числа его сторон?

Ответы и решения:

1.Ответ. Мог.

Решение. Пусть брюки без скидки стоят х рублей, а рубашка без скидки стоит у рублей. Тогда Пётр заплатил 0,6х + 0,8у рублей, а Иван х + у рублей. Получаем уравнение 1,5·(0,6х + 0,8у) = х + у, откуда х = 2у. Таким образом, если брюки стоят в два раза больше рубашки, то Иван заплатил в полтора раза больше Петра.

Полным решением является также предъявление конкретной цены брюк и рубашки (например, 2000 руб. и 1000 руб.) с обоснованием того, что при такой цене условие задачи выполнено (в данном случае Пётр заплатил 2000 руб., а Иван — 3000руб.).

3. Рубик сделал развертку куба размером 3 × 3 × 3 и отметил на ней две точки – см. рисунок. Каково будет расстояние между этими точками после того, как Рубик склеит из развёртки куб?

О твет. 2 _{ } .

Решение. Изобразим готовый кубик (изображение выбрано так, чтобы выделенная грань развёртки оказалась сверху). Данные точки — это две

противоположные вершины кубика 2 × 2 × 2. А в кубе 2 × 2 × 2 диагональ

имеет длину _{ }

Замечание. Не обязательно использовать то, что точки являются концами

диагонали куба. Можно просто изобразить получившуюся картинку и найти

длину требуемого отрезка, применив пару раз теорему Пифагора (или методом

координат и т. п.)

4. Существуют ли такие три действительных числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он будет иметь два различных положительных корня, а если в другом порядке, то два различных отрицательных корня?

Ответ. Нет.

Решение.Пустьутрёхчленаax²+bx+cдваотрицательныхкорняx₁ и x₂.Тогда

b/a=–(x₁+x₂)0ис/a=x₁x₂0,то есть числа b и c того же знака, что и число

1. Допустим, как-то переставив коэффициенты, мы получили уравнение с двумя положительными корнями. Но тогда частное от деления коэффициента при xна коэффициент при x² должно было бы стать отрицательным, а частное от деления двух чисел одного знака положительно. Противоречие.

5. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника площади S проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами.

Ответ_{ }:

Решение.

Y Y

Z

Обозначим вершины исходного треугольника буквами X, Y, Z, середины сторон — буквами А, В, С, точки пересечения перпендикуляров — K, L, N. Площадь искомого шестиугольника равна сумме площадей треугольника АВС и трёх маленьких треугольников, примыкающих к его сторонам: AKB, BLC,CNA.

Так как средние линии треугольника XYZ разбивают его на 4 равных

треугольника, площадь треугольника АВС равна_{ }.

Проведём в треугольнике ABCотрезки высот до точки их пересечения H. Так как средняя линия BA параллельна стороне YZ, проведённые к ним перпендикуляры СН и АNтакже параллельны. Рассуждая аналогично, полу- чаем, что АН||СN, и, значит, АНСN—параллелограмм.

Диагональ АС разбивает параллелограмм АНСNна два равных треугольника, следовательно, площади треугольников АНС и АNС равны. Точно так же равны площади треугольников АНВ и АКВ и площади треугольников СНВ иCLВ.

Отсюда получаем, что искомая площадь в два раза больше площади

треугольника АВС

6.Ответ.17.

Решение. Так как из18шаров найдется хотя бы один синий, то красных не более17,а из любых 10 шаров найдется хотя бы один красный, то есть синих не более 9. Так как всех шаров 26, то синих – 9, а красных – 17.

7. Ответ. Существует.

Решение.

Число диагоналей выпуклого многоугольника считается по формуле: . (Можно считать этот факт известным). Составим и решим уравнение . Таким образом, условию задачи удовлетворяет выпуклый двадцатитрехугольник.