kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Конспект урока по геометрии в 10 классе «РЕШЕНИЕ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМАМ «ПРИЗМА» И «ПИРАМИДА»

Нажмите, чтобы узнать подробности

Целью данного урока является закрепление умения решения задач на многогранники призма и пирамида.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по геометрии в 10 классе «РЕШЕНИЕ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМАМ «ПРИЗМА» И «ПИРАМИДА»»

Тарханова Юлия Николаевна,

учитель математики

высшей категории

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Ковернинского муниципального района Нижегородской области

«Ковернинская средняя школа №1»



«РЕШЕНИе КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМАМ

«пРИЗМА» И «ПИРАМИДА»

Конспект урока по геометрии в 10 классе


УЧЕБНАЯ ЗАДАЧА:

  1. Закрепить умения в нахождении проекции вершины (одной из вершин верхнего основания) пирамиды (призмы) на плоскость основания.

  2. Открыть совместно с учениками формулу нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы по аналогии с нахождением площади боковой поверхности прямой призмы.


ДИАГНОСТИРУЕМЫЕ ЦЕЛИ:

По окончании урока ученик

знает:

  • Равносильные свойства пирамиды (призмы), у которой вершина (одна из вершин верхнего основания) проектируется ортогонально на плоскость (нижнего) основания:

  • в точку, лежащую на серединном перпендикуляре к одному из рёбер основания;

  • в центр описанной окружности основания;

  • в точку, лежащую на биссектрисе одного из углов многоугольника - основания;

  • в центр вписанной (или вневписанной) окружности основания;

  • в точку, лежащую на прямой, содержащей сторону основания;

  • в вершину основания или в точку пересечения прямых, содержащих две несмежные стороны основания;

  • Формулу нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы, если известно боковое ребро призмы и периметр перпендикулярного сечения.

  • Различные варианты построения высот параллелограмма.


умеет:

  • Находить выделенные выше случаи ортогональной проекции вершин пирамиды (призмы) на плоскость основания при решении задач.

  • Находить площадь наклонной призмы, зная боковое ребро призмы и периметр перпендикулярного сечения.


понимает:

  • Способ получения формулы нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы через боковое ребро и периметр перпендикулярного сечения.

  • Важность знания свойств проекции вершины пирамиды (призмы) на плоскость основания.


ХОД УРОКА


I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1. Актуализация

В начале урока к доске вызываются два ученика для проверки домашнего задания. На дом были заданы номера №№ 227, 252. Пока ученики оформляют задачи на доске, в классе идет групповая работа.

Приведем оформление решения задач, заданных на дом.

227.

Основание призмы – правильный треугольник ABC. Боковое ребро AA1 образует равные углы со сторонами основания AC и AB. Докажите, что: а) BC AA1; б) CC1B1B – прямоугольник.

A1 C1

B1

P

A C

K

B

ДАНО:

ABCA1B1C1 – призма;

Боковое ребро AA1 образует равные углы со сторонами основания AC и AB.

ДОКАЗАТЬ:

а) BC AA1;

б) CC1B1B – прямоугольник.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

В плоскости ABC проведем медиану AK, AK BC.

Проведем отрезки A1B, A1C, A1K.



1 способ

а)

AB = AC (по условию);

A1AC = A1AB; A1AC = A1AB;

AA1 – общая;


A1B = A1C A1BC – равнобедренный (по определению);

A1K – медиана A1K BC (по свойству медианы равнобедренного треугольника);


BC A1K;

BC A1K; BC A1A (по свойству перпендикулярности прямой и плоскости);


BC A1KA;

2 способ

A1AC = A1AB (по условию); проекция точки A1 – точка P принадлежит дополнительному лучу к биссектрисе угла CAB.

A1P AP;

A1A – наклонная; BC A1A (по теореме о трех перпендикулярах);

PABC;

PA –проекция наклонной A1A;

б)

CC1B1B – параллелограмм;

BC A1A; BC B1B, BC C1C (по лемме перпендикулярности одной из двух параллельных прямых к третьей прямой);

A1A || B1B || C1C;

BC|| B1C1 B1C1B1B, B1C1 C1C;

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, есть прямоугольник, CC1B1B – прямоугольник.

