kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Разработка урока по математике " Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге. Формула Пика."

Нажмите, чтобы узнать подробности

Разработка урока по теме "Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге. Формула Пика". Данный урок может быть использован на уроках геометрии и на факультативах при подготовке к экзамену по математике. Разработка содержит презентацию и раздаточный материал к уроку и к домашнему заданию. В ходе урока повторяются основные формулы нахождения площадей фигур, изучается формула Пика, в конце урока даётся самостоятельная работа.

Просмотр содержимого документа
«БерестоваАМ»

Урок геометрии в 8 классе по теме «Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге. Формула Пика.»

(Методические рекомендации)

Учитель Берестова Алёна Михайловна

Цели урока:

Образовательные: повторение формул нахождения площадей, продолжение формирования навыков вычисления площадей, применение формул при решении задач разной сложности, изучение формулы Пика.

Развивающие: развить творческие способности у учащихся в ходе выполнения самостоятельных заданий, развивать умение обосновывать свое решение.

Воспитательные: развивать умение вести самостоятельный поиск решения, конструирования обобщенного способа решения новой задачи, учить трудолюбию, аккуратности, внимательности.

Тип урока: комбинированный урок.

Методы обучения: репродуктивный, словесно-наглядный, частично-поисковый.

Формы организации: общеклассная, индивидуальная.

Оборудование урока: мультимедийные средства обучения, лист с печатной основой у каждого учащегося (задачи на готовых чертежах, самостоятельная работа).


Ход урока.

I Организация начала урока (слайд 1)

Посмотрите на слайд, что вы видите на нём? (Различные многоугольники)

Какие фигуры вам знакомы?

Что мы учились находить у этих фигур? (Площади)

Что общего у этих фигур? (Изображены на клетчатой бумаге)

Сегодня на уроке мы будем вычислять площади различных фигур на клетчатой бумаге. А ещё мы с вами познакомимся с одной очень интересной формулой, которая позволит нам очень быстро вычислять площади различных фигур на клетчатой бумаге.

Итак тема урока…

II Актуализация знаний и способов деятельности

  1. Повторим основные формулы нахождения площадей , которые нам пригодятся на сегодняшнем уроке. Выполняем тест. (слады 2-7)

  2. Найти площади фигур, изображённых на слайде. (слады 10-11) [3]

III Закрепление знаний и способов деятельности

Найти площади фигур, используя один из двух способов:

    • разбить фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты

    • попробовать дополнить наш многоугольник до “хорошего”, нужного нам, то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить, потом из полученного числа вычесть площади добавленных частей.

(слады 12-16) (приложение 1)


IV Усвоение новых знаний и способов деятельности. Формула Пика

Формула Пика позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить…(слайд 17)

а) Биография [1]

Герг Алекса́ндр Пикавстрийский математик. Родился 10 августа 1859 года в Вене в еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер, отец — Адольф Йозеф Пик.

Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1880 г. защитил докторскую диссертацию. В 1885 г. уехал в Прагу и стал преподавать в Немецком университете.

В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену — город, в котором он родился. Однако в 1938 году он снова вернулся в Прагу.

13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет. (слайд 18)

б) Формула Пика [2]

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна 
В + Г/2 − 1
, где 
В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а
Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника. (слайд 19)

в) Решение задач (слайды 20-22) (приложение 2)


V Первичная проверка усвоения

Самостоятельная работа: решить задачи двумя способами. (слайды 23-27) (приложение 3)

VI Подведение итогов, инструктаж по домашнему заданию.

Самоанализ по полученным знаниям

Имя ученика: _______________________________________

 

Какие умения сформированы на уроке

“5”

“4”

“3”

“2”

1

Знаю формулы площадей (тест)

 

 

 

 

2

Применяю формулы при решении задач

 

 

 

 

3

Умею находить площади разных многоугольников

 

 

 

 

4

Применяю Формулу Пика при решении задач

 

 

 

 

Домашнее задание: на листочках. (слайд 28) (приложение 4)


Литература и интернет – ресурсы:

  1. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3

  2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0%EC%F3%EB%E0_%CF%E8%EA%E0

  3. ЕГЭ. Математика. Тематическая рабочая тетрадь/ И.В.Ященко, С.А. Шестаков и др.- М: «Экзамен», 2013












Приложение 1

Найдите площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


















Приложение 2

Формула Пика


Приложение 3

Самостоятельная работа

П

3

5

риложение 4

Домашнее задание

Найдите площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.




