Обобщающий урок по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Филиал МАОУ Сорокинской СОШ №1 – Готопутовская средняя общеобразовательная школа

Геометрия. 10 класс. 21.02.2017

Учитель Ноговицина Е. Н.

Тема урока: Обобщающий урок по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Цели урока:

Образовательные: Повторить и систематизировать знания определений и теорем по данной теме и свойств геометрических фигур; усовершенствовать умения применять полученные знания к решению задач;

Развивающие: Развивать логическое мышление, пространственное воображение, внимания развивать навыки общения в малых группах;

Воспитательные: усовершенствовать умение диспутировать и аргументировать собственное

мнение.

Задачи урока:

1.Повторить определение перпендикулярных прямой и плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости; теоремы о трех перпендикулярах, признак перпендикулярности двух плоскостей и др.,

2.Способствовать формированию и совершенствованию навыков решения задач;

Оборудование: персональный компьютер, телевизор, карточки с заданием.

План урока

1. Орг. Момент

2. Мотивация учебной деятельности

Девизом нашего урока является высказывание: “Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг”. Я желаю, чтобы сегодняшний урок вызвал у вас только такие чувства. На уроках геометрии очень важно уметь, смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур. А это значит необходимо развивать и тренировать свое геометрическое зрение.

Сегодня мы заканчиваем изучение темы: «перпендикулярность прямых и плоскостей». Данная тема является базовой для изучения пространственных фигур. Знания темы находят широкое применение в строительстве и архитектуре.

Какие задачи поставим на сегодняшний урок? На какие вопросы нужно обратить особое внимание?

Результаты своей работы на уроке вы будете заносить в таблицу

Лист контроля

Название задания	Самооценка	Оценка учителя
Неоконченное предложение
Практическая работа
Теоритическая работа
Решение задач по плану
Решение задач (самостоятельная работа)
Общее кол-во баллов
Оценка

1. Активизация опорных знаний

А) Метод «Неоконченное предложение»

1. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если…

2. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…

3. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то…

4. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то…

5. Если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она…

6. Расстоянием от точки до плоскости называется…

7. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, …

8. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется…

9. Две пересекающие плоскости называются перпендикулярными, если…

10. Плоскости перпендикулярны, если одна из двух плоскостей проходит через прямую…

Дан параллелепипед

 Назовите:
11. рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC₁) (ответ: AD; A₁D₁; B₁C₁; BC) 
12. плоскости, перпендикулярные ребру BB₁ (ответ: (АВС); (A₁B₁C₁))

б) Определите взаимное расположение:
13. прямой CC₁ и плоскости (DСВ) (ответ: они перпендикулярны)
14. прямой D₁C₁ и плоскости (DCB) (ответ: они параллельны)

(взаимопроверка со слайда, выставление оценок)

1. Практическая работа

Построение сечений прямоугольного параллелепипеда Работа в парах).

Повторим правила построения сечений

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Карточка №1

Построить сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью проходящей через точки M, N, L.

Карточка №2

По­стро­ить се­че­ние прямоугольного па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью А₁В₁М_, где M принадлежит ребру DD₁ .

Карточка №3

Изоб­ра­зи­те па­рал­ле­ле­пи­пед АВСDА₁B₁C₁D₁ и от­меть­те точку М грани АА₁В₁В. По­строй­те се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да, про­хо­дя­щее через точку М па­рал­лель­но:

а) плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABCD

Карточка №4

Изоб­ра­зи­те па­рал­ле­ле­пи­пед АВСDА₁B₁C₁D₁ и от­меть­те точку М грани АА₁В₁В. По­строй­те се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да, про­хо­дя­щее через точку М па­рал­лель­но:

б) плос­ко­сти BDD₁.

Карточка №5

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка Е – середина ребра C₁D₁ . Постройте сечение параллелепипеда плоскость, проходящей через прямую AD и точку Е.

Карточка №6

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки Е, F, K – середины ребер AB₁, A₁D_1, AD соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е, F, K.

Карточка №7

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка R принадлежит ребру AA₁ и делит его в отношении 3 : 5, считая от вершины А.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B, R и D₁.

Решения к карточкам

№1

Построить сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью проходящей через точки M, N, L.

Решение:

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

.

MKNTPL - искомое сечение.

