Векторы в пространстве

Векторы в пространстве. Равенство векторов.

Цели урока

• Знать: определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия; равенство векторов.

• Уметь: находить равные, сонаправленные, противоположно направленные векторы; решать задачи по данной теме.

Кроссфорд

1. Как называется выпуклый многогранник, все грани которого равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер?

2. Как называются стороны многоугольников, из которых состоит многогранник?

3. Как называют правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников?

Кроссфорд

4. Поверхность, составленная из 4 – х треугольников.

5. Утверждение, принимаемое без доказательства.

6. Как называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях и n – параллелограммов?

Кроссфорд

1

2

3

4

5

6

Кроссфорд

п р а в и л ь н ы й

р е б р о

д о д е к а э д р

т е т р а э д р

а к с и о м а

п р и з м а

Физические величины

Скорость v

Ускорение а

Перемещение s

Сила F

Электрическое поле Электрическое поле, создаваемое в пространстве зарядами, характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности электрического поля. На рис. изображены векторы напряженности электрического поля положительного точечного заряда.

Магнитное поле

Электрический ток, т.е. направленное движение зарядов, создает в пространстве магнитное поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции.

На рис. изображены

векторы магнитной

индукции магнитного

поля прямого

проводника с током.

Понятие вектора появилось в 19 веке в работах математиков Г. Грассмана У. Гамильтона

Современная символика для обозначения вектора r была введена в 1853 году французским математиком О. Коши .

Задание

Записать все термины по теме «Векторы в пространстве».

Вектор

Обозначение вектова

Нулевой вектор

Направление нулевого вектора

Длина вектора

Коллинеарные векторы

Сонаправленные векторы

Противоположно направленные векторы

Равенство векторов

Определение вектора в пространстве

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется вектором .

В

В

Обозначение вектора

АВ, с

Обозначение вектора

АВ, с

с

с

А

А

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется

нулевым.

Обозначение нулевого вектора

ТТ, 0

0

ТТ

Длина ненулевого вектора

• Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ.

• Длина вектора АВ ( вектора а) обозначается так :

АВ , а

• Длина нулевого вектора считается равной нулю :

= 0

0

Определение коллинеарности векторов

• Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы

Сонаправленные векторы

Противоположно направленные векторы

Равенство векторов

Векторы называются равными , если они

сонаправлены и их длины равны .

D

AN=DC , так как

N AN DC и |AN|=|DC|

С

K

В

АВ=ЕС, так как

АВ ЕС и АВ = ЕС

Е

А

Какие векторы на рисунке сонаправленные? Какие векторы на рисунке противоположно направленные? Найти длины векторов АВ ; ВС; СС 1.

5 см

D 1

C 1

3 см

В 1

A 1

9 см

9 см

D

C

3 см

5 см

A

B

Какие векторы на рисунке сонаправленные? Какие векторы на рисунке противоположно направленные? Найти длины векторов АВ ; ВС; СС 1.

Сонаправленные векторы:

5 см

D 1

C 1

AA 1 BB 1 , A 1 D B 1 C

AB D 1 C 1

3 см

В 1

A 1

Противоположно-направленные:

9 см

9 см

CD D 1 C 1, CD AB,

DA BC

D

C

АВ = 5 см; ВС = 3 см; ВВ1 = 9 см.

3 см

B

5 см

A

Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.

• Рисунок № 1 Рисунок № 2

О

А

В

Н

К

А

М

С

Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.

• Рисунок № 1 Рисунок № 2

О

А

В

Н

К

А

М

С

АН=ОК, т. к АН ОК

АВ=СМ, т. к АВ = СМ

Э

Э

Доказать , что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один

Дано: а, М.

Доказать: в = а, М в, единственный.

Доказательство:

К

Проведем через вектор а и точку

М плоскость.

М

В этой плоскости построим

МК = а.

а

Из теоремы о параллельности

прямых следует МК = а и М МК .

В

Решение задач

№ 322

Укажите на этом рисунке

все пары:

М

С 1

В 1

а) сонаправленных векторов

А 1

Д 1

К

б) противоположно направленных

векторов

С

в) равных векторов

А

Д

В

Решение задач

№ 322

Укажите на этом рисунке

все пары:

М

В 1

С 1

а) сонаправленных векторов

Д 1

А 1

К

ДК и СМ; C В и С 1 В 1 и Д 1 А 1;

б) противоположно направленных

векторов

СД и АВ; АД и СВ; АА 1 и СС 1; АД и Д 1 А 1; АД и С 1 В 1;

С

в) равных векторов

C В = С 1 В 1 ; Д 1 А 1 = С 1 В 1; ДК=СМ

А

Д

В

Решение задач

№ 326 (а , б , в)

Назовите вектор , который

получится , если отложить:

а) от точки С вектор , равный DD 1

М

С 1

В 1

К

А 1

D 1

б) от точки D вектор , равный СМ

в) от точки А 1 вектор , равный АС

С

А

D

В

Решение задач

№ 326 (а , б , в)

Назовите вектор , который

получится , если отложить:

а) от точки С вектор , равный DD 1

М

С 1

В 1

К

D 1

А 1

CC 1 = DD 1

б) от точки D вектор , равный СМ

DK = CM

в) от точки А 1 вектор , равный АС

С

А 1 С 1 = АС

А

D

Самостоятельная работа

Дан тетраэдр МАВС , угол АСВ прямой. Точки К и Р середины сторон МВ и МС , АС = 9 см и ВА = 15 см. Найти КМ .

Решение:

М

М

К

9

А

15

В

Самостоятельная работа

Дан тетраэдр МАВС , угол АСВ прямой. Точки К и Р середины сторон МВ и МС , АС = 9 см и ВА = 15 см. Найти КМ .

Решение:

М

М

Треугольник АВС , угол АСВ- прямой.

По теореме Пифагора

К

С

9

КМ – средняя линия треугольника МВС ,

КМ = ½ ВС = 6 см.

КМ = 6 см.

А

15

В

Расшифруй слово

Расшифруй слово

О

Ц

Д

Ы

Л

О

М

Домашнее задание

Стр. 84 – 85

№ 320 , 321(а).

Список литературы:

1. «Геометрия 10-11» Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 201 1 .

2. Поурочные разработки по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 20 13 .

3 . « Математика. Справочник школьника.» Сост. Г. Якушева.- Центр гуманитарных наук при МГУ им. М.В.Ломоносова, М.1995.

4 Сайты :

• http://images.yandex.ru/yandsearch?ed=1&text=%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%BD%D0%B0%20%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%83%D1%8E%20%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&p=1&img_url=img1.liveinternet.ru%2Fimages%2Fattach%2Fc%2F3%2F76%2F873%2F76873211_default.jpg&rpt=simage
• http://images.yandex.ru/yandsearch?text=%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%20%D0%B2%20%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8%20%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8&img_url=www.statistica.com.au%2FMATHSC%257E1%2Fimg560.gif&rpt=simage&p=145

• http://ru.wikipedia.org/wiki/Файл:Cauchy_Augustin_Louis_dibner_coll_SIL14-C2-03a.jpg
• http://ru.wikipedia.org/wiki/Файл:William_Rowan_Hamilton_painting.jpg
• http://ru.wikipedia.org/wiki/Файл:Hgrassmann.jpg