Что и требовалось доказать.


№ 252.

Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=АС, ВС=6см, высота АН=9см. Известно также, что DA=DB=DC=13см. Найдите высоту пирамиды.

ДАНО:

DABC – пирамида;

АВС – равнобедр. треугольник

АВ=АС, ВС=6см, АН=9см

АН высота,

DA=DB=DC=13см

НАЙТИ:

АН

РЕШЕНИЕ:


Пусть DOвысота пирамиды, DO ABC.

Построим отрезки ОА, ОВ и ОС. Т.к. равные наклонные имеют равные проекции, то OA=OB=OC=R, где R-радиус описанной около АВС окруж­ности. АH - высота в равнобедренном АВС, а также - медиана и биссектри­са, потому СH=HВ=3 см.

Из АНС по т. Пифагора имеем:

Используя формулу R =, получим:

R=OC==5cм

Из DOC по т. Пифагора имеем: DO==12см

Ответ: 12см.


II. Операционно-познавательная часть.

Учитель классу предлагает следующие задачи (каждой паре дается список задач и время на их обдумывание):

1. Дана треугольная пирамида, у которой два боковых ребра равны. В основании лежит правильный треугольник. Постройте углы, образованные боковыми ребрами пирамиды, и плоскостью основания.

2. Дана четырехугольная пирамида, боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды?

3. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник со сторонами 12, 5, 13. Все боковые ребра данной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Постройте изображение пирамиды.

В течение 5 минут ребята обдумывают решение предложенных задач. В случае возникновения вопросов у учащихся учитель может помочь.

Затем начинается работа со всем классом.

- О чем говориться в первой задаче, Петя? (Дана треугольная призма, у которой равны два боковых ребра. Нужно построить угол, образованный одним из этих боковых ребер пирамиды, и плоскостью основания).

- У кого есть идеи по решению задачи?

Если в классе не нашлось учеников, знающих решение, то учитель организует поиск решения совместно с учениками.

На доске появляется рисунок:

S



A О С

В

- Что называется углом между прямой и плоскостью? (Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость).

- Что необходимо построить, чтобы найти этот угол? (Проекцию данной прямой на плоскость основания).

- Назовите проекцию точки С на плоскость основания. (Точка С)

- Назовите проекцию точки S на плоскость основания. (Точка О, где точка О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне ВС – по свойству проекции вершины пирамиды, у которой два боковых ребра равны).

- Назовите угол между ребрами SC, SB, SA и плоскостью основания АВС. (Углы SСО, SBO, SAO).

- Что помогло нам построить данные углы? (Свойство проекции вершины пирамиды, у которой два боковых ребра равны, определение угла между прямой и плоскостью).

- Каким равносильным условием можно заменить условие равенства боковых ребер, чтобы проекция вершины пирамиды принадлежала серединному перпендикуляру к стороне ВС? (Равенство углов между данными ребрами и плоскостью основания или высотой пирамиды).

Дается несколько минут для фиксирования данной задачи учениками в тетради.

- Какие еще свойства проекции вершины пирамиды мы знаем?

С учениками вспоминаются равносильные свойства пирамиды (призмы), у которой вершина (одна из вершин верхнего основания) проектируется ортогонально на плоскость (нижнего) основания. Ученики отвечают:

1. Если боковые ребра равнонаклонены или образуют равные углы с плоскостью основания, или с высотой пирамиды, тогда вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания;

2. Если боковое ребро образует равные углы со смежными ребрами основания или смежные боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, или высоты в этих граней образуют с высотой пирамиды равные углы, то вершина пирамиды проектируется в точку, лежащую на биссектрисе одного из углов многоугольника - основания;

3. Если боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности основания;

4. Если одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в точку, лежащую на прямой, содержащей сторону основания;

5. Если две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в вершину основания или в точку пересечения прямых, содержащих две несмежные стороны основания.

