Разработка урока по геометрии в 8 классе "Взаимное расположение прямой и окружности"

8 класс Геометрия Дата_________

Урок №

" Взаимное расположение прямой и окружности.

Касательная к окружности"

Цели:

о бразовательные – добиться умения самостоятельно формулировать определения понятий: окружность, радиус, диаметр, хорда каждым учащимся, изучить возможности взаимного расположения прямой и окружности, ввести понятие касательной к окружности; рассмотреть свойство и признак касательной к окружности, а также отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки и их свойство;

развивающие – способствовать формированию приёмов критического мышления, анализа и синтеза; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли, задавать вопросы;

воспитательные – воспитывать коммуникативную культуру учащихся; способствовать приобретению опыта самостоятельной работы.

Т ип урока: изучение нового материала.

Ход урока

1.Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

Сформулируйте определения понятий: окружность, радиус, диаметр, хорда (Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, равноудаленных от точки О, которую называют центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности, называется радиусом. Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром и равна двум радиусам)

3. Мотивация урока.

В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность «устроена» одинаково, что позволяет ей как бы двигаться «по себе». На плоскости этим свойством обладает еще лишь прямая. Одно из интереснейших свойств круга состоит в том, что он при заданном периметре ограничивает максимальную площадь.

В русском языке слово «круглый» тоже стало означать высокую степень чего-либо: «круглый отличник», «круглый сирота» и даже «круглый дурак».

4.Изучение нового материала

С егодня мы выясним, сколько общих точек могут иметь окружность и прямая.

Если прямая p проходит через центр окружности, то, очевидно, она имеет с окружностью две общие точки.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда прямая p не проходит через центр окружности. Опустим на прямую перпендикуляр из центра окружности и обозначим его буквой d. Длина этого перпендикуляра – расстояние от центра окружности до данной прямой p.

Теперь давайте попробуем определить взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения d и радиуса окружности. Возможны три случая:

Первый случай. 

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. В таком случае, прямая называется секущей по отношению к окружности.

Второй случай.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

В таком случае, прямая называется касательной к окружности.

Третий случай.   

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Касательная к окружности. Рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности. А общая точка окружности и прямой называется точкой касания прямой и окружности.

Теорема (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Т еперь давайте рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках B и C. Отрезки AB и АС называются отрезками касательных, проведенными из точки А. Эти отрезки обладают следующим свойством:

Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

5 . Закрепление изученного материала

З адача. Радиус ОК окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Доказать, что касательная, проведенная через точку К, параллельна хорде АВ.

Доказательство.

  равнобедренный

 ОН - медиана и высота

Построим окружность, проведем хорду АB, проведем радиус ОК, который делит хорду АB пополам. Проведем касательную к окружности в точке К.

Проведем радиусы ОА и ОB и рассмотрим равнобедренный треугольник AOB. Поскольку ОК делит AB пополам, то часть этого отрезка OH будет являться медианой и высотой, то есть OH перпендикулярно AB. По свойству касательной, касательная, проведенная в точке К будет перпендикулярна ОК. Таким образом, мы получили две прямые, которые перпендикулярны радиусу ОК.

 и  

Что и требовалось доказать.

Задача. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите  .

Решение. Выполним чертеж.

 − равносторонний

 (по свойству отрезков касательной)

 (по свойству касательной)

 (по свойству углов равнобедренного треугольника)

Ответ: 

Задача. К окружности с радиусом 36 проведена касательная из точки А, удаленной от центра на расстояние, равное 85. Найти длину отрезка касательной от точки А до точки касания.

Решение. Сделаем чертеж.

Рассмотрим треугольник АОB.   (по свойству касательной)   (по теореме Пифагора)

; 

Ответ: 

Задача. Отрезки   и   являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки А. Найти  , если середина отрезка ОА  лежит на окружности.

Решение. Выполним чертеж.

,   (по свойству касательных)

 Рассмотрим треугольник ОАМ. По свойству касательной – это прямоугольный треугольник с катетом равным радиусу и гипотенузой, равной двум радиусам.

 и   (по свойству отрезков касательных) 

Ответ:

6.Рефлексия

7.Итог урока

8.Домашнее задание: выучить п.70-71, решить №631(а,в), 634, 642