Просмотр содержимого презентации
«БерестоваАМ»

Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге.  Формула Пика. Берестова Алена Михайловна Учитель математики Урок по математике 8 класс

Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге. Формула Пика.

Берестова Алена Михайловна

Учитель математики

Урок по математике 8 класс

Тест на повторение формул Подумай Площадь прямоугольника 1 S=½*a*h a Верно b 2 S=a*b Подумай 3 S=½*a*b Подумай 4 S=a*h

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь прямоугольника

1

S=½*a*h

a

Верно

b

2

S=a*b

Подумай

3

S=½*a*b

Подумай

4

S=a*h

Тест на повторение формул Подумай Площадь параллелограмма 1 S=½*a*h Подумай h 2 S=a*b a Подумай 3 S=½*a*b Верно 4 S=a*h

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь параллелограмма

1

S=½*a*h

Подумай

h

2

S=a*b

a

Подумай

3

S=½*a*b

Верно

4

S=a*h

Тест на повторение формул Подумай Площадь треугольника 1 S=a*h Подумай h 2 S=a*b a Верно 3 S=½*a*h Подумай 4 S=½*d 1 *d 2

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь треугольника

1

S=a*h

Подумай

h

2

S=a*b

a

Верно

3

S=½*a*h

Подумай

4

S=½*d 1 *d 2

Тест на повторение формул Верно Площадь прямоугольного треугольника 1 S=½*a*b Подумай a 2 S=a*b Подумай (a+b) b 3 S= *h 2 Подумай 4 S=½*d 1 *d 2

Тест на повторение формул

Верно

Площадь прямоугольного

треугольника

1

S=½*a*b

Подумай

a

2

S=a*b

Подумай

(a+b)

b

3

S=

*h

2

Подумай

4

S=½*d 1 *d 2

Тест на повторение формул Подумай Площадь ромба (a+b) 1 S= *h 2 Подумай d 1 d 2 2 S=a*b Верно 3 S=½*d 1 *d 2 Подумай 4 S=½*a*b

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь ромба

(a+b)

1

S=

*h

2

Подумай

d 1

d 2

2

S=a*b

Верно

3

S=½*d 1 *d 2

Подумай

4

S=½*a*b

Тест на повторение формул Подумай Площадь трапеции a 1 S=½*d 1 *d 2 Подумай h 2 S=a*b b Подумай 3 S=½*a*b Верно (a+b) 4 *h S= 2

Тест на повторение формул

Подумай

Площадь трапеции

a

1

S=½*d 1 *d 2

Подумай

h

2

S=a*b

b

Подумай

3

S=½*a*b

Верно

(a+b)

4

*h

S=

2

Найдите площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. S=½*2*9=9 см 2 S=½*2*6=6 см 2 S=½*2*6=6 см 2 S=½*(2+5)*4=14 см 2 S=½*3*8=12 см 2 S=3*4=12 см 2

Найдите площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

S=½*2*9=9 см 2

S=½*2*6=6 см 2

S=½*2*6=6 см 2

S=½*(2+5)*4=14 см 2

S=½*3*8=12 см 2

S=3*4=12 см 2

S 1 =½*(4+1)*3=7,5 см 2 s 2 s 1 S 2 =½*(2+6)*3=12 см 2 S 3 =4*3=12 см 2 S 4 =½*4*2=4 см 2 s 3 s 4

S 1 =½*(4+1)*3=7,5 см 2

s 2

s 1

S 2 =½*(2+6)*3=12 см 2

S 3 =4*3=12 см 2

S 4 =½*4*2=4 см 2

s 3

s 4

Как поступим здесь? Подсказка. Разделим многоугольник на 2 части. Найдём площадь каждой части. S 1 S 2 S=S 1 +S 2 =4,5+4,5 S=½ ∙ 3 ∙ 3 =9 см 2 +½ ∙ 3 ∙ 3 S 1 S 2

Как поступим здесь?

