КАК НАУЧИТЬ РЕШАТЬ ЗАДАНИЕ 18 ЕГЭ ПО ИНФОРМАТИКЕ

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей»,

г. Арзамас, ya.bellova.tatyana@yandex.ru

Перед тем как приступать к решению заданий 18 «Проверка истинности логического выражения» экзаменационной работы по информатике, нужно объяснить (или вспомнить) учащимся, что такое понятие «объединение» и «пересечение» нескольких множеств. И так как задание 18 связано с определением отрезков, то и лучше всего эти понятия объяснять на отрезках. Но связать необходимо эти понятия с понятиями алгебры логики – «конъюнкция» и «дизъюнкция», ну и, конечно же, «инверсия». Приведу это все на примере. Для начала рассмотрим инверсию отрезка, или, проще говоря, отрицание отрезка.

Дан отрезок P=[6,15]. Найти отрезки, которые будут инверсией отрезка P=[6,15]. Рассмотрим координатную прямую (рис. 1):

ﾧ

рис. 1

На прямой отмечаем отрезок P (синяя область), тогда понятно, что промежутки не P будут промежутки _ и _ (зеленая область) – рис. 1. Обращая внимание, что точки 6 и 15 в инверсию отрезка входить не будут.

Рассмотрим еще пример: даны два отрезка P=[6,15] и Q=[8,25]{приведены те же обозначения, что и в задании ЕГЭ, чтобы учащиеся сразу привыкали к обозначениям}. Найти отрезок, который будет обозначать конъюнкцию (объединение) и дизъюнкцию (пересечение) этих отрезков

Рисуем отрезки на координатной прямой (рис. 2):

15

8

25

рис. 2

Сначала отмечаем области на координатной прямой, которые обозначают отрезки P (синий цвет) и Q (желтый цвет). Затем определяем, какая часть координатной прямой будет служить конъюнкцией этих двух отрезков. Здесь вспоминаем, что конъюнкция – это логическая операция, которая объединяем два простых высказывания в сложное с помощью логической связки «и», и сложное высказывание будет приобретать значение «истина» тогда и только тогда, когда истины оба исходных простых высказывания. Таким образом, получаем, что нужно найти области, где и отрезок P и отрезок Q имеют место, а такая область только одна – отрезок [8,15] (красный цвет). Более подробно исследуем все отрезки прямой, чтобы учащимся было нагляднее и понятнее воспринимать материал, итак:

1. _ - на этом промежутке отрезки имеют следующие значения («равно 1» – ставим, если любая точка, взятая в этом промежутке будет принадлежат рассматриваемому отрезку, и «равно 0» – если точка не принадлежит отрезку) P=0, Q=0, следовательно, и конъюнкция этих отрезков будет также равна 0.

2. _ - P=1, Q=0, конъюнкция отрезков будет равна 0

3. _ - P=1, Q=1, конъюнкция отрезков будет равна 1 – это искомый нами отрезок (красный цвет) – рис. 2

4. _ - P=0, Q=1, конъюнкция отрезков будет равна 0

5. _ - P=0, Q=0, конъюнкция отрезков будет равна 0

Теперь аналогичным образом разберемся с дизъюнкцией этих отрезков. Опять же обратимся к определению этой логической операции – «дизъюнкцией называется логическая операция, которая в соответствии двум и более логическим высказываниям ставит новое, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих исходных высказываний». То есть другими словами, нам надо найти на координатной прямой такие промежутки, где есть хотя бы один из исходных наших отрезков, этот искомый промежуток будет [6,25] – зеленый цвет (рис. 2). Также разберем каждый из промежутков и покажем, что это действительно так:

1. _ - на этом промежутке отрезки имеют следующие P=0, Q=0, следовательно, и дизъюнкция этих отрезков будет также равна 0.

2. _ - P=1, Q=0, дизъюнкция отрезков будет равна 1 – искомый промежуток

3. _ - P=1, Q=1, дизъюнкция отрезков будет равна 1 – искомый промежуток

4. _ - P=0, Q=1, дизъюнкция отрезков будет равна 1 – искомый промежуток

5. _ - P=0, Q=0, дизъюнкция отрезков будет равна 0

Объединяя найденные промежутки, получаем что искомый отрезок, обозначающий дизъюнкцию исходных отрезков – это отрезок [6,25] – зеленый цвет (рис. 2).

