kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Методика математического моделирования на компьютере

Нажмите, чтобы узнать подробности

1Методика математического моделирования на компьютере

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Методика математического моделирования на компьютере»

Моделирование и компьютер

Современный этап развития образования, в частности общего среднего образования, характеризуется повышенным вниманием к понятию модели и методологии моделирования применительно к различным областям знания. Примером этому может служить включение понятия «модель» в содержание образовательных областей «Физика», «Математика», «Химия», «Информатика и ИКТ» и др. Одной из причин этого является повышение уровня абстрактности знаний, получаемых в процессе обучения.

Абстрактный характер теоретических построений в современных науках и появление специальных языков – это свидетельство развития познания от непосредственного контакта с окружающей человека действительностью к опосредованному её освоению, которое совершается, в частности, с помощью методов и средств моделирования. При этом не только научное познание, но и процесс обучения базируется на использовании методов информационного моделирования, так как любая передача знаний подразумевает их описание на том или ином языке и представление в той или иной форме.Поэтому знакомство школьников с методами информационного моделирования актуально для современной школы, особенно в условиях постоянно увеличивающегося объёма учебной информации, появления новых её носителей (электронные учебники, компьютерные энциклопедии) и средств доступа к ней. Учащимся необходимо осмыслить сам процесс познания, определить место в этом процессе таких познавательных приёмов, как моделирование, формализация, символизация, структуризация и др.

Мир моделей, используемых в познании, общении, практической деятельности, многообразен. В обучении важное место занимает такой класс моделей, как информационные модели. Это всевозможные формулы, графики, словесное описание, таблицы, схемы, формулировки законов, алгоритмы и пр.

Курс информатики в наибольшей степени способствует приведению в систему знаний учащихся о моделях и осознанному применению информационного моделирования в своей учебной, а затем и практической деятельности.

Модель (фр. modele , ит. modello , лат. modulus – мера, образец)

« Модель — трехмерное представление субъекта, вещи или структуры; обычно в уменьшенном масштабе».

« Модель — упрощенное описание некоей системы для дальнейших расчетов».

Оксфордский Толковый Словарь

В узком смысле — модель это «устройство, воспроизводящее, имитирующее строение и действие какого-либо другого (моделируемого) устройства в научных, производственных или практических целях».

В широком смысле — « модель — любой образ какого-либо объекта, процесса, явления, используемый в качестве его заместителя или представителя»

Советский Энциклопедический Словарь

« Модель — это новый объект, который отражает некоторые стороны изучаемого объекта или явления, существенные с точки зрения цели моделирования».

С. Бешенков, Е. Ракитина, Информатика. Систематический курс

Сперва выделим определение, которое предлагает Оксфордский Толковый Словарь. В нем приведено семь определений понятия «модель», из которых наибольший интерес представляют два: «Модель — трехмерное представление субъекта, вещи или структуры; обычно в уменьшенном масштабе» и «Модель — упрощенное описание некоей системы для дальнейших расчетов». Иными словами, авторам не удается выделить настоящие существенные признаки модели и они предлагают различные определения для различных видов моделей. Основная ошибка данных определений — их узость, объем понятия «модель» неизмеримо больше, чем предлагаемый авторами словаря.

Сходная проблема возникает и при анализе определения «модели» в Советском Энциклопедическом Словаре (СЭС). В узком смысле — это «устройство, воспроизводящее, имитирующее строение и действие какого-либо другого (моделируемого) устройства в научных, производственных или практических целях». Слово «устройство», встречающееся в определении автоматически приводит к сужению понятия «модель» как минимум до понятия «материальная модель». Тем не менее, это определение представляет собой гораздо большую ценность, чем первое определение оксфордского словаря, так как содержит внутри себя чрезвычайно важную формулировку, раскрывающую сущность моделирования — «строение и действие».

Второе определение СЭС («Модель — любой образ какого-либо объекта, процесса, явления, используемый в качестве его заместителя или представителя), наоборот, является слишком широким. Данное определение отражает скорее внешние признаки, которыми обладает модель, но не её внутреннее содержание.

