Элементы алгебры логики

ТЕМА УРОКА

Цель: Привить навыки логически рассуждать, сформулировать основные формы мышления, изучение основных исторических этапов развития логики и знакомство с историческими личностями, связанными с развитием данной науки с Древних времен и по сей день.

Задачи:

• Дать определение логики как науки.

• Сформулировать основные формы мышления.

• Разобрать какие базовые логические операции существуют?

• Привить навыки логически рассуждать и решать различные логические задачи.

• Контролировать степень усвоения материала.

• Записать в тетрадь основные понятия.

Тип занятия: урок изучения нового материала.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, исследовательский, практический.

Оборудование и программное обеспечение:

• интерактивная презентация по теме “Программирование циклических алгоритмов”;

• проектор и экран для демонстрации лекции;

• меловая или маркерная доска;

• дидактический раздаточный материал.

План урока:

1. Организационный момент. (3 мин)

2. Повторение ранее изученного материала. (7 мин)

3. Изучение нового материала.(15 мин)

4. Закрепление знаний (15 мин)

5. Подведение итогов урока. (3 мин)

6. Домашнее задание (2 мин)

Ход занятия

1. Организационный момент (проверка присутствующих, проверка готовности к работе).

2. Повторение ранее изученного материала.

Вы уже знаете, что наука информатика держится на трех основных китах. Назовите, пожалуйста, их? Ответ:(логика, алгоритмы и программы).(Слайд 1)

Немного из истории:

1. 1 этап – формальная логика, основатель – Аристотель (384–322гг. до н.э. ) Ввел основные формулы абстрактного мышления. (Слайд 4)

2. 2 этап – математическая логика, основатель – немецкий ученый и философ Лейбниц(1642–1716), предпринял попытку логических вычислений. (Слайд 5)

3. 3 этап – Алгебра высказываний (Булева алгебра), основатель – английский математик Джордж Буль(1815–1864),ввел алфавит, орфографию и грамматику для математической логики. (Слайд 6)

В настоящее время самым впечатляющим у человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в условиях неполной и нечеткой информации. (слайд 7)

Основы нечеткой логики были заложены в конце 60-х лет в работах всемирно-известного математика, азербайджанского происхождения Лютфи Заде. Он родился в Баку, Азербайджан, 4 февраля l92l года. (Слайд 8)

3. Изучение нового материала.

Запишите, пожалуйста, тему нашего сегодняшнего урока “Алгебра логики”. (Слайд 2).

Что же такое ЛОГИКА и для чего она нужна?

Дадим определение логики и запишем ключевые моменты в тетрадь.

Логика – это наука о формах и способах мышления.

Основные формы мышления:

• Понятие;

• Высказывание;

• Умозаключение. (Слайд 9)

В слайдах 10,11 и 12 объясняется каждая форма мышления и ученики записывают определения в тетрадь, затем приводят примеры относящиеся к каждой форме с логическими доводами.

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения “истинно” и “ложно”.

Истинно = 1
Ложно = 0 (Слайд 13)

Примерами высказываний могут служить следующие утверждения:

1. “Земля – планета Солнечной системы”.
2. “3 + 6 10”.
3. “Число 15 – простое”.

1-е высказывание – истинно, высказывания 2, 3 – ложные.

Утверждения “х0”, “Выучить логику – просто” не являются высказываниями, так как судить об их истинности или ложности невозможно.

Приведенные примеры являются простыми высказываниями (суждениями).

Используя союзы “и”, “или” из простых высказываний образуют составные (сложные) высказывания. Например: “На улице идет дождь и дует ветер”.

Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью алгебры высказываний.

Для образования новых высказываний наиболее часто используют базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок “и”, “или”, “не”. (Слайд14)

В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логического преобразования к трем базовым: конъюнкции, дизъюнкции и инверсии.

1. Присоединение частицы “не” к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и наоборот – ложное истинным. Инверсия обозначается: 

(Слайд 15)

2. Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза “и” называется операцией логического умножения или конъюнкцией. Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания. Конъюнкция обозначается: .

(Слайд 16)

3. Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза “или” называется операцией логического сложения или дизъюнкцией. Составное высказывание, образованное в результате операции логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих нее простых высказываний. Дизъюнкция обозначается: 

(Слайд 17)

Соединение двух высказываний в одно с помощью оборота речи “если…,то…”, называется логическим следованием или импликацией.

Схема решения логических задач средствами алгебры логики:

а) изучается условие задачи;
б) вводится система обозначений для логических высказываний;
в) конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
г) определяются значения истинности этой логической формулы;
д) из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введенных логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

4. Закрепление знаний.

Для закрепления материала решим следующие задачи (фронтально):

1. Дать определение науки логики.

2. Охарактеризовать понятие как форму мышления.

3. Определите тип высказывания:
   a) число 6 – четное;
   b) Некоторые рыбы – хищники;
   c) Все волки – звери.

4. Продолжите фразу: “Логическая величина – это…”

5. Определите значение истинности следующего высказывания: “Приставка есть часть слова, и она пишется раздельно со словом”.

6. Пусть A= “Этот день солнечный”, а B= “Этот день жаркий”. Выразите предложенную формулу на обычном языке. Не A и не B.

7. Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на олимпиаде по физике четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа: 
   Сергей – первый, Роман – второй;
   Сергей – второй, Виктор – третий;
   Леонид – второй, Виктор – четвертый.
   Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределились места?

