Конспект урока по геометрии в 10 классе «РЕШЕНИЕ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМАМ «ПРИЗМА» И «ПИРАМИДА»

Тарханова Юлия Николаевна,

учитель математики

высшей категории

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Ковернинского муниципального района Нижегородской области

«Ковернинская средняя школа №1»

«РЕШЕНИе КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМАМ

«пРИЗМА» И «ПИРАМИДА»

Конспект урока по геометрии в 10 классе

УЧЕБНАЯ ЗАДАЧА:

1. Закрепить умения в нахождении проекции вершины (одной из вершин верхнего основания) пирамиды (призмы) на плоскость основания.

2. Открыть совместно с учениками формулу нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы по аналогии с нахождением площади боковой поверхности прямой призмы.

ДИАГНОСТИРУЕМЫЕ ЦЕЛИ:

По окончании урока ученик

знает:

• Равносильные свойства пирамиды (призмы), у которой вершина (одна из вершин верхнего основания) проектируется ортогонально на плоскость (нижнего) основания:

• в точку, лежащую на серединном перпендикуляре к одному из рёбер основания;

• в центр описанной окружности основания;

• в точку, лежащую на биссектрисе одного из углов многоугольника - основания;

• в центр вписанной (или вневписанной) окружности основания;

• в точку, лежащую на прямой, содержащей сторону основания;

• в вершину основания или в точку пересечения прямых, содержащих две несмежные стороны основания;

• Формулу нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы, если известно боковое ребро призмы и периметр перпендикулярного сечения.

• Различные варианты построения высот параллелограмма.

умеет:

• Находить выделенные выше случаи ортогональной проекции вершин пирамиды (призмы) на плоскость основания при решении задач.

• Находить площадь наклонной призмы, зная боковое ребро призмы и периметр перпендикулярного сечения.

понимает:

• Способ получения формулы нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы через боковое ребро и периметр перпендикулярного сечения.

• Важность знания свойств проекции вершины пирамиды (призмы) на плоскость основания.

ХОД УРОКА

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1. Актуализация

В начале урока к доске вызываются два ученика для проверки домашнего задания. На дом были заданы номера №№ 227, 252. Пока ученики оформляют задачи на доске, в классе идет групповая работа.

Приведем оформление решения задач, заданных на дом.

№ 227.

Основание призмы – правильный треугольник ABC. Боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB. Докажите, что: а) BC AA₁; б) CC₁B₁B – прямоугольник.

A₁ C₁

B₁

P

A C

K

B

ДАНО:

ABCA₁B₁C₁ – призма;

Боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB.

ДОКАЗАТЬ:

а) BC AA₁;

б) CC₁B₁B – прямоугольник.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

В плоскости ABC проведем медиану AK, AK BC.

Проведем отрезки A₁B, A₁C, A₁K.

1 способ

а)

AB = AC (по условию);

A₁AC = A₁AB; A₁AC = A₁AB;

AA₁ – общая;

A₁B = A₁C A₁BC – равнобедренный (по определению);

A₁K – медиана A₁K BC (по свойству медианы равнобедренного треугольника);

BC A₁K;

BC A₁K; BC A₁A (по свойству перпендикулярности прямой и плоскости);

BC A₁KA;

2 способ

A₁AC = A₁AB (по условию); проекция точки A₁ – точка P принадлежит дополнительному лучу к биссектрисе угла CAB.

A₁P AP;

A₁A – наклонная; BC A₁A (по теореме о трех перпендикулярах);

PABC;

PA –проекция наклонной A₁A;

б)

CC₁B₁B – параллелограмм;

BC A₁A; BC B₁B, BC C₁C (по лемме перпендикулярности одной из двух параллельных прямых к третьей прямой);

A₁A || B₁B || C₁C;

BC|| B₁C₁ B₁C₁B₁B, B₁C₁ C₁C;

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, есть прямоугольник, CC₁B₁B – прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

№ 252.

Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=АС, ВС=6см, высота АН=9см. Известно также, что DA=DB=DC=13см. Найдите высоту пирамиды.

ДАНО:

DABC – пирамида;

АВС – равнобедр. треугольник

АВ=АС, ВС=6см, АН=9см

АН высота,

DA=DB=DC=13см

НАЙТИ:

АН

РЕШЕНИЕ:

Пусть DO — высота пирамиды, DO ABC.

Построим отрезки ОА, ОВ и ОС. Т.к. равные наклонные имеют равные проекции, то OA=OB=OC=R, где R-радиус описанной около АВС окруж­ности. АH - высота в равнобедренном АВС, а также - медиана и биссектри­са, потому СH=HВ=3 см.

Из АНС по т. Пифагора имеем:

Используя формулу R =, получим:

R=OC==5cм

Из DOC по т. Пифагора имеем: DO==12см

Ответ: 12см.

II. Операционно-познавательная часть.

Учитель классу предлагает следующие задачи (каждой паре дается список задач и время на их обдумывание):

1. Дана треугольная пирамида, у которой два боковых ребра равны. В основании лежит правильный треугольник. Постройте углы, образованные боковыми ребрами пирамиды, и плоскостью основания.

2. Дана четырехугольная пирамида, боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды?

3. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник со сторонами 12, 5, 13. Все боковые ребра данной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Постройте изображение пирамиды.

В течение 5 минут ребята обдумывают решение предложенных задач. В случае возникновения вопросов у учащихся учитель может помочь.

