Проведение вычислительных экспериментов в математическом исследовании.

Этап 2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Особенности приведенной в примере концептуаль­ной постановки задачи .

• Первая из перечисленных гипотез особенно важна, так как она выделяет объект моделирования. В данном случае объект можно считать простым . Однако в качестве объекта моделирования можно рассматривать систему « игрок - мяч ­- кольцо ». Требуемая для описания подобной системы модель будет уже намного сложнее, так как игрок в свою очередь представляет собой слож­ную биомеха-ническую систему и его моделирование является далеко не тривиальной задачей.
• Гипотеза о том, что мяч можно считать материальной точкой, ши­роко применяется для исследования движений тел в механике. В нашем случае она оправдана в силу симметрии формы мяча и малости его радиуса по сравнению с характерными расстояниями перемещения мяча .
• Гипотезу о применимости в данном случае законов классичес­кой механики можно обосновать огромным экспериментальным ма­териалом, связанным с изучением движения тел вблизи поверхности Земли со скоростями много меньше скорости света . Предположение о постоянстве ускорения свободного падения также представляется обоснованным. А вот если бы моделировалось движение баллистической ракеты, то пришлось бы учитывать изменение ускорения свободного падения в зависимости от высоты и широты места а также высокую скорость движения.

Этап 2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Особенности приведенной в примере концептуаль­ной постановки задачи .

• Гипотеза о движении мяча в плоскости, перпендикулярной по­верхности Земли, значительно упрощает модель . Траектория мяча может не лежать в одной плоскости, если при броске он сильно подкручивается вокруг вертикальной оси. В этом случае поток воздуха, обтекающий мяч, становится не симметричным, и его траектория уже не будет лежать в одной плоскости.
• Гипотеза об отсутствии влияния сопротивления воздуха наиме­нее обоснована . При движении тела в газе или жидкости сила сопро­тивления увеличивается с ростом скорости движения. Учитывая не­высокие скорости движения мяча, его правильную обтекаемую фор­му и малые дальности бросков, указанная гипотеза может быть принята в качестве первого приближения.

Фактически в приведенном примере концептуальная постановка свелась к поста­новке классической задачи механики о движении материальной точ­ки в поле сил тяжести.

Концептуальная постановка более абстрактна по отношению к содержательной, так как материальной точке мож­но сопоставить произвольный материальный объект, брошенный под углом к горизонту: футбольный мяч, ядро, камень или артиллерийс­кий снаряд.

Этап 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Задача любого вида сводится к мате­матической задаче. Р. Декарт

Математическая постановка задачи моделирования -   это сово­купность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Во многих областях знаний (механике, физике, биологии и т.д.) принято выделять законы, справедливые для всех объектов исследования данной области знаний, и соотно­шения, описывающие поведение отдельных объектов или их сово­купностей.

К числу первых в физике и механике относятся, напри­мер, уравнения баланса массы, количества движения, энергии и т.д., справедливые при определенных условиях для любых материаль­ных тел, независимо от их конкретного строения, структуры, со­стояния, химического состава. Уравнения этого класса подтверж­дены огромным количеством экспериментов, хорошо изучены и в силу этого применяются в соответствующих математических моде­лях как данность.

Определяющие соотношения - это основ­ной элемент, «сердцевина» любой математической модели физико­-механических процессов. Именно ошибки в выборе или установлении определяющих соотношений приводят к количествен-но неверным результатам моделирования.

Этап 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Совокупность математических соотношений определяет оператор модели. В большинстве случаев оператор модели включает в себя систему обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных и интегро-дифференциальных уравнений.

Для обеспечения корректности постановки задачи к системе уравнений добавляются начальные или граничные условия , которые, в свою очередь, могут быть алгебраическими или дифференциальными соотношениями различного порядка.

Математическая постановка задачи о баскетболисте.