Ещё одно определение «модели» приведено в учебнике Могилёва, Пака и Хеннера: «Модель является представлением объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования». Фактически, оно почти совпадает с «широким» определением СЭС, но и здесь авторы заменяют слово «отражение» синонимичным оборотом. Кроме того, использование термина «объект» может быть оправдано в рамках школьного (но не вузовского) учебника, но неприемлемо для полного определения. Современная наука занимается изучением не столько отдельных самостоятельных элементов, сколько их взаимодействий. Потому более оправдано использование в определении термина «система», который вбирает в себя как отдельные элементы, так и их отношения и связи.

В целом же, последние два определения можно признать вполне удовлетворительными и пользоваться ими.

22.09.20

Виды моделей

По характеристике

объекта

моделирования

По сферам

деятельности

субъекта

моделирования

По учёту

фактора времени

По роли

в управлении

объектом

моделирования

Модель внешнего вида

Познавательные

Регистрирующие

Статические

Модель структуры

Коммуникативные

Эталонные

Динамические

Модель поведения

Модели, возникающие

в сфере практической

деятельности

Прогностические

Детерминированные

Имитационные

Мир моделей многообразен. Для человека же характерно стремление систематизировать большой объём данных, чтобы «навести порядок» в разнообразии. Наиболее распространённым способом научной систематизации является классификация, то есть распределение изучаемых объектов по классам (разрядам, отделам) в зависимости от их общих признаков. Подходы к выделению классов моделей могут быть самыми различными. Рассмотрим некоторые из них.

Статические модели отображают объект в какой-то момент времени без учёта происходящих с ним изменений, как находящийся в состоянии покоя и равновесия. В этих моделях отсутствует временной параметр.

Динамические модели описывают поведение объекта во времени. Эти модели отображают процессы, происходящие с объектом во времени. В частности, таковыми являются модели функционирования и развития.

Детерминированные модели отображают процессы, в которых отсутствуют случайные воздействия.

Вероятностные (стохастические от греч. Stochasis – догадка) модели – описания объектов, поведение которых определяется случайными воздействиями (внешними и внутренними); описания вероятностных процессов и событий, характер изменения которых во времени точно предсказать невозможно.

Имитационная компьютерная модель – отдельная программа, совокупность программ, программный комплекс, позволяющий с помощью последоваетльности вычислений и графического отображения их результатов воспроизводить (имитировать) процессы функционирования объекта, системы объектов при условии воздействия на объект различных, как правило случайных, факторов.

Стохастические

(вероятностные)

Оптимизационные

22.09.20

3

Классификация моделей по способу представления

Модели

Материальные

Абстрактные

(нематериальные)

уменьшенные или

увеличенные копии,

воспроизводящие внешний

вид моделируемого

объекта, его структуру

или поведение

Воображаемые

Информационные

формируются в результате

раздумий, умозаключений,

иногда в виде некоторого

образа

описания моделируемого

объекта на одном из

языков кодирования

информации

глобус, модель

кристаллической решётки,

модель автомобиля,

велотренажёр,

макет, муляж и т.п.

Материальные модели иначе можно назвать предметными, физическими. Они всегда имеют реальное воплощение. Такие модели могут отражать: внешние свойства исходных объектов; внутреннее устройство исходных объектов;

Суть процессов и явлений, происходящих с объектами-оригиналами.

Материальные модели помогают узнать свойства реальных объектов и понять «механизм» сложных явлений, они часто используются в процессе обучения. Материальными моделями являются скелет человека и чучело птицы в кабинете биологии, объёмная модель Солнечной системы и макет многоступенчатой ракеты в кабинете физики и т.д.

Абстрактные модели нельзя потрогать, они не имеют вещественного воплощения. Основу таких моделей составляет информация, а такой тип моделирования реализует теоретический метод познания окружающей действительности.

Основанием для дальнейшей классификации абстрактных моделей выберем возможность их реализации и исследования при помощи компьютера. По этому признаку выделяются следующие подклассы:

  • Мысленные и вербальные;
  • Информационные.

Мысленные модели формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений, иногда в виде некоторого образа. Примером мысленной модели является модель поведения при переходе через дорогу. Человек анализирует ситуацию на дороге и вырабатывает модель поведения. К моделям такого типа можно отнести и идею, возникшую у изобретателя, и музыкальную тему, промелькнувшую в мыслях у композитора, и рифму, родившуюся в голове поэта. Мысленная модель может быть выражена в разговорной форме. В этом случае она называется вербальной. Вербальную модель человек использует для передачи своих мыслей другим.

