Аксиомы геометрии

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

Геометрия

10 класс

• Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
• В стереометрии, также как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путём доказательства соответствующих теорем.
• При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, сформулированных в виде аксиом.

Аксиомы – это первоначальные факты геометрии, которые принимаются без доказательств и позволяют вывести из них дальнейшие факты этой науки.

«Аксиомы обладают наивысшей степенью общности и представляют начала всего»

АРИСТОТЕЛЬ

Основные фигуры в пространстве

Прямая

Плоскость

Точка

Изображать плоскость мы будем в виде параллелограмма

Плоскость, как и прямая, бесконечна. На рисунке мы

изображаем только часть плоскости, но представляем её

неограниченно продолженной во все стороны.

Плоскости обозначают греческими буквами

Введение нового геометрического образа (плоскости) заставляет расширить известную нам в планиметрии систему аксиом. Поэтому вводится группа аксиом , которая выражает основные свойства плоскости в пространстве. Эта группа состоит из трёх аксиом.

Аксиомы

А 1 : через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

С

А

D

Аксиомы

А 2 : Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

С

А

Аксиомы

А 3 : Если две различные плоскости имеют общую

точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

с

С

Аксиомы группы С.

С 3 : Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

С

a

b

Аксиомы выражают интуитивно ясные свойства плоскостей, их связь с двумя другими основными фигурами стереометрии – с прямыми и точками.

Решение задач

По рисунку ответьте на вопросы:

1) Какие точки принадлежат плоскости α ?

2) Какие точки не принадлежат плоскости α ?

C

A

B

D

F

Решение задач

По рисунку ответьте на вопросы.

Каким плоскостям принадлежит точка

S

М

А

К;

А;

М;

С

Р

S;

P

К

В

Решение задач

По рисунку ответьте на вопросы.

Вне каких плоскостей

лежит точка

S

М

А

С

S

М;

К;

А;

P ;

Р

К

В

Решение задач

По рисунку ответьте на вопросы.

По какой прямой пересекаются плоскости

S

М

• ABS и BSC;
• ABC и ASC;

3. ABC и ABS;

4. ABS и ASC;

5. PSC и ABC.

А

С

Р

К

В

Решение задач

Могут ли две различные плоскости

иметь только одну общую точку?

Каково взаимное расположение двух прямых

пространстве, если они имеют две общие точки?

Могут ли две различные прямые в пространстве

иметь более одной общей точки?

Решение задач

• Столяр проверяет, лежат ли ножки стула в одной плоскости, при помощи двух нитей. Объясните, как он это делает.

Решение задач

Выполните: Упр. 3.

Упр. 1.

Домашнее задание

Изучить п.1, 2

Выучить аксиомы.

№ 2, 4

Информационные источники

Литература. 

• Литература. 

• 1. А.В.Погорелов Геометрия 10-11 ,Москва, Просвещение,2009 год. 
• 2. Геометрия 10 класс (поурочные планы). Составители Т. Л. Афанасьева, Л. А. Тапилина. Изд. «Учитель», Волгоград, 2001.
• 3. Зив Б. Г. Геометрия: дидактические материалы для 10 класса. — М.: Просвещение, 2007—2008. 
• 4. Саакян С. М. Изучение геометрии в 10—11 классах /С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов. — М.: Просвещение, 2008. 
• 5. Земляков А. Н. Геометрия в 10 классе: методические рекомендации. — М.: Просвещение, 2002. 
• 6. Геометрия 10-11 классы. Тесты для текущего и обобщающего контроля. Авторы-составители: Г.И. Ковалёва, Н.И. Мазурова.
• 7. Евстафьева Л. П. Геометрия: дидактические материалы для 10—11 класса. — М.: Просвещение, 2004. 
• 8. Геометрия, 10—11: Кн. для учителя / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик, Л. П.Евстафьева. — М.: Просвещение, 2005.
• 9. Зив Б. Г. Задачи по геометрии для 7—11 классов/ Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский. — М.: Просвещение, 2003—2008.