Задания по теме "Механические колебания и волны"

4. Изучение нового материала (20 мин.) (Презентация.)

Цель: Формирование умений и навыков исследования функции, построения графиков гармонических колебаний.

Задача 1. Построить график гармонических колебаний у = 2sin(2x-  ).

Решение:

Сразу укажем на типовую ошибку в подобных задачах: осуществляют сдвиг на   , а необходимо на   , поэтому у = 2sin2(x-  ).

Как построить график такого колебания? Алгоритм построения следующий:

1. у = sinx - исходная функция.

2.  у = sin2x - сжатие в 2 раза вдоль оси Ох.

3.  у = 2sin2x  - растяжение в 2 раза вдоль оси Оу (рис. 1).

4. у = 2sin2(x-  ) - сдвиг на    вправо по оси Оx (рис. 2).

При построении данного графика были использованы следующие виды преобразования графиков:

1. у = f(k x),k =2 – сжатие вдоль оси Ох 

2. у = m f(x),m=2 - растяжение вдоль оси Ох 

3. у = f(x- x)- параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси Ох

Задача 2. Построить графики функций и определить основные характеристики гармонического колебания:

a) у = sin    б) у = sin3x 

Решение:

a). Найдем период функции у = sin : 

А=1;

Период колебания Т = 6  значит, достаточно построить график на участке  .  Поделив этот участок на 4 равных промежутка, получим точки, которые определяют поведение графика:   (рис. 3).

б) Найдем период функции у = sin3x: 

А=1;

Построим график на участке длиной в период  . Поделим его на 4 равных промежутка и получим точки     (рис. 4).

5. Построение графиков гармонических колебаний. Самостоятельная работа (30 мин).

Опыт – дитя мысли, мысль – дитя действий

Вениамин Дизраэли

Цель: Закрепление умений и навыков построения графиков функций

Задание учащимся:

Построить графики гармонических колебаний:

1. y = - ctgx

2. y = cos

3. y = - sin(x+  ).

Критерии оценки деятельности учащихся:

(1-) – удовлетворительно; (1-2) – хорошо; (1-3) – отлично.

6. Демонстрация лучших работ студентов (3 мин).

Вдохновение нужно в математике, как и в поэзии.

А.С.Пушкин

Цель: Воспитание эстетического восприятия графических изображений;

7. Применение знаний к решению нестандартных задач (6 мин.)

Цель: Показать связь математики с другими науками;

Задания для учащихся:

Тело движется по закону у = cos   . По графику (рис.5)функции установите:

• Амплитуду колебаний А;

• Частоту колебаний

• Период колебаний  ;

• Начальную фазу

Ответ: А=1;

8. Итог занятия (3мин).

1.5. Механические колебания и волны

Колебаниями называются движения, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.
Гармоническими колебаниями называются такие колебания, в которых колеблющаяся физическая величина x изменяется по закону синуса или косинуса, т.е.


Величина A, равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся физической величины x, называется амплитудой колебаний. Выражение α = ωt + ϕ определяет значение x в данный момент времени и называется фазой колебаний. Периодом T называется время, за которое колеблющееся тело совершает одно полное колебание. Частотой периодических колебаний называют число полных колебаний, совершённых за единицу времени:

Частота измеряется в с^-1. Эта единица называется герц (Гц).

Математическим маятником называется материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости.
Если один конец пружины закрепить неподвижно, а к другому её концу прикрепить некоторое тело массой m, то при выведении тела из положения равновесия пружина растянется и возникнут колебания тела на пружине в горизонтальной или вертикальной плоскости. Такой маятник называется пружинным.

Период колебаний математического маятника определяется по формуле

где l — длина маятника.

Период колебаний груза на пружине определяется по формуле

где k — жёсткость пружины, m — масса груза.

Распространение колебаний в упругих средах.
Среда называется упругой, если между её частицами существуют силы взаимодействия. Волнами называется процесс распространения колебаний в упругих средах.
Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны.
Длиной волны называется расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе:

где v — скорость распространения волны.

Звуковыми волнами называют волны, колебания в которых происходят с частотами от 20 до 20 000 Гц.
Скорость звука различна в различных средах. Скорость звука в воздухе равна 340 м/c.
Ультразвуковыми волнами называют волны, частота колебаний в которых превышает 20 000 Гц. Ультразвуковые волны не воспринимаются человеческим ухом.