Чтобы информацию можно было использовать для обработки на компьютере, необходимо выразить её при помощи системы знаков. Кроме того, информацию необходимо представить в такой форме, которая бы отвечала поставленной цели исследования. Поэтому наряду с вербальными и мысленными моделями используются более строгие – информационные модели.

Существуют разнообразные системы условных обозначений и соглашений, относящихся к разным областям деятельности и пригодных для описания моделей.Подобную систему и правила использования её элементов называют языком. Язык может быть разговорным, алгоритмическим, математическим, языком кодирования и пр.

модель поведения,

геометрическая точка,

математический маятник,

идеальный газ,

бесконечность

словесное описание,

схемы, чертежи,

карты, рисунки,

научные формулы,

программы и т.п.

3

22.09.20

3

Информационные модели

Информационная модель – это описание моделируемого объекта на одном из языков кодирования информации.

Объект-оригинал заменяется набором его характеристик (величин) и их значений.

Имена величин – это всегда знаковые элементы.

Значения величин могут нести как знаковую, так и образную информацию.

Виды информационных моделей

Смешанные

Дискриптивные

(выраженные на языке

описания)

Наглядные

(выраженные на языке

представления)

Информационная модель, как и любой другой вид информации, должна иметь свой материальный носитель. Им может быть бумага, холст, стена, классная доска – то есть любая поверхность, на которой можно что-то написать, изобразить. На этом носителе модель может быть записана разными «физическими» способами: с помощью чернил, мела или типографского оттиска; быть диапроекторным световым изображением или изображением на экране монитора (заметим, что сама эта «запись» является моделью той информации, которая передаётся, представляется изображением, но все эти вопросы относятся больше к теории знаковых систем). Мы же под информационной моделью в общем случае понимаем тот смысл, который она передаёт. Формула квадратного уравнения остаётся формулой квадратного уравнения, написана ли она мелом на доске, лучом прожектора или вырублена на гранитной глыбе.

Информационные модели целесообразно классифицировать по языку описания модели.

В информатике нас прежде всего интересуют модели, которые можно создавать и исследовать с помощью компьютера.

Таблицы

Рисунки

На естественном языке

Графы

Чертежи

На специальном языке

Схемы

Графики

Научные

Карты

Фотографии

Технические

Видеофильмы

3

22.09.20

5

Алгоритмы и программы как информационные модели Решая задачи на компьютере, мы работаем с информационными моделями. Компьютер является формальным исполнителем и может работать только по заданной ему программе, написанной на строго формализованном языке. Алгоритм – это предназначенное для конкретного исполнителя точное описание последовательности действий, направленных на решение поставленной задачи. Программа – один из способов записи алгоритма. Теоретический анализ задачи состоит в: Построении модели предметной области, то есть в выделении её объектов и установлении их свойств и отношений между ними; Определении структуры данных; Определении и описании процессов и действий, допустимых в предметной области; Выявлении известных методов решения задачи. Структура данных – это информационная модель предметной области задачи. Алгоритм – это информационная модель деятельности исполнителя алгоритма. 22.09.20 5

Алгоритмы и программы как информационные модели

Решая задачи на компьютере, мы работаем с информационными моделями.

Компьютер является формальным исполнителем и может работать только по заданной ему программе, написанной на строго формализованном языке.

Алгоритм – это предназначенное для конкретного исполнителя точное описание последовательности действий, направленных на решение поставленной задачи.

Программа – один из способов записи алгоритма.

Теоретический анализ задачи состоит в:

  • Построении модели предметной области, то есть в выделении её объектов и установлении их свойств и отношений между ними;
  • Определении структуры данных;
  • Определении и описании процессов и действий, допустимых в предметной области;
  • Выявлении известных методов решения задачи.

Структура данных – это информационная модель предметной области задачи.

Алгоритм – это информационная модель деятельности исполнителя алгоритма.

22.09.20

5

Моделирование как метод познания

Моделирование - один из основных методов познания, образования и создания искусственных систем, который заключается в выделении из сложного явления (объекта) некоторых частей и замещении их другими объектами, более понятными, простыми и удобными для описания, объяснения и разработки.