Найти зависимости x(t), y(t). V x (t), V y (t) из решения системы дифференциальных уравнений

Полученная система уравнений является замкнутой, так как число независимых уравнений (4 дифференциальных и 2 алгебраических) равно числу искомых параметров задачи:

x , y , V x , V y , Δ , t k .

Этап 4. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И ПРОВЕРКА КОРРЕКТНОСТИ МОДЕЛИ.

Для контроля правильности полученной системы математичес­ких соотношений требуется проведение ряда обязательных прове­рок:

• Контроль размерностей - приравниваться и складываться могут только вели­чины одинаковой размерности .

• Контроль порядков , состоящий из грубой оценки порядков складываемых величин и исключением мало­значимых параметров.
• Контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных па­раметров модели, вытекающие из математичес­ких соотношений, такие, как это следует непосредственно из «физического» смысла изучаемой модели .
• Контроль экстремальных ситуаций - проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также результа­ты моделирования, если параметры модели или их комби­нации приближаются к предельно допустимым зна­чениям, чаще всего к нулю или бесконечности.
• Контроль граничных условий - проверка того, что граничные условия действительно наложены, что они ис­пользованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удов­летворяют данным условиям.

Этап 4 . КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И ПРОВЕРКА КОРРЕКТНОСТИ МОДЕЛИ.

• Контроль физического смысла - проверка физического или иного смысла исходных и промежуточных соотношений.
• Контроль математической замкнутости , состоящий в про­верке того, что выписанная система математических соотно­шений дает возможность, притом однозначно, решить по­ставленную математическую задачу.

Например: Задача свелась к отысканию n неизвестных из некоторой системы алгебраических уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того, что число неза­висимых уравнений должно быть n .

Если их меньше n , то надо установить недостающие уравнения, а если их больше n , то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка.

Однако если уравнения получаются из эксперимента или в результате наблюдений, то возможна постановка задачи, при которой число уравнений превыша­ет n но сами уравнения удовлетворяются лишь приближен­но, а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов.

Математическая модель является корректной, если для нее осу­ществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок - размерности, порядков, характера зависимостей, экстре­мальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и ма­тематической замкнутости.

Этап 4 . КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И ПРОВЕРКА КОРРЕКТНОСТИ МОДЕЛИ.

Из вышесказанного можно сделать следующее определение понятия вычислительный эксперимент .

Вычислительный эксперимент – это не однократное вычисление по некоторому набору формул, а многостадийный процесс математической модели объекта исследования разработки алгоритмов её решения, программирования, расчётов, анализа результатов и их погрешностей.

Задача y = f(x) называется корректно поставленной , если для любых входных данных х из некоторого класса существует единственное и устойчивое решение y .

Отсутствие устойчивости обычно означает, что сравнительно небольшой погрешности (входных параметров ) δ x соответствует весьма большая погрешность (выходных параметров ) δ y а значит получаемое решение будет далеко от истинного.

разница в коэффициенте менее 1% приводит к изменению решения в 300% .

Причиной чаще всего является некор-ректность математической модели.

Этап 4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.

Поиск решения задачи, ка правило, сводится к отысканию некоторых зависимостей искомых величин от исходных параметров модели. Как было отмечено ранее, все методы решения задач, составляющих «ядро» математических моделей, можно подразделить на аналитические и алгоритми-ческие (численные).

Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. В случае, если математическая задача допускает аналитическое решение, оно, без сомнения, предпочтительнее численного.

Алгоритмические (численные) методы сводятся к некоторому алгоритму, реализующему вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ. Точность решения в подобном эксперименте существенно зависит от выбранного метода и его параметров (например, шага интегрирования).

Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной . Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от функции непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента.

Например , траектория центра тяжести баскетбольного мяча определяется не как непрерывная функция времени , а как дискретная функция координат от времени . Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.

Этап 5. РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ.

Математикой разработано огромное количество алгоритмов решения тех или иных задач. Поэтому перед разработчиками математических моделей только стоит проблема выбора того или иного из предлагаемых методов .

Следующим шагом является процесс реализации выбранного способа в виде программы для ЭВМ или выбор существующей программы.

Техническое задание на разработку программного обеспечения оформляют в виде спецификации, включающей следующие разделы:

1. Название задачи - дается краткое определение решаемой за­дачи, название программного комплекса, указывается система про­граммирования для его реализации и требования к аппаратному обеспечению (компьютеру, внешним устройствам и т.д.).

2. Описание - подробно излагается математическая постановка задачи, описываются применяемая математическая модель для задач вычислительного характера, метод обработки входных данных для задач не вычислительного (логического) характера и т.д.

3. Управление режимами работы программы - формируются ос­новные требования к способу взаимодействия пользователя с про­граммой – описывается интерфейс «пользователь-компьютер».

4. Входные данные - описываются входные данные, указывают­ся пределы, в которых они могут изменяться, значения, которые они не могут принимать, и т.д.

Этап 5. РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ.

5. Выходные данные - описываются выходные данные, указы­вается, в каком виде они должны быть представлены (в числовом, графическом или текстовом), приводятся сведения о точности и объеме выходных данных, способах их сохранения и т.д.

6. Обработка ошибок - перечисляются возможные ошибки пользователя при работе с программой (например, ошибки при вводе входных данных). Указываются способы диагностики (под диагностикой понимается, обнаружение ошибок при работе программного комплекса) и защиты от этих ошибок, а также возможная реакция пользователя при совершении им ошибочных действий и реакция программного ком­плекса (компьютера) на эти действия.

7. Тестовые задачи - приводятся один или несколько тестовых примеров, на которых в простейших случаях проводится отладка и тестирование программного комплекса.

Этап 6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ

Под адекватностью математической модели понимается степень соответствия результатов моделирования – экспериментальным данным или тестовой задаче .

Проверка адекватности модели преследует две цели:

• убедиться в справедливости принятых гипотез;
• установить, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.

Проверка выполняется путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными о реальном объекте или с результатами других, созданных ранее и хорошо себя зарекомендовавших моделей . В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом , во втором - о сравнении с результатами решения тестовой задачи .

В моделях, предназначенных для выполнения оценочных расчетов, удовлетворительной считается точность 10-15%. В моделях, используемых в управляющих системах, требуемая точность может быть 1-2% и даже более.

Различают качественное и количественное совпадение результатов сравнения . При качественном сравнении требуется лишь совпадение некоторых характерных особенностей исследуемых параметров (например, наличие экстремальных точек, возрастание или убывание параметра). При количественном сравнении большое значение следует придавать точности исходных данных для моделирования и соответствующих им значений сравниваемых параметров .

Этап 6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ

Неадекватность результатов моделирования возможна, по крайней мере, по трем причинам:

1) значения задаваемых параметров модели не соответствуют допустимой области этих параметров, определяемой принятой системой гипотез;

2) принятая система гипотез верна, но константы и параметры в использованных определяющих соотношениях установлены не точно;

3) не верна исходная совокупность гипотез.

Все три случая требуют дополнительного исследования как моделируемого объекта (с целью накопления новой дополнительной информации о его поведении), так и исследования самой модели (с целью уточнения границ ее применимости).

При возникновении проблем, связанных с адекватностью модели, её корректировку требуется начинать с последовательного анализа всех возможных причин, приведших к расхождению результатов моделирования и результатов эксперимента.

Особенно опасной является ситуация, в которой при решении реальной задачи с использованием не проверенной должным образом модели получаются правдоподобные результаты. Для других условий модель может дать качественно неверные результаты.

В модели о баскетбольном мяче учтём сопротивление воздуха

Для достижения дальности броска 6,227м , начальная скорость должна быть 6,575 м/с , что на 2,1% больше, чем для модели без учета сопротивления воздуха .