№2

По­стро­ить се­че­ние прямоугольного па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью А₁В₁М_, где M принадлежит ребру DD₁ .

Решение.

№3

Изоб­ра­зи­те па­рал­ле­ле­пи­пед АВСDА₁B₁C₁D₁ и от­меть­те точку М грани АА₁В₁В. По­строй­те се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да, про­хо­дя­щее через точку М па­рал­лель­но:

а) плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABCD

Решение.

а) За­ме­тим, что се­ку­щая плос­кость и плос­кость АВС пе­ре­се­ка­ют­ся тре­тьей плос­ко­стью АВВ₁. Зна­чит, линии пе­ре­се­че­ния па­рал­лель­ны. По­это­му через точку М про­ве­дем пря­мую М₁М₂ па­рал­лель­но АВ,  , . М₁М₂– это линия пе­ре­се­че­ния се­ку­щей плос­ко­сти и грани АВВ₁А₁.

Про­ве­дем пря­мую М₂М₃ па­рал­лель­но ВС,  .

Про­ве­дем пря­мую М₃М₄ па­рал­лель­но CD,  .

Со­еди­ним точки М₁ и М₄. М₁М₂М₃М₄ – ис­ко­мое се­че­ние.

 

№4

Изоб­ра­зи­те па­рал­ле­ле­пи­пед АВСDА₁B₁C₁D₁ и от­меть­те точку М грани АА₁В₁В. По­строй­те се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да, про­хо­дя­щее через точку М па­рал­лель­но:

б) плос­ко­сти BDD₁.

Решение.

б) Плос­кость BDD₁ и се­ку­щая плос­кость рас­се­ка­ют­ся тре­тьей плос­ко­стью АВВ₁ по па­рал­лель­ным пря­мым. По­это­му через точку М про­ве­дем пря­мую N₁N₂ па­рал­лель­но пря­мой ВВ₁, .

Про­ве­дем пря­мую N₂N₃ па­рал­лель­но ВD,  .

Про­ве­дем пря­мую N₁N₄ па­рал­лель­но B₁D₁,  .

Со­еди­ним точки N₃ и N₄. N₁N₂N₃N₄ – ис­ко­мое се­че­ние.

№5

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка Е – середина ребра C₁D₁ . Постройте сечение параллелепипеда плоскость, проходящей через прямую AD и точку Е.

Решение.

№6

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки Е, F, K – середины ребер AB₁, A₁D_1, AD соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е, F, K.

Решение.

№7

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка R принадлежит ребру AA₁ и делит его в отношении 3 : 5, считая от вершины А.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B, R и D₁.

Решение.

1. Теоретическая работа

Задания на установления последовательности в доказательстве теорем.

Работа в группах: I группа - Теорема о двух плоскостях, одна из которых проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости.

(ответ: 6,7,3,5,4,2,1,8)

II группа - Теорема о свойстве граней прямоугольного параллелепипеда

(ответ:4,3,1,2)

III группа - Теорема о свойстве квадрата диагонали прямоугольного параллелепипеда

(ответ:4,1,5,2,3,7,6)

IV группа -Теорема о трёх перпендикулярах.

(ответ:2,1,5,3,4)

Самопроверка в группах по приготовленным ключам.

VI. Решение задач.

Работа в парах

Решение задач по плану

1. Через точку пересечения диагоналей квадрата АВСД точку О проведен к его плоскости перпендикуляр ОК, равный 16см. Вычислите расстояние от точки К до вершин квадрата, если АВ = 12см.

План решения

№ 1 1)Докажи, что АОК = ВОК = СОК = ДОК = 90º (Если прямая плоскости, то...)

2)Докажи, что АОК = ВОК = СОК = ДОК

3) Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: АК = ВК = СК = ДК, значит достаточно найти длину одной из них.

4) Рассмотрим АОВ - …, по теореме Пифагора имеем АС=

4)Рассмотрим АОК. По теореме Пифагора имеем:…

Ответ: 20см.

2. В треугольнике МРК угол Р прямой. Через вершину К проведен к его плоскости перпендикуляр КС. Найдите расстояние от точки С до вершин треугольника и до прямой МР, если МК = 20см, МР = 12см, КС = 16см.

