Разработка урока по математике " Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге. Формула Пика."

Урок геометрии в 8 классе по теме «Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге. Формула Пика.»

(Методические рекомендации)

Учитель Берестова Алёна Михайловна

Цели урока:

Образовательные: повторение формул нахождения площадей, продолжение формирования навыков вычисления площадей, применение формул при решении задач разной сложности, изучение формулы Пика.

Развивающие: развить творческие способности у учащихся в ходе выполнения самостоятельных заданий, развивать умение обосновывать свое решение.

Воспитательные: развивать умение вести самостоятельный поиск решения, конструирования обобщенного способа решения новой задачи, учить трудолюбию, аккуратности, внимательности.

Тип урока: комбинированный урок.

Методы обучения: репродуктивный, словесно-наглядный, частично-поисковый.

Формы организации: общеклассная, индивидуальная.

Оборудование урока: мультимедийные средства обучения, лист с печатной основой у каждого учащегося (задачи на готовых чертежах, самостоятельная работа).

Ход урока.

I Организация начала урока (слайд 1)

Посмотрите на слайд, что вы видите на нём? (Различные многоугольники)

Какие фигуры вам знакомы?

Что мы учились находить у этих фигур? (Площади)

Что общего у этих фигур? (Изображены на клетчатой бумаге)

Сегодня на уроке мы будем вычислять площади различных фигур на клетчатой бумаге. А ещё мы с вами познакомимся с одной очень интересной формулой, которая позволит нам очень быстро вычислять площади различных фигур на клетчатой бумаге.

Итак тема урока…

II Актуализация знаний и способов деятельности

1. Повторим основные формулы нахождения площадей , которые нам пригодятся на сегодняшнем уроке. Выполняем тест. (слады 2-7)

2. Найти площади фигур, изображённых на слайде. (слады 10-11) [3]

III Закрепление знаний и способов деятельности

Найти площади фигур, используя один из двух способов:

• разбить фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты

• попробовать дополнить наш многоугольник до “хорошего”, нужного нам, то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить, потом из полученного числа вычесть площади добавленных частей.

(слады 12-16) (приложение 1)

IV Усвоение новых знаний и способов деятельности. Формула Пика

Формула Пика позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить…(слайд 17)

а) Биография [1]

Герг Алекса́ндр Пик— австрийский математик. Родился 10 августа 1859 года в Вене в еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер, отец — Адольф Йозеф Пик.

Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1880 г. защитил докторскую диссертацию. В 1885 г. уехал в Прагу и стал преподавать в Немецком университете.

В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену — город, в котором он родился. Однако в 1938 году он снова вернулся в Прагу.

13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет. (слайд 18)

б) Формула Пика [2]

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна 
В + Г/2 − 1, где 
В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а
Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника. (слайд 19)

в) Решение задач (слайды 20-22) (приложение 2)

V Первичная проверка усвоения

Самостоятельная работа: решить задачи двумя способами. (слайды 23-27) (приложение 3)

VI Подведение итогов, инструктаж по домашнему заданию.

Самоанализ по полученным знаниям

Имя ученика: _______________________________________

Домашнее задание: на листочках. (слайд 28) (приложение 4)

Литература и интернет – ресурсы:

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0%EC%F3%EB%E0_%CF%E8%EA%E0

3. ЕГЭ. Математика. Тематическая рабочая тетрадь/ И.В.Ященко, С.А. Шестаков и др.- М: «Экзамен», 2013

Приложение 1

Найдите площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Приложение 2

Формула Пика

Приложение 3

Самостоятельная работа

П

3

Домашнее задание

Найдите площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге. Формула Пика.

Берестова Алена Михайловна

Учитель математики

Урок по математике 8 класс

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь прямоугольника

1

S=½*a*h

a

Верно

b

2

S=a*b

Подумай

3

S=½*a*b

Подумай

4

S=a*h

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь параллелограмма

1

S=½*a*h

Подумай

h

2

S=a*b

a

Подумай

3

S=½*a*b

Верно

4

S=a*h

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь треугольника

1

S=a*h

Подумай

h

2

S=a*b

a

Верно

3

S=½*a*h

Подумай

4

S=½*d 1 *d 2

Тест на повторение формул

Верно

Площадь прямоугольного

треугольника

1

S=½*a*b

Подумай

a

2

S=a*b

Подумай

(a+b)

b

3

S=

*h

2

Подумай

4

S=½*d 1 *d 2

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь ромба

(a+b)

1

S=

*h

2

Подумай

d 1

d 2

2

S=a*b

Верно

3

S=½*d 1 *d 2

Подумай

4

S=½*a*b

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь трапеции

a

1

S=½*d 1 *d 2

Подумай

h

2

S=a*b

b

Подумай

3

S=½*a*b

Верно

(a+b)

4

*h

S=

2

Найдите площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

S=½*2*9=9 см 2

S=½*2*6=6 см 2

S=½*2*6=6 см 2

S=½*(2+5)*4=14 см 2

S=½*3*8=12 см 2

S=3*4=12 см 2

S 1 =½*(4+1)*3=7,5 см 2

s 2

s 1

S 2 =½*(2+6)*3=12 см 2

S 3 =4*3=12 см 2

S 4 =½*4*2=4 см 2

s 3

s 4

Как поступим здесь?