Подсказка.

Разделим многоугольник на 2 части. Найдём площадь каждой части.

S 1

S 2

S=S 1 +S 2

=4,5+4,5

S=½ ∙ 3 ∙ 3

=9 см 2

+½ ∙ 3 ∙ 3

S 1

S 2

Подсказка. Разделим многоугольник на части. Найдём площадь каждой части. S 2 S 3 S 1 S=S 1 +S 2 S=S 1 +S 2 +S 3 S=½ ∙ 1 ∙ 2+½ ∙ 1 ∙ 4 =1+2 =3 см 2 S=½ ∙ 1 ∙ 1+½ ∙ 1 ∙ 3+1 ∙ 1 =0,5+1,5+1= Или так S 1 S 2 S 3 =3 см 2

Подсказка.

Разделим многоугольник на части. Найдём площадь каждой части.

S 2

S 3

S 1

S=S 1 +S 2

S=S 1 +S 2 +S 3

S=½ ∙ 1 ∙ 2+½ ∙ 1 ∙ 4

=1+2

=3 см 2

S=½ ∙ 1 ∙ 1+½ ∙ 1 ∙ 3+1 ∙ 1

=0,5+1,5+1=

Или так

S 1

S 2

S 3

=3 см 2

Подсказка. Достроим до квадрата. S 1 S S 2 S 3 S=S кв -S 1 -S 2 -S 3 S= 4∙4 -½∙4∙2 -½∙3∙2 -½∙1∙4= S 1 S 3 S 2 S КВ =7 см 2 =16-4-3-2

Подсказка.

Достроим до квадрата.

S 1

S

S 2

S 3

S=S кв -S 1 -S 2 -S 3

S= 4∙4

-½∙4∙2

-½∙3∙2

-½∙1∙4=

S 1

S 3

S 2

S КВ

=7 см 2

=16-4-3-2

Подсказка. Достроим до прямоугольника S 1 S 2 S S 3 S=S пр -S 1 -S 2 -S 3 S=4∙5-½∙4∙1-½∙4∙1- ½∙1∙5= S КВ S 2 S 1 S 3 =13,5 см 2 =20-2-2-2,5

Подсказка.

Достроим до прямоугольника

S 1

S 2

S

S 3

S=S пр -S 1 -S 2 -S 3

S=4∙5-½∙4∙1-½∙4∙1- ½∙1∙5=

S КВ

S 2

S 1

S 3

=13,5 см 2

=20-2-2-2,5

А всегда ли Удобно Таким способом находить площади фигур? S 1 S 2 S 5 S 4 S S=S кв -S 1 -S 2 -S 3 -S 4 S 3 S=5 ∙ 5-½ ∙ 3∙1-½ ∙ 5∙1- ½∙2∙5 - ½∙1∙2-1∙1= S 1 S 5 S 4 S 3 S 2 S КВ =25-1,5-2,5-5-1-1 =13,5см 2

А всегда ли Удобно

Таким способом находить площади фигур?

S 1

S 2

S 5

S 4

S

S=S кв -S 1 -S 2 -S 3 -S 4

S 3

S=5 ∙ 5-½ ∙ 3∙1-½ ∙ 5∙1- ½∙2∙5 - ½∙1∙2-1∙1=

S 1

S 5

S 4

S 3

S 2

S КВ

=25-1,5-2,5-5-1-1

=13,5см 2

Формула Пика  Позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.  Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить до прямоугольника, квадрата …

Формула Пика

Позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить до прямоугольника, квадрата …

Биография Георг Александр Пик — австрийский  математик .   Дата рождения: 10 августа  1859 Место рождения: Дата смерти: 13 июля  1942  (82 года) Место смерти: Научная сфера: Место работы: Учёная степень: доктор философии (PhD)  по математике,   Учёное звание:

Биография

Георг Александр Пикавстрийский математик .  