Этапы моделирования

  • Постановка цели моделирования.
  • Анализ моделирования объекта и выделение всех его известных свойств.
  • Анализ выделенных свойств с точки зрения цели моделирования и определение, какие из них следует считать существенными.
  • Выбор формы представления модели.
  • Формализация.
  • Анализ полученной модели на противоречивость.
  • Анализ адекватности полученной модели объекту и цели моделирования.

Моделирование – ведущий принцип современного научного познания. Человек не может видеть предмет познания целиком, во всех его проявлениях. Поэтому он ограничивает свои притязания и стремится познать какую-либо сторону этого предмета, в зависимости от стоящей перед человеком задачи.

Аспектами моделирования могут быть внешний вид, структура, поведение объекта моделирования, а также их всевозможные комбинации.

Структурой объекта называют совокупность его элементов и существующих между ними связей.

Поведением объекта назовём изменения его внешнего вида и структуры с течением времени в результате взаимодействия с другими объектами.

Моделирование внешнего вида объекта используется для:

  • Идентификации (узнавания) объекта;
  • Долговременного хранения образа.

Моделирование структуры объекта используется для:

  • Её наглядного представления;
  • Изучения свойств объекта;
  • Выявления значимых связей;
  • Изучения стабильности объекта.

Моделирование поведения применяется при:

  • планировании, прогнозировании;
  • Установлении связей с другими объектами;
  • Выявлении причинно-следственных связей;
  • Управлении;
  • Конструировании технических устройств и т.п.

В процессе моделирования каждый аспект моделирования раскрывается через совокупность свойств.

В моделях отражаются не все свойства объекта, а только существенные с точки зрения цели моделирования.

Итак, предположим, что есть объект исследования и определена цель построения модели этого объекта. Что же дальше? С чего начать построение модели?

Вероятно, первое, что нужно сделать, это проанализировать объект с точки зрения цели моделирования.

На этом этапе выделяются все известные субъекту моделирования свойства объекта. Это нужно для того чтобы среди многих свойств и признаков объекта выделить существенные с точки зрения целей моделирования, которые затем должны быть отражены в модели. Для одного и того же объекта при разных целях моделирования существенными будут считаться разные совйства.

От того, насколько правильно и полно выделены существенные признаки, зависит соответствие построенной модели заданной цели, то есть её адекватность цели моделирования. А вот адекватность модели объекту моделирования будет зависеть от того, как эти выделенные существенные признаки мы сможем выразить, в какой форме мы их отобразим. Выбор формы представления выделенных признаков объекта моделирования – следующий этап процесса моделирования. (Формами представления моделей могут быть: словесное описание, чертёж, таблица, формула, схема, алгоритм, компьютерная программа и т.п.)

Как только форма представления выделенных существенных свойств и признаков выбрана, можно приступать к формализации, то есть приведению информации, связанной с выделенными свойствами, к выбранной форме.

Результатом этапа формализации и будет информационная модель.

Но прежде чем говорить об окончании процесса моделирования, построенную модель необходимо проверить на непротиворечивость и проанализировать, насколько она адекватна объекту и цели моделирования.

Если построенная модель противоречива, то после выявления всех замеченных противоречий их необходимо устранить и вновь проверить уточнённую модель на непротиворечивость.

Анализ полученной модели на адекватность отражения объекта моделирования и достижение цели моделирования – последний этап моделирования.

22.09.20

5

5

Методы познания Термин «метод» происходит от греч. metodos – путь исследования, теория, учение. Метод – способ достижения какой-либо цели, решения конкретной задачи; совокупность приёмов или операций практического или теоретического освоения (познания) действительности. Универсальные методы познания:  анализ – расчленение целого на части;  синтез – объединение частей в целое;  абстрагирование – отвлечение от несущественных в данном конкретном случае свойств и отношений;  обобщение – установление общих свойств и признаков объектов;  индукция – построение общего вывода на основе частных предпосылок;  дедукция – выведение заключения частного характера из общих посылок;  аналогия – на основе сходства в одних признаках делается заключение о существовании сходства в других;  моделирование – исследование модели, замещающей оригинал;  классификация – разделение всех изучаемых объектов на отдельные группы. 22.09.20 5

Методы познания

Термин «метод» происходит от греч. metodos – путь исследования, теория, учение.