После разбора данного примера, можно дать учащимся попробовать найти различные сочетания логических операций – дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Например, даны два отрезка P=[-4,10] и Q=[5,30]. Найти отрезок, который будет обозначать следующие логические операции: _, _, _ (можно придумать и другие различные сочетания этих логических операций).

1. решение _ (рис. 3). Для начала строим координатную прямую и отмечаем на ней отрезки, обозначающие исходные отрезки P=[-4,10] (синяя область) и Q=[5,30] (желтая область). Затем на прямой отмечаем промежутки, которые будут инверсией отрезка P (красные области). А теперь, пользуясь выше разобранным примером, смотрим, какие области будут отвечать за дизъюнкцию инверсии отрезка P и Q. Это будут промежутки _ и _ (зеленая область)

рис. 3

1. решение _ (рис. 4). Аналогично выше рассмотренному решению строим координатную прямую и отмечаем исходные отрезки. Но в отличие от предыдущего примера, сначала строим инверсию отрезка Q (красные области). Далее вспоминая, как мы искали промежутки, которые будут конъюнкцией двух отрезков, отмечаем тот промежуток, который послужит решением для нашего примера. Это будет _ (зеленая область) – рис. 4

рис. 4

1. решение _ (рис. 5). Решением для данного случая будут области _ и (10_ - зеленая область

рис. 5

Когда разобраны все примеры, то у учащихся не возникнет трудностей с пониманием и решением задания №18 из экзаменационной работы единого государственного экзамена по информатике.

Приведем примеры решений нескольких заданий:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [2,42] и Q =[22,62]. Выберите такой отрезок A, что формула

(x  A) → ( (x  P) → (x  Q) ) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Возможные варианты ответов:

1) [3, 14] 2) [23, 32] 3) [43, 54] 4) [15, 45]

Решение (рис. 6): чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами - A: x  А, P: x  P, Q: x  Q. Таким образом, получаем следующее выражение с учетом замены: _→ ( P →_)=1. Равенство выражения 1 говорит о том, что какое бы значение переменной х мы не взяли, наше логическое выражение принимает значение 1, то есть на всей числовой прямой. Вспомним некоторые логические законы и равенства и преобразуем наше выражение: _{  }=1. В итоге получаем, что нам надо построить дизъюнкцию трех отрезков, два из которых нам известны. Их то мы и построим (рис. 7). Для начала, как и во всех выше приведенных примерах, мы должны построить инверсии отрезков P (оранжевый цвет) и Q (красный цвет). Затем из всего выражения мы можем определить промежутки дизъюнкции _{ }=1 (зеленые области рис. 7). Таким образом получаем, что у нас на координатной прямой есть «свободная» часть - _. Эту часть прямой и должен перекрыть искомый отрезок А.

рис. 7

Рассмотрим варианты ответов:

1. [3, 14] – не подходит этот вариант, так как он не принадлежит совсем «свободной» части - _ (рис. 8)

рис. 8

1. [23, 32] – не подходит (рис. 9). Казалось бы, этот отрезок принадлежит «свободной» части - _, но он не перекрывает его полностью. Остаются пустые части - [22, 23] и [32, 42]. Тем самым это не вариант решения задания.

рис. 9

1. [43, 54] - случай аналогичен первому варианту. Этот отрезок не входит в «свободной» часть - _ (рис. 10)

рис. 10

1. [15, 45]- этот вариант является верным ответом, так как полностью перекрывает «свободную» часть - _(рис. 11), даже выходит за ее пределы, но это не противоречит определению дизъюнкции и является решением данного задания.

рис. 11

Можно бесконечно много рассматривать варианты задач на заданную тему, самое главное, я считаю, это дать понять учащимся, как найти области, которые будут являться инверсиями, конъюнкциями и дизъюнкциями отрезков и других множеств.

Задания для решений можно посмотреть на сайте Константина Полякова http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm.

Литература

1. http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm.