Теорема Пифагора 8 класс геометрия

Теорема Пифагора

Содержание

• О Пифагоре.
• Из истории теоремы.
• Доказательство теоремы.
• Закрепление материала.
• Решение старинных задач.

Что известно о Пифагоре

• В VI веке до н.э. в Древней Греции жил ученый Пифагор родом из Самоса.
• В молодости он много путешествовал по странам Востока, побывал в Египте и Вавилоне, где изучал разные науки, в том числе математику .
• Вернувшись на родину, Пифагор основал философскую школу закрытого типа- Пифагорейский союз . Каждый вступающий в него отрекался от имущества и давал клятву хранить в тайне учение основателя.
• Пифагорейцы занимались математикой, философией , естественными науками. Ими были сделаны важные открытия в арифметике и геометрии.
• В школе существовало правило , по которому авторство работ присваивалось Пифагору . Так что неизвестно , какие открытия принадлежат самому учёному.

Из истории теоремы

• « Площадь квадрата , построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах », или в виде задачи: «Доказать, что квадрат , построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов , построенных на катетах : S=S 1 +S 2 » - так формулировали теорему во времена Пифагора

S

S 1

S 2

Из истории теоремы

Долгое время считалось , что до Пифагора эта теорема не была известна.

В настоящее время установлено, что она встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора! Вероятно тогда теорема ещё не была доказана, а соотношение между катетами и гипотенузой было получено опытным путём.

Была она известна и древним китайцам, и индусам.

Таким образом, Пифагор не открыл замечательное свойство прямоугольного треугольника, но, вероятно, первым обобщил и доказал его , перенеся таким самым из области практики в область науки. К сожалению, сведения о доказательстве до нес не дошли.

Из истории теоремы

• Сегодня известно более ста различных доказательств теоремы Пифагора
• Вероятно соотношение между катетами и гипотенузой первоначально было установлено для равнобедренного прямоугольного треугольника .

а

b

c

• По рисунку видим, что квадрат , построенный на его гипотенузе , разбивается диагоналями на четыре равных треугольника , а квадраты , построенные на катетах , содержат по два таких же треугольника . Замечаем, что площадь большого квадрата равна сумме площадей малых квадратов

Из истории теоремы

• Учащиеся средних веков считали доказательство теоремы очень трудным и прозвали его «ослиным мостом» или «бегством убогих», так как слабые ученики бежали от геометрии, а те, кто заучивал теоремы наизусть , без понимания, были не в состоянии осилить теорему Пифагора: она служила для них чем-то вроде непреодолимого моста.

• Из-за иллюстрирующих теорему чертежей учащиеся называли её также «ветряной мельницей», рисовали забавные карикатуры и придумывали стишки:
• «Пифагоровы штаны

Во все стороны равны»

Из истории теоремы

• Теорема Пифагора занимает в геометрии особое место.
• На её основе можно вывести или доказать большинство теорем.
• А ещё она замечательна тем, что сама по себе вовсе не очевидна .
• Сколько не рассматривай прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны а, b , с связывает простое соотношение

с

а

b

а ² + b ²= с²

Доказательство теоремы

• Доказательство: рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с .
• Докажем, что

• Достроим треугольник до квадрата со стороной а+ b

b

c

а

с 2 =a 2 +b 2

Дополнительные построения

Доказательство теоремы

b

а

• Площадь S этого квадрата равна (а+ b ) 2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников , площадь каждого из которых равна ½ а · b и квадрата со стороной с (его площадь равна с 2 ), поэтому
• S =4 · ½ а b +с 2 =2а b +с 2 ,

Таким образом,

• (а + b ) 2 =2а b +с 2 ,

Откуда

• с 2 =a 2 +b 2

Теорема доказана.

а

с

b

с

b

с

с

а

а

b

Закрепление материала.

13

С

Вычислите, если возможно:

• Сторону АС треугольника АВС

• сторону MN треугольника KMN

2

В

А

1

Ответ: √5

12

К

N

М

Ответ: 5

Закрепление материала

С

D

Вычислите, если возможно:

• диагональ ВD квадрата BCDF
• сторону КР треугольника КР R

1

F

В

Ответ: √2

Р

К

5

Ответ: сторону треугольника вычислить

нельзя т.к.неясно, какой вид имеет треугольник.

3

R

Закрепление материала

В

С

• Найдите сторону CD параллелограмма АВСD

Ответ:4 √2

• Вычислите высоту CF трапеции ABCD

45˚

4

D

Н

А

В

С

30 ˚

2

Ответ:√3

А

К

F

D

Задача из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.

• Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены omcmoятu имать .

Решение

• Р е ш е н и e. Треугольник АВС - прямоугольный
• Пусть ВС = х стоп, тогда по теореме Пифaгopa АС 2 + СВ 2 =АВ 2 ,
• 117 2 + x 2 = 125 2 ;
• х 2 = 125 2 - 117 2 ,
• х 2 = (125- 117)(125 + 117),
• х 2 =8 · 242, х =44.
• О т в е т: 44 стопы

А

117

125

С

В

Задача Бхаскары (индийского математика XII в.)

• На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал... Бедный тополь упал. И угол прямой C теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, Осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота

Решение

• Пусть, АВ- высота тополя, тогда АВ=АС+С D. Найдём С D . Треугольник А С D- прямоугольный. По теореме Пифагора С D ² =АС ² +АD ² ,

С D ² =3 ² +4 ² , откуда С D = 5 футов. Значит, АВ=3+5=8 футов

Из древнеиндийского трактата

• Над озером тихим, C полфута размером, высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его ранней весной B двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока?

½

2

С

В

А

Решение

• Треугольник АВС – прямоугольный АВ = АС+ ½ Тогда по теореме Пифагора AB 2 = AC 2 +CB 2 , ( АС + ½ ) 2 = АС 2 +2 2 , АС = 3 ¾ фута.

½

2

С

В

А

Ответ: 3 ¾ фута .