Метод – способ достижения какой-либо цели, решения конкретной задачи; совокупность приёмов или операций практического или теоретического освоения (познания) действительности.

Универсальные методы познания:

  • анализ – расчленение целого на части;
  • синтез – объединение частей в целое;
  • абстрагирование – отвлечение от несущественных в данном конкретном случае свойств и отношений;
  • обобщение – установление общих свойств и признаков объектов;
  • индукция – построение общего вывода на основе частных предпосылок;
  • дедукция – выведение заключения частного характера из общих посылок;
  • аналогия – на основе сходства в одних признаках делается заключение о существовании сходства в других;
  • моделирование – исследование модели, замещающей оригинал;
  • классификация – разделение всех изучаемых объектов на отдельные группы.

22.09.20

5

Формализация Когда метод решения задачи известен и ясна структура исходных данных, то построение алгоритма заключается в следующем: Определяется точная последовательность действий, предписанных методом решения; Выбирается способ записи алгоритма; Последовательность действий записывается по правилам этого способа. Формализация в этом случае сводится к «перекодированию» одного способа записи в другой. Формализация – это процесс представления информации о существенных свойствах и признаках объекта моделирования в выбранной форме. При решении задач с помощью компьютера формализацию условий и метода решения задачи необходимо проводить с учётом возможностей того программного средства, с помощью которого будет решаться данная задача. Формализацию при решении задач на компьютере можно рассматривать как процесс описания свойств объекта по правилам, предписываемым конкретным программным средством и исключающим неоднозначное их толкование. 22.09.20 5

Формализация

Когда метод решения задачи известен и ясна структура исходных данных, то построение алгоритма заключается в следующем:

  • Определяется точная последовательность действий, предписанных методом решения;
  • Выбирается способ записи алгоритма;
  • Последовательность действий записывается по правилам этого способа.

Формализация в этом случае сводится к «перекодированию» одного способа записи в другой.

Формализация – это процесс представления информации о существенных свойствах и признаках объекта моделирования в выбранной форме.

При решении задач с помощью компьютера формализацию условий и метода решения задачи необходимо проводить с учётом возможностей того программного средства, с помощью которого будет решаться данная задача.

Формализацию при решении задач на компьютере можно рассматривать как процесс описания свойств объекта по правилам, предписываемым конкретным программным средством и исключающим неоднозначное их толкование.

22.09.20

5

Компьютерные модели

Под компьютерной моделью понимается программа (или программа в совокупности со специальным устройством), которая обеспечивает имитацию характеристик и поведения определённого объекта, а также результат выполнения этой программы в виде графических изображений (неподвижных или динамических), числовых значений, таблиц и пр.

Структурно-функциональные

это условный образ объекта или некоторой

системы объектов, описанный с помощью взаимосвязанных

компьютерных таблиц, блок-схем, диаграмм, графиков,

рисунков, анимационных фрагментов, гипертекстов и так

далее и отображающий структуру объекта или его

поведение

Имитационные

это отдельная программа или программный комплекс,

позволяющий с помощью последовательности вычислений

и графического отображения их результатов

воспроизводить (имитировать) процессы функционирования

объекта при условии воздействия на него различных

случайных факторов

Компьютер нередко выступает как инструмент экспериментальной работы, которая связана с:

  • проведением сложных математических расчётов (численное моделирование);
  • построением и исследованием наглядных и/или динамических моделей (компьютерное моделирование).

Компьютерное моделирование – метод решения задачи анализа или синтеза системы (чаше всего сложной системы) на основе использования её компьютерной модели.

22.09.20

5

Компьютерный эксперимент Важно помнить, что на компьютере моделируется не объективная реальность, а наши теоретические представления о ней. Объектом компьютерного моделирования являются математические и другие научные модели, а не реальные объекты, процессы, явления. Критерием верности любого из результатов компьютерного моделирования был и остаётся натурный (физический, химический, социальный) эксперимент. В научных и практических исследованиях компьютерный эксперимент может лишь сопутствовать натурному, чтобы исследователь, сравнивая их результаты, мог оценить качество модели, глубину наших представлений о сути явлений природы. План эксперимента Схема компьютерного эксперимента План эксперимента должен чётко отражать последовательность работы с моделью. Тестирование – процесс проверки правильности построения модели. Тестирование модели Проведение исследования Анализ результатов 5 22.09.20

Компьютерный эксперимент

Важно помнить, что на компьютере моделируется не объективная реальность, а наши теоретические представления о ней. Объектом компьютерного моделирования являются математические и другие научные модели, а не реальные объекты, процессы, явления.