План решения

№ 2.1)Расстоянием от точки С до прямой МР будет отрезок СР, потому что СРРМ. Докажем это:…

2)РК найдем по теореме Пифагора из РМК:…

3)РС найдем по теореме Пифагора из РСК:…

4)МС найдем по теореме Пифагора из СМК:…

Ответ: 16см; 4см

3. Отрезок, длина которого равна 17см, не имеет общих точек с плоскостью . Найдите длину его проекции на эту плоскость, если концы отрезка удалены от плоскости на 10см и 18см.

План решения

№ 3. Разбейте трапецию на треугольник и прямоугольник. Примените теорему Пифагора, вычислив недостающие элементы.

Ответ: 15 см.

4.Точка К удалена от каждой вершины прямоугольника на 17см. Вычислите расстояние от точки К до его плоскости, если стороны равны 9см и 5см.

План решения

№ 4 1) По теореме Пифагора найди длину диагонали

2) Найди половину диагонали (почему?)

3) По теореме Пифагора найди высоту КО (почему?)

Ответ: 15смс

Решение задач без плана решения.

1.Точка S одинаково удалена от всех вершин квадрата АВСD. АS = 30см. Расстояние от точки S до плоскости квадрата АВСD равна 24см. Найдите сторону квадрата.

Ответ: 18см

2.Из вершины правильного треугольника АВС восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника АМ, АМ = 4см. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если АВ=5см.

1.Точка R одинаково удалена от всех сторон ромба на расстоянии 25см. Найти расстояние от точки R до плоскости ромба, если его сторона равна 60см, а острый угол равен 30⁰.

2.Из вершины прямоугольника АВСD восстановлен перпендикуляр к его плоскости АМ. Найти расстояние от точки М до плоскости прямоугольника, если расстояние от точки М до стороны ВС равно 15см, а его диагональ равна 8см и составляет с большей стороной угол 30⁰.

Ответ: см

1.Точка О одинаково удалена от всех вершин квадрата и находится на расстоянии 12м от плоскости квадрата. Найти расстояние от точки О до вершин квадрата, если сторона квадрата равна 10см.

Ответ: см

2.Точка F удалена от всех сторон ромба на расстоянии 25см. Найти расстояние от точки F до плоскости ромба, если его сторона равна 60см, а острый угол равен 30⁰.

1. Самостоятельная работа

1 Вариант

1. Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=4, AD=6, AA₁=5

2. Найдите расстояние между вершинами B и D прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=6, AD=8, AA₁=3

2 Вариант

1. Найдите расстояние между вершинами B и D прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5, AD=12, AA₁=5

2. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и B₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=7, AD=7, AA₁=4

VII. Итог урока.

1. Выставление оценок в лист самооценки

2. Подведение личных результатов работы

VIII. Домашнее задание.

Т Е С Т

по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей» 10 класс.

1.Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой , то как расположена вторая прямая по отношению к третьей ?

а) параллельна б) перпендикулярна

в) скрещивается г) совпадают

2.Если две прямые перпендикулярны к плоскости , то как они расположены по отношению друг к другу ?

а) параллельны б) перпендикулярны

в) скрещиваются г) пересекаются

3.Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым , лежащим в плоскости , то как расположена эта прямая по отношению к плоскости ?

а) параллельна плоскости б) перпендикулярна к плоскости

в) лежит в плоскости

4.Прямая а параллельна плоскости α , а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Как расположены прямые а и b ?

а) параллельны б) перпендикулярны

в) скрещиваются г) совпадают

5.Сколько прямых , перпендикулярных к данной плоскости проходит через данную точку пространства ?

а) одна б) две

в) ни одной г) бесконечное множество

6.Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости , то как расположены такие плоскости ?

а) параллельны б) перпендикулярны

в) скрещиваются г) совпадают

7.Сколько двугранных углов имеет параллелепипед ?

а) четыре б) восемь

в) десять г) двенадцать

8.Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости . Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости ?

а) параллельна плоскости б) перпендикулярна к плоскости

в) лежит в плоскости г) пересекает плоскость

9.Каждая из плоскостей α и β перпендикулярна к плоскости γ . Каково взаимное расположение плоскостей α и β ?

а) параллельны б) перпендикулярны

в) совпадают г) скрещиваются

10.Что больше: перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости или наклонная проведенная из той же точки к этой плоскости ?

а) перпендикуляр б) наклонная

в) они равны