8. Воронов, Павлов, Левицкий и Сахаров – 4 талантливых молодых человека. Один из них танцор, другой – художник, третий – певец, а четвертый – писатель. Известно, что: 
   Воронов и Левицкий – сидели в зале консерватории в тот вечер, когда певец дебютировал в сольном концерте;
   Павлов и писатель вместе позировали художнику;
   Писатель написал биографическую повесть о Сахарове, и собирается написать о Воронове;
   Воронов никогда не слышал о Левицком.
   Кто чем занимается?

9. Продолжите фразу: “Логическая переменная – это…”

10. Определите значение истинности следующего высказывания: “Рыбу ловя сачком или крючком, или мухой приманивают, или червяком”.

5. Подведение итогов.

1. Произнести определения основных новых понятий (логика, формы мышления: понятие и суждение, их характеристики).

2. Поставить оценки наиболее активным учащимся

Завершите фразу:

• Сегодня я узнал…

• Я научился…

• У меня получилось …

• Было трудно…

6. Домашнее задание.

1-й вариант.

1.  Дать определение науки логики.

2. Определите тип высказывания:
   a) Усы имеют некоторые звери;
   b) Все роботы – машины;
   c) В високосном году 366 дней.

3. Определите значение истинности следующего высказывания: “Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются”.

4. Министры иностранных дел России, США, Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из сторон. Отвечая на вопрос журналистов: “Чей именно проект был принят?”, министры дали такие ответы: 
   Россия – “Проект не наш, проект не США”;
   США – “Проект не России, проект Китая”;
   Китай – “Проект не наш, проект России”.
   Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз – неправду.
   Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры. И проект какой страны был принят.

5. Возле почты растут шесть деревьев: сосна, береза, липа, тополь, ель, клен. Какое из этих деревьев самое высокое и какое самое низкое, если известно, что береза ниже тополя, а липа выше клена, сосна ниже ели, липа ниже березы, сосна выше тополя?

2-й вариант.

1. Охарактеризовать умозаключение как форму мышления.

2. Продолжите фразу: “Логическое выражение – это…”

3. Пусть A= “Этот день солнечный”, а B= “Этот день жаркий”. Выразите предложенную формулу на обычном языке. A и не B.

4. Однажды в Артеке за круглым столом оказалось пятеро ребят родом из Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Юра, Толя, Алеша, Коля и Витя. Известно, что: 
   москвич сидел между томичем и Витей;
   санкт-петербуржец – между Юрой и Толей, а напротив него сидели пермяк и Алеша;
   Коля никогда не был в Санкт-Петербурге, а Юра не был в Москве и Томске;а томич с Толей регулярно переписываются.
   Определите в каком городе живет каждый из ребят?

5. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.
   – Вот увидишь, Шумахер не придет первым, – сказал Джон. Первым будет Хилл.
   – Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, – воскликнул Ник. – А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.
   Питер, к которому обратился Ник, возмутился:
   – Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.
   По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

1. Логические операции

Теория:

Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций. Рассмотрим основные логические операции, определённые над высказываниями. Все они соответствуют связкам, употребляемым в естественном языке.

Конъюнкция

Рассмотрим два высказывания:

A = «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль»,

B = «Исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике».

Очевидно, новое высказывание «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль, и исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике» истинно только в том случае, когда одновременно истинны оба исходных высказывания.

Конъюнкция — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. 

Для записи конъюнкции используются следующие знаки: И,ˆ,⋅,&.

Например: A И B,AˆB,A⋅B,A&B.

Конъюнкцию можно описать в виде таблицы, которую называют таблицей истинности:

В таблице истинности перечисляются все возможные значения исходных высказываний (столбцы A и B), причём соответствующие им двоичные числа, как правило, располагают в порядке возрастания: 00,01,10,11. В последнем столбце записан результат выполнения логической операции для соответствующих операндов.

Обрати внимание!

Конъюнкцию также называют логическим умножением.

Дизъюнкция

Рассмотрим два высказывания:

A = «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу»,

B = «Лейбниц является основоположником бинарной арифметики».

Очевидно, новое высказывание «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу или Лейбниц является основоположником бинарной арифметики» ложно только в том случае, когда одновременно ложны оба исходных высказывания.

Дизъюнкция — логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны. 

Для записи дизъюнкции используются следующие знаки: ИЛИ;∨;|;+.

Например: A ИЛИ B;A∨B;A|B;A+B.

Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности:

Обрати внимание!

Дизъюнкцию также называют логическим сложением. 

Инверсия

Инверсия — логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному. 

Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ;¬;−

Например: НЕ А;¬А;А−. 
Инверсия определяется следующей таблицей истинности:

Обрати внимание!

Инверсию также называют логическим отрицанием.

Отрицанием высказывания «У меня дома есть компьютер» будет высказывание «Неверно, что у меня дома есть компьютер» или, что в русском языке то же самое, что «У меня дома нет компьютера».

Отрицанием высказывания «Я не знаю китайский язык» будет высказывание «Неверно, что я не знаю китайский язык» или, что в русском языке: «Я знаю китайский язык».

Отрицанием высказывания «Все юноши 8−х классов — отличники» является высказывание «Неверно, что все юноши 8−х классов — отличники», другими словами, «Не все юноши 8−х классов — отличники».

Таким образом, при построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что ...», либо отрицание строится к сказуемому, тогда к соответствующему глаголу добавляется частица «не».

Любое сложное высказывание можно записать и виде логического выражения — выражения, содержащего логические переменные, знаки логических операций и скобки.

Логические операции в логическом выражении выполняются в следующей очерёдности: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Изменить порядок выполнения операций можно с помощью расстановки скобок.

Обрати внимание!

Логические операции при выполнении имеют следующий приоритет: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.