Разработка урока по геометрии в 8 классе "Теорема о вписанном угле"

Геометрия, 8 класс Дата_______

Теорема о вписанном угле

В этом уроке мы выясним, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. А вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой. Также узнаем, что если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Ход урока

С прошлых уроков вы уже знакомы с понятиями дуга, полуокружность, центральный угол (это угол с вершиной в центре окружности).

Вы уже знаете, что градусная мера дуги, не большей полуокружности, равна градусной мере центрального угла, который опирается на данную дугу.

Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

В данном случае изображён вписанный угол ABC, вершина B лежит на окружности. Дуга AC находиться внутри данного вписанного угла. Говорят, что угол ABC опирается на дугу AC.

Теорема 1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство.

Рассмотрим три случая расположения луча BO относительно угла ABC.

Что и требовалось доказать.

З апишем следствия из данной теоремы.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность прямой.

Задача. По данным рисунка найдите 

Решение

Задача. Найдите величину  .

Если известно, что хорды   и CD окружности пересекаются в точке  ,

и градусная мера   равна  , а  —  .

Решение.

  Ответ:  .

А сейчас запишем ещё одну теорему.

Т еорема 2. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Задача. Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 48 см и 3 см,

а другая — пополам. Найдите длину второй хорды.

Решение.

Ответ:  .

Задача. Из точки, данной на окружности, проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.

Решение.

  (

Ответ:  .

Задача. Найти острый угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими,

равны   и  .

Решение.

Ответ:  .

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы познакомились с понятием вписанного угла. Научились находить его величину как половину градусной меры дуги, на которую он опирается.

Мы выяснили, что:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

А вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

А также сегодня вы узнали, что если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.