Затем начинается работа со всем классом.

- О чем говориться в первой задаче, Петя? (Дана треугольная призма, у которой равны два боковых ребра. Нужно построить угол, образованный одним из этих боковых ребер пирамиды, и плоскостью основания).

- У кого есть идеи по решению задачи?

Если в классе не нашлось учеников, знающих решение, то учитель организует поиск решения совместно с учениками.

На доске появляется рисунок:

S

A О С

В

- Что называется углом между прямой и плоскостью? (Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость).

- Что необходимо построить, чтобы найти этот угол? (Проекцию данной прямой на плоскость основания).

- Назовите проекцию точки С на плоскость основания. (Точка С)

- Назовите проекцию точки S на плоскость основания. (Точка О, где точка О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне ВС – по свойству проекции вершины пирамиды, у которой два боковых ребра равны).

- Назовите угол между ребрами SC, SB, SA и плоскостью основания АВС. (Углы SСО, SBO, SAO).

- Что помогло нам построить данные углы? (Свойство проекции вершины пирамиды, у которой два боковых ребра равны, определение угла между прямой и плоскостью).

- Каким равносильным условием можно заменить условие равенства боковых ребер, чтобы проекция вершины пирамиды принадлежала серединному перпендикуляру к стороне ВС? (Равенство углов между данными ребрами и плоскостью основания или высотой пирамиды).

Дается несколько минут для фиксирования данной задачи учениками в тетради.

- Какие еще свойства проекции вершины пирамиды мы знаем?

С учениками вспоминаются равносильные свойства пирамиды (призмы), у которой вершина (одна из вершин верхнего основания) проектируется ортогонально на плоскость (нижнего) основания. Ученики отвечают:

1. Если боковые ребра равнонаклонены или образуют равные углы с плоскостью основания, или с высотой пирамиды, тогда вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания;

2. Если боковое ребро образует равные углы со смежными ребрами основания или смежные боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, или высоты в этих граней образуют с высотой пирамиды равные углы, то вершина пирамиды проектируется в точку, лежащую на биссектрисе одного из углов многоугольника - основания;

3. Если боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности основания;

4. Если одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в точку, лежащую на прямой, содержащей сторону основания;

5. Если две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в вершину основания или в точку пересечения прямых, содержащих две несмежные стороны основания.

Ученики вспоминают эти свойства с использованием таблицы, заполненной ими на предыдущем уроке-семинаре по этой теме.

Переходим к обсуждению решения следующей задачи.

- О чем говориться в этой задаче, Маша? (Дана четырехугольная призма, у которой все боковые грани наклонены под равными углами к плоскости основания. Нужно выяснить, какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды).

- В чем идея решения этой задачи? (Основная идея решения этой задачи состоит в том, чтобы найти проекцию вершины пирамиды и делаем вывод о том, что вершина пирамиды совпадает с центр вписанной окружности).

- В какой четырехугольник можно вписать окружность? (В четырехугольник, сумма противоположных сторон которого равны).

- Назовите известные четырехугольники, удовлетворяющие этому свойству. (Квадрат, ромб и другие произвольные четырехугольники, удовлетворяющее этому свойству).

- Прочитайте третью задачу. (Ученики читают).

- Что необходимо знать, чтобы правильно построить изображение пирамиды? (Проекция вершины данной пирамиды на плоскость основания).

- Понятно ли из условия задачи, куда проектируется вершина данной пирамиды? (Так как все боковые ребра данной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания, то вершина проектируется в центр описанной окружности).

- Какого вида треугольник может лежать в основании пирамиды? (В данном случае в основании лежит прямоугольный треугольник по обратной теореме Пифагора, поэтому в основании могут лежать любые прямоугольные треугольники).

- Приведите примеры других прямоугольных треугольников? (Треугольник со сторонами 3, 4,5)

- Сделайте вывод о проекции вершины пирамиды на плоскость основания? (В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы).

- Постройте изображение пирамиды.

Ученики делают рисунок

S

A`` O B

C

Где O – проекция вершины пирамиды на плоскость основания.

Учащиеся делают рисунок в тетрадях и краткую запись.

На основе данной задачи существует возможность составления новых задач.

- Измените условия задачи так, чтобы идея решения осталась та же.

(Можно рассмотреть треугольник со сторонами 3, 4, 5).

III. Рефлексивно-оценочная часть.

Возвращаемся к домашнему заданию.

- Рассмотрим домашнюю задачу № 252. (Ученик рассказывает решение).

- Выделите теоретический базис решения этой задачи? (Свойство проекции вершины пирамиды на плоскость основания при равных боковых ребрах, свойство проекций наклонных: равные наклонные имеют равные проекции, формула радиуса описанной окружности через стороны и площадь треугольника).

- Могли мы раньше решить данную задачу? (Нет, т.к. мы не знали ранее свойства проекции вершин пирамиды на плоскость основания).

Тем самым снова подчеркивается важность этих свойств.

Подводятся итоги уроки с помощью эвристической беседы, выдаётся домашнее задание.

Литература

1. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразов. учреждений / Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. – М.: Просвещение, 2014.

2. Прасолов, В.В. Задачи по стереометрии./ Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф./ - М.: Наука, 1989, 288с.

3. Выпуклые многогранники. – Горький: Изд-во ГПИ им. М.Горького, 1990, 43с.

10