Дата рождения:

10 августа 1859

Место рождения:

Дата смерти:

13 июля 1942 (82 года)

Место смерти:

Научная сфера:

Место работы:

Учёная степень:

доктор философии (PhD) по математике,

Учёное звание:

Формула Пика Определение:  Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые числа. Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна  где  В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а  Г  — количество целочисленных точек на границе многоугольника. Г – 1 B + 2

Формула Пика

Определение: Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые числа.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г  — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Г

1

B

+

2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна В + Г /2 − 1 В  — количество целочисленных точек внутри многоугольника  Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника. В=10 Г=7 S=10+7:2-1=12,5 см 2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В=10

Г=7

S=10+7:2-1=12,5 см 2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна В + Г /2 − 1 В  — количество целочисленных точек внутри многоугольника  Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника. В=11 Г=9 S=11+9:2-1=14,5 см 2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В=11

Г=9

S=11+9:2-1=14,5 см 2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна В + Г /2 − 1 В  — количество целочисленных точек внутри многоугольника  Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника. В=7 Г=4 S=7+4:2-1=8 см 2

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г   — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В=7

Г=4

S=7+4:2-1=8 см 2

Самостоятельная работа 1 1 способ: В=8 Г=7 S=8+7:2-1=10,5 см 2 2 способ: S=4 ∙ 5-½ ∙ 1 ∙ 1-½ ∙ 2 ∙ 3-½ ∙ 3 ∙ 4=10,5 см 2

Самостоятельная работа

1

1 способ:

В=8

Г=7

S=8+7:2-1=10,5 см 2

2 способ:

S=4 ∙ 5-½ ∙ 1 ∙ 1-½ ∙ 2 ∙ 3-½ ∙ 3 ∙ 4=10,5 см 2

Самостоятельная работа 2 1 способ: В=12 Г=10 S=12+10:2-1=16 см 2 2 способ: S=4 ∙ 4=16 см 2

Самостоятельная работа

2

1 способ:

В=12

Г=10

S=12+10:2-1=16 см 2

2 способ:

S=4 ∙ 4=16 см 2

Самостоятельная работа 3 1 способ: В=0 Г=8 S=0+8:2-1=3 см 2 2 способ: S=(½ ∙ 1 ∙ 3) ∙2 =3 см 2

Самостоятельная работа

3

1 способ:

В=0

Г=8

S=0+8:2-1=3 см 2

2 способ:

S=(½ ∙ 1 ∙ 3) ∙2 =3 см 2

Самостоятельная работа 4 1 способ: В=5 Г=4 S=5+4:2-1=6 см 2 2 способ: S=4 ∙ 5-½ ∙ 1 ∙ 3-½ ∙ 3 ∙ 5-½ ∙ 2 ∙ 4=6 см 2

Самостоятельная работа

4

1 способ:

В=5

Г=4

S=5+4:2-1=6 см 2

2 способ:

S=4 ∙ 5-½ ∙ 1 ∙ 3-½ ∙ 3 ∙ 5-½ ∙ 2 ∙ 4=6 см 2

Самостоятельная работа 5 1 способ: В=11 Г=4 S=11+4:2-1=12 см 2 2 способ: S=½ ∙ 4 ∙ 6=12 см 2

Самостоятельная работа

5

1 способ:

В=11

Г=4

S=11+4:2-1=12 см 2

2 способ:

S=½ ∙ 4 ∙ 6=12 см 2

Подведём итоги Самоанализ по полученным знаниям   1 Какие умения сформированы на уроке Знаю формулы площадей (тест) “ 5” 2 “ 4” 3   Применяю формулы при решении задач   Умею находить площади разных многоугольников “ 3” 4   Применяю Формулу Пика при решении задач     “ 2”                       Домашнее задание: на листочках Спасибо за урок

Подведём итоги

Самоанализ по полученным знаниям

 

1

Какие умения сформированы на уроке

Знаю формулы площадей (тест)

5”

2

4”

3

 

Применяю формулы при решении задач

 

Умею находить площади разных многоугольников

3”

4

 

Применяю Формулу Пика при решении задач

 

 

2”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Домашнее задание: на листочках

Спасибо за урок


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 8 класс

Автор: Берестова Алена Михайловна

Дата: 15.01.2015

Номер свидетельства: 156024

ПОЛУЧИТЕ БЕСПЛАТНО!!!
Личный сайт учителя
Получите в подарок сайт учителя


Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства