Урок "Вычисление площади фигур на клетчатой бумаге"

Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге. Формула Пика.

Урок по математике 8 класс

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь прямоугольника

1

S=½*a*h

a

Верно

b

2

S=a*b

Подумай

3

S=½*a*b

Подумай

4

S=a*h

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь параллелограмма

1

S=½*a*h

Подумай

h

2

S=a*b

a

Подумай

3

S=½*a*b

Верно

4

S=a*h

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь треугольника

1

S=a*h

Подумай

h

2

S=a*b

a

Верно

3

S=½*a*h

Подумай

4

S=½*d 1 *d 2

Тест на повторение формул

Верно

Площадь прямоугольного

треугольника

1

S=½*a*b

Подумай

a

2

S=a*b

Подумай

(a+b)

b

3

S=

*h

2

Подумай

4

S=½*d 1 *d 2

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь ромба

(a+b)

1

S=

*h

2

Подумай

d 1

d 2

2

S=a*b

Верно

3

S=½*d 1 *d 2

Подумай

4

S=½*a*b

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь трапеции

a

1

S=½*d 1 *d 2

Подумай

h

2

S=a*b

b

Подумай

3

S=½*a*b

Верно

(a+b)

4

*h

S=

2

Найдите площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

S=½*2*9=9 см 2

S=½*2*6=6 см 2

S=½*2*6=6 см 2

S=½*(2+5)*4=14 см 2

S=½*3*8=12 см 2

S=3*4=12 см 2

S 1 =½*(4+1)*3=7,5 см 2

s 2

s 1

S 2 =½*(2+6)*3=12 см 2

S 3 =4*3=12 см 2

S 4 =½*4*2=4 см 2

s 3

s 4

Как поступим здесь?

Подсказка.

Разделим многоугольник на 2 части. Найдём площадь каждой части.

S 1

S 2

S=S 1 +S 2

=4,5+4,5

S=½ ∙ 3 ∙ 3

=9 см 2

+½ ∙ 3 ∙ 3

S 1

S 2

Подсказка.

Разделим многоугольник на части. Найдём площадь каждой части.

S 2

S 3

S 1

S=S 1 +S 2

S=S 1 +S 2 +S 3

S=½ ∙ 1 ∙ 2+½ ∙ 1 ∙ 4

=1+2

=3 см 2

S=½ ∙ 1 ∙ 1+½ ∙ 1 ∙ 3+1 ∙ 1

=0,5+1,5+1=

Или так

S 1

S 2

S 3

=3 см 2

Подсказка.

Достроим до квадрата.

S 1

S

S 2

S 3

S=S кв -S 1 -S 2 -S 3

S= 4∙4

-½∙4∙2

-½∙3∙2

-½∙1∙4=

S 1

S 3

S 2

S КВ

=7 см 2

=16-4-3-2

Подсказка.

Достроим до прямоугольника

S 1

S 2

S

S 3

S=S пр -S 1 -S 2 -S 3

S=4∙5-½∙4∙1-½∙4∙1- ½∙1∙5=

S КВ

S 2

S 1

S 3

=13,5 см 2

=20-2-2-2,5

А всегда ли Удобно

Таким способом находить площади фигур?

S 1

S 2

S 5

S 4

S

S=S кв -S 1 -S 2 -S 3 -S 4

S 3

S=5 ∙ 5-½ ∙ 3∙1-½ ∙ 5∙1- ½∙2∙5 - ½∙1∙2-1∙1=

S 1

S 5

S 4

S 3

S 2

S КВ

=25-1,5-2,5-5-1-1

=13,5см 2

Формула Пика

Позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить до прямоугольника, квадрата …

Биография

Георг Александр Пик — австрийский математик .  

Дата рождения:

10 августа 1859

Место рождения:

Дата смерти:

13 июля 1942 (82 года)

Место смерти:

Научная сфера:

Место работы:

Учёная степень:

доктор философии (PhD) по математике,

Учёное звание:

Формула Пика

Определение: Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые числа.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г  — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Г

– 1

B

+

2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В=10

Г=7

S=10+7:2-1=12,5 см 2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В=11

Г=9

S=11+9:2-1=14,5 см 2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В=7

Г=4

S=7+4:2-1=8 см 2

Самостоятельная работа

1

1 способ:

В=8

Г=7

S=8+7:2-1=10,5 см 2

2 способ:

S=4 ∙ 5-½ ∙ 1 ∙ 1-½ ∙ 2 ∙ 3-½ ∙ 3 ∙ 4=10,5 см 2

Самостоятельная работа

2

1 способ:

В=12

Г=10

S=12+10:2-1=16 см 2

2 способ:

S=4 ∙ 4=16 см 2

Самостоятельная работа

3

1 способ:

В=0

Г=8

S=0+8:2-1=3 см 2

2 способ:

S=(½ ∙ 1 ∙ 3) ∙2 =3 см 2

Самостоятельная работа

4

1 способ:

В=5

Г=4

S=5+4:2-1=6 см 2

2 способ:

S=4 ∙ 5-½ ∙ 1 ∙ 3-½ ∙ 3 ∙ 5-½ ∙ 2 ∙ 4=6 см 2

Самостоятельная работа

5

1 способ:

В=11

Г=4

S=11+4:2-1=12 см 2

2 способ:

S=½ ∙ 4 ∙ 6=12 см 2

Подведём итоги

Самоанализ по полученным знаниям

1

Какие умения сформированы на уроке

Знаю формулы площадей (тест)

“ 5”

2

“ 4”

3

Применяю формулы при решении задач

Умею находить площади разных многоугольников

“ 3”

4

Применяю Формулу Пика при решении задач

“ 2”

Домашнее задание: на листочках

Спасибо за урок