Подсказка.

Разделим многоугольник на 2 части. Найдём площадь каждой части.

S 1

S 2

S=S 1 +S 2

=4,5+4,5

S=½ ∙ 3 ∙ 3

=9 см 2

+½ ∙ 3 ∙ 3

S 1

S 2

Подсказка.

Разделим многоугольник на части. Найдём площадь каждой части.

S 2

S 3

S 1

S=S 1 +S 2

S=S 1 +S 2 +S 3

S=½ ∙ 1 ∙ 2+½ ∙ 1 ∙ 4

=1+2

=3 см 2

S=½ ∙ 1 ∙ 1+½ ∙ 1 ∙ 3+1 ∙ 1

=0,5+1,5+1=

Или так

S 1

S 2

S 3

=3 см 2

Подсказка.

Достроим до квадрата.

S 1

S

S 2

S 3

S=S кв -S 1 -S 2 -S 3

S= 4∙4

-½∙4∙2

-½∙3∙2

-½∙1∙4=

S 1

S 3

S 2

S КВ

=7 см 2

=16-4-3-2

Подсказка.

Достроим до прямоугольника

S 1

S 2

S

S 3

S=S пр -S 1 -S 2 -S 3

S=4∙5-½∙4∙1-½∙4∙1- ½∙1∙5=

S КВ

S 2

S 1

S 3

=13,5 см 2

=20-2-2-2,5

А всегда ли Удобно

Таким способом находить площади фигур?

S 1

S 2

S 5

S 4

S

S=S кв -S 1 -S 2 -S 3 -S 4

S 3

S=5 ∙ 5-½ ∙ 3∙1-½ ∙ 5∙1- ½∙2∙5 - ½∙1∙2-1∙1=

S 1

S 5

S 4

S 3

S 2

S КВ

=25-1,5-2,5-5-1-1

=13,5см 2

Формула Пика

Позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить до прямоугольника, квадрата …

Биография

Георг Александр Пик — австрийский математик .  

Дата рождения:

10 августа 1859

Место рождения:

Дата смерти:

13 июля 1942 (82 года)

Место смерти:

Научная сфера:

Место работы:

Учёная степень:

доктор философии (PhD) по математике,

Учёное звание:

Формула Пика

Определение: Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые числа.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г  — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Г

– 1

B

+

2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В=10

Г=7

S=10+7:2-1=12,5 см 2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В=11

Г=9

S=11+9:2-1=14,5 см 2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В=7

Г=4

S=7+4:2-1=8 см 2

Самостоятельная работа

1

1 способ:

В=8

Г=7

S=8+7:2-1=10,5 см 2

2 способ:

S=4 ∙ 5-½ ∙ 1 ∙ 1-½ ∙ 2 ∙ 3-½ ∙ 3 ∙ 4=10,5 см 2

Самостоятельная работа

2

1 способ:

В=12

Г=10

S=12+10:2-1=16 см 2

2 способ:

S=4 ∙ 4=16 см 2

Самостоятельная работа

3

1 способ:

В=0

Г=8

S=0+8:2-1=3 см 2

2 способ:

S=(½ ∙ 1 ∙ 3) ∙2 =3 см 2

Самостоятельная работа

4

1 способ:

В=5

Г=4

S=5+4:2-1=6 см 2

2 способ:

S=4 ∙ 5-½ ∙ 1 ∙ 3-½ ∙ 3 ∙ 5-½ ∙ 2 ∙ 4=6 см 2

Самостоятельная работа

5

1 способ:

В=11

Г=4

S=11+4:2-1=12 см 2

2 способ:

S=½ ∙ 4 ∙ 6=12 см 2

Подведём итоги

Самоанализ по полученным знаниям

1

Какие умения сформированы на уроке

Знаю формулы площадей (тест)

“ 5”

2

“ 4”

3

Применяю формулы при решении задач

Умею находить площади разных многоугольников

“ 3”

4

Применяю Формулу Пика при решении задач

“ 2”

Домашнее задание: на листочках

Спасибо за урок