Критерием верности любого из результатов компьютерного моделирования был и остаётся натурный (физический, химический, социальный) эксперимент. В научных и практических исследованиях компьютерный эксперимент может лишь сопутствовать натурному, чтобы исследователь, сравнивая их результаты, мог оценить качество модели, глубину наших представлений о сути явлений природы.

План эксперимента

Схема компьютерного эксперимента

План эксперимента должен чётко отражать последовательность работы с моделью.

Тестирование – процесс проверки правильности построения модели.

Тестирование модели

Проведение

исследования

Анализ результатов

5

22.09.20

Компьютерное математическое моделирование Математическая модель выражает существенные свойства объекта или процесса на языке уравнений и других математических средств. Последовательность этапов компьютерного математического моделирования Ранжирование факторов, определение входных и выходных параметров Поиск методов математического описания Определение целей моделирования Математическая модель Исходный объект или процесс Выбор метода исследования Уточнение модели Конец работы Анализ результатов Выбор технологии Использование пакета математических программ Разработка алгоритма и программы для ЭВМ Проведение численного эксперимента Отладка и тестирова- ние программы кафедра информатизации образования НиколаеваТ.В., 2007 г. 11 22.09.20

Компьютерное математическое моделирование

Математическая модель выражает существенные свойства объекта или процесса на языке уравнений и других математических средств.

Последовательность этапов компьютерного математического моделирования

Ранжирование факторов, определение

входных и выходных параметров

Поиск методов

математического

описания

Определение целей

моделирования

Математическая

модель

Исходный объект

или процесс

Выбор метода

исследования

Уточнение модели

Конец

работы

Анализ

результатов

Выбор

технологии

Использование

пакета

математических

программ

Разработка алгоритма

и программы для ЭВМ

Проведение

численного

эксперимента

Отладка и тестирова-

ние программы

кафедра информатизации образования НиколаеваТ.В., 2007 г.

11

22.09.20


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Информатика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Методика математического моделирования на компьютере

Автор: Анна Олеговна

Дата: 22.09.2020

Номер свидетельства: 558165

Похожие файлы

object(ArrayObject)#861 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(61) "Решение задач программированияя "
    ["seo_title"] => string(39) "rieshieniie-zadach-proghrammirovaniiaia"
    ["file_id"] => string(6) "153010"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1420956922"
  }
}
object(ArrayObject)#883 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(175) "МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ. "
    ["seo_title"] => string(102) "mietodika-proviedieniia-laboratornykh-rabot-po-fizikie-s-ispol-zovaniiem-informatsionnykh-tiekhnologii"
    ["file_id"] => string(6) "234889"
    ["category_seo"] => string(6) "fizika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1443543730"
  }
}
object(ArrayObject)#861 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(125) "Анализ работы ШМО учителей физико-математических наук за 2014-2015 уч. г."
    ["seo_title"] => string(70) "analizrabotyshmouchitielieifizikomatiematichieskikhnaukza20142015uchgh"
    ["file_id"] => string(6) "282734"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1453730918"
  }
}
object(ArrayObject)#883 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(114) "Учебно-воспитательное занятие по теме "Задачи на оптимизацию" "
    ["seo_title"] => string(70) "uchiebno-vospitatiel-noie-zaniatiie-po-tiemie-zadachi-na-optimizatsiiu"
    ["file_id"] => string(6) "237722"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1444383290"
  }
}
object(ArrayObject)#861 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(162) "Выступление на методсовете на тему "О НЕКОТОРЫХ АКТУАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМАХ В ОБУЧЕНИИ ФИЗИКЕ" "
    ["seo_title"] => string(99) "vystuplieniie-na-mietodsovietie-na-tiemu-o-niekotorykh-aktual-nykh-probliemakh-v-obuchienii-fizikie"
    ["file_id"] => string(6) "236669"
    ["category_seo"] => string(6) "fizika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1444135185"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства