"Признаки равенства прямоугольных треугольников"

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Задачи урока

• Выяснить, по каким элементам можно установить равенство прямоугольных треугольников?

• Доказать признаки равенства

прямоугольных треугольников.

• Создать схемы « Признаки равенства прямоугольных треугольников ».

• Научиться применять признаки равенства прямоугольных треугольников при решении задач.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам .

А

А 1

С 1

В 1

В

С

(по условию задачи)

АС = А 1 С 1

ВС = В 1 С 1

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого,

то такие треугольники равны.

(по условию задачи)

ﮮ С = ﮮ С 1

(по определению прямоугольного треугольника)

∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1 ,

по двум сторонам и углу между ними

(по двум катетам)

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему к нему острому углу.

А

А 1

В 1

В

С

С 1

СВ = С 1 В 1

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого ,

то такие треугольники равны.

По стороне и двум прилежащим к ней углам

По катету и прилежащему

к нему острому углу.

ﮮ В = ﮮ В 1

∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1

ﮮ С = ﮮ С 1

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

А 1

А

В 1

В

С 1

С

АВ = А 1 В 1

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого , то такие треугольники равны

по условию

ﮮ А = ﮮ А 1

по свойству суммы острых углов в

прямоугольном треугольнике

ﮮ В = ﮮ В 1

∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1

по стороне и двум прилежащим

к ней углам

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

А

(А 1 )

3. Если вершины В и В 1 не совместятся, то получим треугольник АВВ 1

Треугольник равнобедренный: ﮮ В 1 = ﮮ В.

В 1

Но ﮮ В – тупой, так как смежный с острым углом прямоугольного треугольника.

Получили противоречие теореме о сумме углов треугольника: треугольник с двумя тупыми углами не существует.

Значит : вершины В и В 1 совпадают.

С 1

Дано:

∆ АВС,

ﮮ С = 90 0

∆ А 1 В 1 С 1

ﮮ С 1 = 90 0

АВ=А 1 В 1

АС=А 1 С 1

Доказать :

∆ А 1 В 1 С 1 = ∆ АВС.

(С 1 )

В

С

А 1

(В 1 )

Доказательство.

1. Наложим ∆ А 1 В 1 С 1 на ∆ АВС так, чтобы совпали прямые углы, тогда совместятся вершины С и С 1 .

2. Луч С 1 А 1 совпадает с лучом СА,

но АС = А 1 С 1 , значит совместятся вершины А 1 и А.

Тогда совместятся и вершины В и В 1 , так как А 1 В 1 = АВ .

Итак: ∆ А 1 В 1 С 1 совпадает с ∆ АВС .

Значит ∆ А 1 В 1 С 1 = ∆ АВС.

Теорема доказана.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу

Дано:

∆ АВС- прямоугольный,

∆ А 1 В 1 С 1 - прямоугольный,

АС = А 1 С 1,

ﮮ В = ﮮ В 1

А

А 1

Доказать:

∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1

С

С 1

В 1

В

Доказательство.

По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника

ﮮ А = ﮮ А 1.

Тогда по катету и прилежащему углу ∆ АВС и ∆ А 1 В 1 С 1 равны.

3,5

Равны ли треугольники?

3)

Х 0

1)

7

7

а

3,5

Х 0

а

4)

2)

5

5

20 0

70 0

Используя данные, указанные на рисунке,

найдите периметр четырехугольника АВ D С,

если известно, что ﮮ АВС = ﮮ СВ D .

D

7

С

В

9

А

- Выучить формулировки признаков равенства

прямоугольных треугольников. стр.76-77.

- Знать доказательство признака по гипотенузе

и катету.

- * Индивид. карточки «Задачи на доказательство равенства прямоугольных треугольников по готовым чертежам».