Ученики вспоминают эти свойства с использованием таблицы, заполненной ими на предыдущем уроке-семинаре по этой теме.


Переходим к обсуждению решения следующей задачи.

- О чем говориться в этой задаче, Маша? (Дана четырехугольная призма, у которой все боковые грани наклонены под равными углами к плоскости основания. Нужно выяснить, какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды).

- В чем идея решения этой задачи? (Основная идея решения этой задачи состоит в том, чтобы найти проекцию вершины пирамиды и делаем вывод о том, что вершина пирамиды совпадает с центр вписанной окружности).

- В какой четырехугольник можно вписать окружность? (В четырехугольник, сумма противоположных сторон которого равны).

- Назовите известные четырехугольники, удовлетворяющие этому свойству. (Квадрат, ромб и другие произвольные четырехугольники, удовлетворяющее этому свойству).

- Прочитайте третью задачу. (Ученики читают).

- Что необходимо знать, чтобы правильно построить изображение пирамиды? (Проекция вершины данной пирамиды на плоскость основания).

- Понятно ли из условия задачи, куда проектируется вершина данной пирамиды? (Так как все боковые ребра данной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания, то вершина проектируется в центр описанной окружности).

- Какого вида треугольник может лежать в основании пирамиды? (В данном случае в основании лежит прямоугольный треугольник по обратной теореме Пифагора, поэтому в основании могут лежать любые прямоугольные треугольники).

- Приведите примеры других прямоугольных треугольников? (Треугольник со сторонами 3, 4,5)

- Сделайте вывод о проекции вершины пирамиды на плоскость основания? (В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы).

- Постройте изображение пирамиды.

Ученики делают рисунок

S




A`` O B

C

Где O – проекция вершины пирамиды на плоскость основания.

Учащиеся делают рисунок в тетрадях и краткую запись.

На основе данной задачи существует возможность составления новых задач.

- Измените условия задачи так, чтобы идея решения осталась та же.

(Можно рассмотреть треугольник со сторонами 3, 4, 5).

III. Рефлексивно-оценочная часть.

Возвращаемся к домашнему заданию.

- Рассмотрим домашнюю задачу № 252. (Ученик рассказывает решение).

- Выделите теоретический базис решения этой задачи? (Свойство проекции вершины пирамиды на плоскость основания при равных боковых ребрах, свойство проекций наклонных: равные наклонные имеют равные проекции, формула радиуса описанной окружности через стороны и площадь треугольника).

- Могли мы раньше решить данную задачу? (Нет, т.к. мы не знали ранее свойства проекции вершин пирамиды на плоскость основания).

Тем самым снова подчеркивается важность этих свойств.

Подводятся итоги уроки с помощью эвристической беседы, выдаётся домашнее задание.

Литература

  1. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразов. учреждений / Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. – М.: Просвещение, 2014.

  2. Прасолов, В.В. Задачи по стереометрии./ Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф./ - М.: Наука, 1989, 288с.

  3. Выпуклые многогранники. – Горький: Изд-во ГПИ им. М.Горького, 1990, 43с.



10




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Геометрия

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 10 класс

Автор: Тарханова Юлия Николаевна

Дата: 09.07.2019

Номер свидетельства: 516553

Похожие файлы

object(ArrayObject)#850 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(114) "Конспект урока.Параллелепипед. Призма .Пирамида. Закрепление. "
    ["seo_title"] => string(64) "konspiekt-uroka-parallieliepipied-prizma-piramida-zakrieplieniie"
    ["file_id"] => string(6) "108526"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1403721585"
  }
}
object(ArrayObject)#872 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(138) "Разработка урока по теме: "Цилиндр, его определение, элементы и их свойства" "
    ["seo_title"] => string(83) "razrabotka-uroka-po-tiemie-tsilindr-iegho-opriedielieniie-eliemienty-i-ikh-svoistva"
    ["file_id"] => string(6) "137825"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1417438466"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства